华罗庚的成就

论数学家华罗庚的重要数学成就

（542班周海江1002507213）

摘要：华罗庚，国际数学大师。他为中国数学的发展作出了无与伦比的贡献。他是当代自学成才的科学巨匠、蜚声中外的数学家；他写的课外读物曾是中学生们打开数学殿堂的神奇钥匙；在中国的广袤大地上，到处都留有他推广优选法与统筹法的艰辛足迹……这位“人民的数学家”，为他钟爱的数学事业奉献了毕生的精力与汗水。

关键词：华氏定理、优选法、统筹法、堆垒素数论

华罗庚（1910.11.12—1985.6.12.），世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论等多方面研究的创始人和开拓者。国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏算子”、“华—王方法”等。

华罗庚的主要成就：

一、华氏定理与华氏不等式

1936年华罗庚到剑桥大学进修了两年，他师从哈代，积极参加剑桥大学数论小组的学术讨论班活动，迅速进入到该领域前沿。华罗庚潜心研究数论的重要问题，解决了华林（Waring）问题，他利（Tarry）问题等数学难题，其杰出才华在剑桥沃土上显露出来，在国际数学界引人注目。

华罗庚抓紧这两年的时间，学习非常刻苦努力，写了十八篇关于“华林问题”、“他利问题”，“奇数的哥德巴赫问题”的论文，先后发表在英、苏、印度、法、德等国的杂志上。他的工作成绩得到了大家的认可与赞许。其中他的最有名的一篇论文“论高斯的完整三角和估计问题”，代表了他的工作在这个领域的有着长期与重要的影响。

苏联数学家维诺格拉朵夫（1891-1983），从1934年至1983年一直担任苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所的所长。他对韦尔和的估计方法及以素数为变数的指数和估计方法自30年代以来，对数论发展产生了深刻的影响。他在堆垒数论方面得到不少深刻的结果，尤其是他对奇数的哥德巴赫猜想的基本解决及关于华林问题的结论是最为有名。维诺格拉朵夫的主要成就是发表在30年代，这也是华罗庚进入数论研究的高峰时期。他认真学习了维诺格拉朵夫的方法，虽然华罗

庚是自学维诺格拉朵夫方法的。但他对这个方法的了解和贡献却不在旁人之下。维诺格拉朵夫在他的书《数论中的三角和方法》的序言中，提到这个方法是我与柯坡尔特、朱达柯夫、华罗庚及其他人一起合作得出的。华罗庚最重要的数论工作当然还是他自己独创性的工作。

1、华氏定理

华氏定理（1940）命q是一个正整数，f(x)=akxk+...+a1x 为一个k次整系数多项式且最大公约（ak, ...,a1,q）=1,则对于任何ε>0皆有

华氏定理溯源于高斯（C.F. Gauss）他首先引进f(x)=ax2 的特例情况，即所谓高斯和: S(q, ax2),(a,q)=1,并得到估计S(q, ax2)=O(q1/2 ).

高斯引进并研究高斯和的目的在于给出初等数论中非常重要的二次互反律一个证明。以后，不少数学家企图推广高斯和及他的估计，但他们只能对特殊的多项式所对应的S(q, f(s))，取得成功，这一历史名题直到1940年，才由华罗庚解决。

华氏定理是臻于至善的，即误差主阶1-1/k 已不能换成一个更小的数。这只是取f(x)=xk 及q=pk ，p为素数，就可以知道。所以依维诺格拉朵夫称赞华氏定理是惊人的。

华氏定理的直接应用是，可以处理比希尔伯特一华林定理更为广泛的问题：命N为一个正整数，fi(x)(1<=i <=s )是首项系数为正的k次整值多项式，

考虑不定方程N = f1(x1)+...+fs(xs) (1)

的求解问题，特别取f1(x)+...+fs(x) = xk 即得

N =x1k +...+xsk . (2)

1770年，华林提出猜想：当s>=s0(k) , (2)有非零非负整数解。华林猜想是希尔伯特于1900年证明的。于是华林猜想就成了著名的希尔伯特一华林定理，但用希尔伯特方法所能得到的s0(k)将是很大的，20年代以后，哈代、李特伍德与依·维诺格拉朵夫用圆法及指数和估计法对s0(k)作了精致的定量估计。用华氏定理基本上可以将依·维诺格拉朵夫关于华林问题的重要结果推广至不定方程（1）, 即假定（1）满足必须满足的条件，则当s>=s0 =O(Klog K)及N充分大时,

