高一数学-对数函数及其性质 (3)

2.2.2对数函数及其性质（三）

教学目标 （一）教学知识点

1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法．

（二）能力训练要求

1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数． （三）德育渗透目标

培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力． 教学重点

1．反函数的概念； 2．反函数的求法． 教学难点 反函数的概念． 教学过程 一、复习引入：

1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s =vt ，其中速度v 是常量，定义域t ≥0，值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v

s t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数，定义域s

≥0，值域t ≥0．

问题１：函数s =vt 的定义域、值域分别是什么？ 问题２：函数v

s t =中，谁是谁的函数？

问题３：函数s =vt 与函数v

s t =之间有什么关系？

2、又如，在函数y ＝2x ＋6中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R ． 我们从函数y ＝2x ＋6中解出x ，就可以得到式子32

-=y

x ． 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32

-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R ．

3、再如：指数函数x a y =中，x 是自变量，y 是x 的函数，由指数式与对数式的互化有：y x a log = 对于y 在（0，+∞）中任何一个值，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y x a log =，y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈（0，+∞），值域是x ∈R ． 二、讲解新课： 1．反函数的定义

一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x =?(y )． 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?(y )，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =?(y )就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x =?(y ) (y ∈C )叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=

，

习惯上改写成)(1x f y -= 开始的两个例子：s =vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为

v

t

t f =

-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32

)(1-=

-x

x f ． 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，2x y =，),0[+∞∈x 有反函数是x y =

探讨2：互为反函数定义域、值域的关系

探讨3：)(1x f y -=

的反函数是什么？

若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就

是)(x f y =，

这就是说，函数)(x f y =与)(1x f y -=

互为反函数

探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：

（1）函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称．

（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 三、讲解例题：

例1．求下列函数的反函数：

①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=.

解：①由13-=x y 解得3

1

+=

y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(3

1

R x x y ∈+=

，

②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y ，

∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=

小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明． 例2． 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值.

【解析】根据反函数的概念，知函数

log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1），

∴1log 3a =， ∴3a =.

【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a .

例3．已知函数1)(+==x x f y ，求)3(1-f 的值．

解：方法一：∵0≥x ∴1≥y 由1+=x y 解得：

2)1(-=y x

∴)1()1()(21≥-=x x x f 为原函数的反函数， ∴)3(1-f ＝4．

方法二：由反函数的定义得：13+=x ， 解得：x ＝4， 即)

3(1-f ＝4．

练习1．求下列函数的反函数：

（1）y =x 4(x ∈R ), (2)y =x 25.0(x ∈R ), (3)y =x )3

1

((x ∈

R ),

(4)y =x )2((x ∈R ), (5)y =lg x (x ＞0), (6)y =24log x (x ＞0)

(7)y =a log (2x )(a ＞0,且a ≠1,x ＞0) (8)y=a log 2

x

(a ＞0,a ≠1,x ＞0)

解：（1）所求反函数为：y =4log x(x ＞0), (2)所求反函数为：y =25.0log x(x ＞0)

(3)所求反函数为：y =x 3

1log (x ＞0), (4)所求反函数为：y =x 2

log

(x ＞0)

(5)所求反函数为：y =x

10 (x ∈R), (6)所求反函数为：y =2

4x

=x 2

(x ∈R)

(7)所求反函数为:y =x a 2

1(a ＞0,且a ≠1,x ∈R ) (8)所求反函数为：y =2x a (a ＞0,且a ≠1,x ∈R )

练习2．函数y =3x 的图象与函数3log y x =的图象关于（D ）

A.y 轴对称

B. x 轴对称

C. 原点对称

D. y x =直线对称

（备选题）3．求函数2

38

5-+=x x y 的值域． 解：∵2

385-+=x x y ∴5382-+=y y x ∴ y ≠35

∴函数的值域为{y|y

≠3

5

}

（备选题）4．利用互为反函数的图像的性质求参数

()n mx y +=既在函数若点2,1.,,,n m 求又在其反函数图象上上

解：由已知得：???=+=+1

22n m n m ，即??

?=-=7

3

n m ， 故m 、n 的值分别是－3、7．

（备选题）5．m

x x x f +-=

25

)(已知的值求对称的图象关于直线m x y ,=． 解：由已知可知，)(x f 的反函数是它的本身，即)()(1x f x f -=．

由m x x x f +-=

25)(得,125)(1---=-x mx x f 所以1

25

25---=+-x mx m x x 恒成立． 比较对应系数得.1-=m 五、课堂小结

1．反函数的定义；求反函数的步骤． 2．互为反函数的函数图象间关系；

3．互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 六、课外作业： 1. 阅读教材P .73； 2. 《学案》P .88~ P .89.