2021年中考数学压轴题解题技巧

中考数学压轴题解题技巧

欧阳光明（2021.03.07）

数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。

下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。

先以2009年河南中考数学压轴题为例：

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过

A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的

解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点

B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向

终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

这是一道函数型压轴题。函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。

先从知识角度来分析：

（1）通过观察图象可以发现，直线AD和x轴平行，直线AB和y轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B 的横坐标相同，因此A的坐标为（4,8）.知道了点A的坐标，加上已知条件点C的坐标，利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。此问在本题中占3分，解决此问的关键在于：①多角度、全方位观察图形；②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。

（2）这是个动态的问题，解决动态问题的一个根本方法就是化动为静，动静结合。先看第一小问，当t为何值时，

线段EG最长?我们通过观察图形，很容易能够发现t的变化，会导致点P位置的变化，点P位置的变化会引起点E位置的变化，而E点位置的变化直接决定了线段EF位置和长度的变化，而线段EF位置和长度的变化决定了线段EG位置和长度的变化，我们看到，问题最终就是回归到线段EG 的长度之上。如果把整个这个变化的过程当作是一个事件来看的话，事件的起因就是t的变化，而事件的结果就是线段EG的长度发生变化。换句话说就是因为t的变化导致线段EG长度的变化。那么我们就可以把这个变化过程中的t当作自变量，线段EG的长度就是t的函数。因此，求当t为何值时，线段EG最长?实际上就是求函数取最大值时自变量的值。因此本问的关键就是如何求线段EG长关于t的函数。而求线段EG长关于t的函数，实际上就是把t看作是一个常数，求线段EG的长。通过观察图形，不难发现，求线段EG 的长，可以通过求点E、G的纵坐标求得，点E的纵坐标可以通过点P的纵坐标求得，点G的纵坐标需要通过点E的横坐标求得，而点E的横坐标可以通过求线段PE的长度求得。思路如下图所示：

用数形结合的方法解决问题。

（３）在点P、Q运动的过程中，△CEQ的形状不断在发生变化，如果△CEQ是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即点C、E、G分别可能是等腰三角形顶角的顶点。解决此问的关键是：体会△CEQ形状不断变化的特点，能够想到存在的情况可能有三种，然后分别去求三种情况所对应的t的值。

详细解题过程如下：

解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将 A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

8=16a+4b

得

0=64a+8b

解得a=-1

2

,b=4

∴抛物线的解析式为：y=-1

2

x2+4x (3)

分

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠P AE=PE

AP =BC AB

,

即PE

AP =4

8

∴PE=1

2

AP=1

2

t．PB=8-t．

∴点Ｅ的坐标为（4+12

t ，8-t ）. ∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-

18

t 2+8. …………………5分 ∴EG=-18t 2+8-(8-t ) =-18

t 2+t . ∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为

2. …………………7分

②共有三个时刻. …………………8分

t 1=16

3， t 2=4013，t 3．…………………11分

从技术角度来分析：

①压轴题的出现是为了让参加中考的学生成绩更有区分度，所以并不是每一个同学都可以把压轴题完整地做出来的。所以我们告诫所有参加中考的同学，不要一味地把时间都花在压轴题上，一定要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。如果时间还有剩余，再静下心来攻克压轴题，这是技术方面的一个考虑。

②压轴题并不可怕，所以情绪上要积极自信，没有必要惊慌失措。

③就本题而言，如何才能让自己多拿一些分数呢？

ⅰ）做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是

问题；第二问的两小问都有难度，但是细心的同学会发现第二小问和第一小问没有特别大的联系，因此如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。事实上中考有较多的压轴题并不是每一问之间都有联系。

ⅱ）过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，拿第二小问来说，大部分同学都知道有3个时刻，可是因为写不出来相应的t值，因此就放弃不写了，殊不知，你只要回答有3个时刻就可以多得1分。

和2009河南中考压轴题类似的中考题有很多，多数情况下类似第二问会有这样的问题：记图形中的某个变化三角形的面积为s，求s关于t的函数，并求当t取何值时s最大，s最大值是多少？涉及到等腰三角形的讨论类似的情况有直角三角形的问题。比如：

（2009年济南中考题的最后一题的第三问）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作∥交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，PDE

△

DE PC

的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（2009年辽宁朝阳中考题最后一题第二问）将ABO

△沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB

上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为)0,(x ，CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ．i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.