（1）有非零非负整解。当s >= s0'=O(K2log K) 时，方程（1）的解数有一个渐近公式。

2、华氏不等式

华氏不等式(1938)命N 为一个正整数，f(x)为一个k次整系数多项式，则T(a)=∑x=1Ne(af(x))，

则对于任何ε>0及1<=j<=k 时皆有

华氏不等式的直接应用为不定方程（1），由圆法来处理方程（1），则首先需将方程（1）的解数表示成(0,1), 上的一个积分，然后将(0,1)分成互不相交的优孤与劣孤之并, 优孤上的积分给出（1）的解数的主项，需证明劣孤上的积分是一个低阶项，从而可以忽略不计，这样就得到了解数渐近公式。华罗庚证明了fi(x)（1<=i<=s）假定。为满足必须满足的条件的k次整值多项式，则当s >= 2k +1 时，方程（1）的解数有一个渐近公式。特别对于华林问题，即方程（2），当s >= 2k +1 时，对充分大的N，有非寻常非负解，且解数有渐近公式。当k <=10时，这一结果是华林问题的最佳结果。直到半个世纪之后，基于对华氏不等式的某些改良，沃恩（R.F.Vaughan）与希斯布朗（D.R. Heath-Brown ）才能对华罗庚关于华林问题的结果作点改进，但他们所用的方法却繁得多了。

基于华罗庚关于解析数论的基本方法，即关于指数和估计的华氏定理与华氏不等式，再加上依·维诺格拉朵夫的韦尔（H. Weyl）和估计与关于素数变数的指数和估计，华罗庚系统地研究了不定方程及其他堆垒问题的求解问题，并限制变数x1,x2,...xs均取素数值。华罗庚的结果总结在他的专著《堆垒素数论》中，这本书被译成俄文、英文、德文、匈牙利文与日文，它是圆法、指数和估计及其应用方面最重要的经典著作之一。

二、“统筹法”与“优选法”

倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并亲自在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著。其他方面在代数方面，证

明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法。维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式，获中国自然科学奖一等奖。他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论等多方面研究的创始人和开拓者。

华罗庚一生为我们留下了十部专著：《堆垒素数论》、《指数和的估价及其在数论中的应用》、《多复变函数论中的典型域的调和分析》、《数论导引》、《典型群》（与万哲先合著）、《从单位圆谈起》、《数论在近似分析中的应用》（与王元合著）、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》（与他人合著）、《优选学》及《计划经济范围最优化的数学理论》，其中八部为国外翻译出版，已列入20世纪数学的经典著作之列。此外，还有学术论文150余篇，科普作品《优选法评话及其补充》、《统筹法评话及补充》等，辑为《华罗庚科普著作选集》。在代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当—布饶尔—华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄文、匈文、日文、德文、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。

三、堆垒素数论

1937年抗日战争爆发，华罗庚于1938年毅然回到日本铁蹄下灾难深重的祖国，来到了云南省昆明市。由于他的学术水平和才华，不少大学都争着聘用他。清华大学数学系主任杨武之力主破格提拔华罗庚为正教授，于是他就在西南联合大学执教，当时他年仅28岁。在西南联大期间，华罗庚的生活是清苦的。他们一家住在昆明郊区的一个小村子中的两间小厢楼里，厢楼下是猪栏、牛圈，卫生环境可想而知。华罗庚在回忆这段生活时说：“晚上一灯如豆，所谓灯，乃是一

个破香烟罐，放上一个油盏，摘些破棉花做灯芯。为了节省菜油，芯子捻得小小的，晚上牛蹭痒，擦得地动山摇，危楼欲倒！”他虽然居住在这样的厢楼中，过着艰难的生活，但他还是勤奋努力，不断地耕耘。这段时间华罗庚还在继续其数论的研究，并撰写他的专著《堆垒素数论》。这本书中系统地总结、改进与发展了哈代与李特尔伍德的圆法、维诺格拉朵夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，成为20世纪经典数论著作之一。

1949年前后，不仅在中国，就是在全世界，能够懂维诺格拉朵夫这样艰深的方法的人也是屈指可数的。原因是他写的既繁难，又很省略，不易懂。华罗庚除了对圆法、三角和估计及其应用做了大量贡献外，他还对维诺格拉朵夫方法也做了改进和简化。他讲述的方式是清楚易懂的。哈贝斯坦说：”华罗庚对维氏方法的贡献与达文坡特的贡献一起，是仅让于哈代、李特伍德与维诺格拉朵夫的贡献，是肯定能够经得起时间的检验的。他的两个积分均值定理给予了巨大的技术进展。这种永恒的影响，甚至超出了希尔伯特定理的范围，他关于华林问题变体的研究及关于华林-哥德巴赫问题的著名研究，对于弄清圆法的力量和范围都是极具开创性的研究。”几代数论学家都从华罗庚的至今仍有影响的1947年专著《堆垒素数论》中学到了圆法的知识。1940年，华罗庚将这样一本心血的结晶寄给了当时的“中央研究院”，请求出版，却如泥牛入海一般。从等待出版到原书稿丢失，说明政府当局对学术漠不关心。这对华罗庚是一个莫大的打击，3年的心血，付之东流，怎么不令他心痛呢！1941年华罗庚把手头的一份《堆垒素数论》英文稿寄到当时苏联的维诺格拉朵夫院士，维氏立刻回了电报，说：“我们收到你的优秀的专著，待战争结束后，立即付印。”这样这本书最早是以俄文出版，其校样是在1946年华罗庚访问苏联时审阅的。华罗庚在书的序言中写道：本书中叙述了关于堆垒素数论的新结果，这门学科的基础是维诺格拉朵夫院士奠定的，由著者发展的，在第五、六两章中，把开拓了新途径的维诺格拉朵夫院士的工作加以简化与改变而重述出来。

《堆垒素数论》出版后，引起了世界数学界的注意，甚至连维诺格拉朵夫院士也称这本书是优秀的专著。新中国成立后《堆垒素数论》的俄文版，又被译成中文，在自己的祖国出版了。像《堆垒素数论》先在别国出版，后在国内出版，在世界出版史上也属于罕见的。1957年，华罗庚对《堆垒素数论》的中文版进

行了修订。1959年修订本先后被译为德、匈文出版。1965年又被译为英文，由美国数学会出版。半个多世纪以来，这本书已成为几代数论学家经常引证的经典文献。在世界范围内，有这样影响的数学专著也是不多见的。据说，华罗庚在西南联大讲授过他的《堆垒素数论》，在开始上课时，慕名而来听讲的学生，满堂座无虚席，后来一天天减少，减到最后只有四人，一周之后只剩两人。加上老师三人上课。在昆明天天空隙之时，这两个学生就搬到华家附近，租房而住，以便到他家上课方便。这两人就是闵嗣鹤和钟开莱。他们二人曾给华罗庚不少的帮助，认真阅读了华罗庚的手稿，并帮他作了一些修正和改进。后来他的主要研究兴趣已从数论转移，而致力于群论、矩阵几何学、自守函数论与多个复变数函数论的研究。围绕这些学科，华罗庚与其他数学家一起倡导并主持了各种讨论班。参加过他的讨论班而以后闻名的数学家中有段学复、闵嗣鹤、徐贤修，受过他的影响及听过他的课的青年还有蓝仲雄、王湘浩、孙本旺、彭慧云、田方增、徐利治、钟开莱与严志达等人。

四、华罗庚的文章与著作

华罗庚系当代自学成才的一位杰出学者，蜚声中外的数学家，中国理论数学（解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论等方面）研究的创始人与开拓者。华罗庚的论文《典型域上的多元复变数函数论》被国际学术界称为“华氏定理”、“布劳威尔—加当—华定理”、“华—王（元）方法”。华罗庚一共发表学术论文200篇，10部专著（其中8部在国外出版，有些被译成俄、日、德、匈、英国文字），他还写了10余部科学普及作品。由于其成就杰出，被选为美国科学院外籍院士，第三世界科学院院士，德国南锡大学、美国伊利诺大学、香港中文大学荣誉博士，德国巴伐利亚科学院院士；其名字已进入美国华盛顿斯密司—宁尼博物馆，并被列为芝加哥科学技术博物馆中88位数学伟人之一。

华罗庚把他的整个生命献给了数学。他对数学理论的贡献及其广博，极其深厚，极其突出，并有着高度的影响，他对数学方法应用的普及工作易为普通人民所接受，并具有很显著的效益。他对在中国发展数学事业建立了卓越的功勋。他的数学工作是不朽的。他是当代一位伟大的数学家。记得小学教室里贴着一句他的名言”天才在于积累，聪明在于勤奋”，是的作为一名普通的大学生来讲平时要积累，学习要勤奋；“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”。