再以2009年江西中考数学压轴题为例：

如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，E 是AB 的中点，过点E 作BC EF //交CD 于点F ．6,4==BC AB ，∠ 60=B .

（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作AB MN //交折线ADC 于点N ，连结PN ，设x EP =.

①当点N 在线段AD 上时（如图2），⊿PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出⊿PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使

⊿PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

A D E F A D E

F P N A D

E F P N

这是一道几何型压轴题。常见的几何型压轴题以常见的三角形、四边形（如正方形、等腰梯形等）、圆等知识为考查重点，贯穿几何、代数及三角函数等知识，以证明题、计算题出现。

先从知识角度来分析：

（1）求点到直线的距离，一般的方法就是过这个点向直线作垂线段，然后利用勾股定理或者是解直角三角形的方法求垂线段的长度。

（2）①通过观察点N的不同位置，可以发现⊿PMN的形状并不发生变化。不需要说明理由，然后分别去求三角形的三边长，最终求出三角形的周长。线段PM的长实际上就是线段EG的长，第一问已经求出来了，线段MN的长就是线段AB的长，问题复杂就复杂在求线段PN的长上，求线段的长，我们最容易想到也是最常用的方法还是构造直角三角形，然后使用勾股定理，因此过点P P作PH MN

⊥于H。②通过画草图，可以看到当点N在线段DC上运动时，PMN

△的形状发生改变，但MNC

△恒为等边三角形。和2009河南中考压轴题一样，PMN

△为等腰三角形需要讨论三种情况。

详细解题过程如下：

解：（1）如图1，过点E作EG BC

⊥于点G．·· 1分

∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．

在Rt EBG △中，60B =?∠，∴30BEG =?∠． ··· 2分

∴112BG BE EG ====，

即点E 到BC

··················· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．

∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥．

∵EF BC ∥，∴EP GM =

，PM EG ==

同理4MN AB ==． ························································ 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，

∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠．

∴12PH PM == ∴2

330cos =

?= PM MH 则35422NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △

中，PN === ∴PMN △的周长

=4PM PN MN ++=． ····················· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．

图1 A D E B

F C G

图2 A D E

B F

C P N M

G H

当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32MR =．

∴23MN MR ==． ························································ 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．

此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ···················· 8分 当MP MN =时，如图4

，这时MC MN MP ===

此时，615x EP GM ===--=

当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==?∠∠．

则120PMN =?∠，又60MNC =?∠，

∴180PNM MNC +=?∠∠．

因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．

∴130tan =?= PM MC

此时，6114x EP GM ===--=．

综上所述，当2x =或4

或(5时，PMN △为等腰三角形．………………..10分

从技术角度来分析基本同上，比如求PMN △的周长，即

图3 A

D E

B F

C P N M

图4 A D E B F C P M N 图5 A D E B F C M

N G G R G

使算不出来线段PN的长，最起码可以求出另外两边的长，只要形成过程，就会给分。类似出现“＊＊是否发生改变？若不变，求出＊＊；若改变，请说明理由.”“若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.”这样的情况，几乎都是千篇一律，一定是存在的，因此回答“存在”就会得分。

与之类似的几何型压轴题在2009年全国各地市中考卷中屡见不鲜。比如：

（2009年广西南宁市中考题第25题第三问）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．总结以上两种类型压轴题的做题技巧，可以归纳如下：（一）态度上的技巧

有相当一部分同学对自身数学学习状况没有一个完整的全面的认识，考试的时候往往会把重心都放在压轴题上，不管前面的题做的怎么样，反正就是最后一题不做完誓不罢休，可是结果呢？铃声响过，不但最后一题没写出来，前面的填空、选择连一个都没检查，“捡了西瓜丢了芝麻”这样最初的想法也变成了“既丢芝麻又丢西瓜”的结果。所以，我们建议参加中考的同学们，在心中一定要给压轴题一个时

间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题。检查订正完之后，如果时间还有节余，大可以好好思考压轴题怎么做。“放弃也是一种美”，“舍得舍得，有舍才会有得”。

（二）知识上的技巧

解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题是解题的开始，也是解题的基础。一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题必须要有科学的分析问题的方法，要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放

弃．

（三）答题上的技巧

1、写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；

2、过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；

3、尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

以上就是笔者对数学中考压轴题的一些粗浅看法，衷心期盼能给即将参加中考的考生带来一些帮助！