离散数学刘任任版第6章答案.ppt

离散数学 习题集
第六章 树
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由假设知，G是一个无回路的连通图， 故G是树。
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设P是树T中的最长通路。若P的起点v满 足d(v)>1，则P不是T中最长的通路。对 终点u也可同理讨论。故结论成立。
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设u, v是树T中的两个悬挂点,即d (u) d (v) 1. 因T是树,所以存在(u, v) 通路P : uw1 wkv, k 0. 显然, d (wi ) 2.若d (wi ) 2,则由T恰有两个悬挂 点的假设, 可知T中有回路; 若T中还有顶点x不在 P中,则存在(u, x) 通路,显然u与x不邻接,且d (x) 2.于是,可推得T中有回路,矛盾.故结论成立.
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最优树如下 ：（权为20）
1
6
6
6 37
5 1
2
2
2
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习题六 讲解完毕！
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20
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=
+
+
+
+
+
+
+
+e +
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+ ++
+
=12
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5个顶点的树的最长通路分别为4、3、2
(1)
最长通路长度为4；
(2)
最长通路长度为3；
(3)
最长通路长度为2；
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对于(1)，所有有标记的树的数目为:
5！/2=60个 ;
对于(2)，所有有标记的树的数目为：
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设u V (G),且d (u) m k.于是, 存在 若v1,v i (i ,v1m,,Vm()G不)是,使悬u挂vi点,则E(有Gv)i,i V(1G, ), , m 使vivi' E(G)如此下去, 有vi(l) V (G), 满足vi(l)不等于v j , j 1,, m,
恒等式:
n1
k
k
1
(n
k
)
nk
C 1 k n
2(n 1)nn2
k 1
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将Kruskal算法中的“小”改成“大”即 可得到“最大树”。
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(1) 设Tˊ是按Prim算法得出的图。由Prim 算法的初值及终止条件，可知Tˊ连通， 且Tˊ为G的生成子图。又由（ⅱ）知Tˊ无 回路。故Tˊ是生成树。 (2)设T(G)={T|T是G的生成树，T≠ Tˊ }， 仿定理6.3.1的证明，可证结论成立。
4！/2*C54 个 ;
对于(3)，所有有标记的树的树目为：C51 个；
故共有 552 53 125个。
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求证 (kn e) (n 2)nn3, e E(kn )
证明:已知
(kn
)
n
n2
,
且k
的生成树均
n
由n 1条边组成.由对称性, kn中每条边在
它的所有生成树中恰出现
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题5已证。
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4
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3
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4
3
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2
1
2
1Hale Waihona Puke 2434
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34
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3
1
2
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9
9 e
e
=
e+
=
K2,3 e
+
e
e
+
+
e
=
+
+
+e
+e+ e +
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且d (vi(l) ) 1,i 1,, m.故G中至少有k个悬挂点.
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设G( p, q)有k(k 1)个连通分支: G[V1] G1( p1, q1), , G[Vk ] Gk ( pk , qk ).显然, p p1 pk , q q1 qk .若G无回路,则每个 Gi ( pi , qi )均是树, i 1,, k.于是qi pi 1, i 1,, k.从而q p k p, k 1,即q p. 此为矛盾, 故G必含回路.
k(n–k)T(k)T(n–k) Cnk =2T(n)。上式两边
对k从1到n–1求和，得：
n1
2(n 1)T (n) k(n k)T (k)T (n k)Cnk k 1
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再将T (n) nn2 ,T (k) k k2 ,
T (n k) (n k)nk2,代入上式便可得
(n 1)nn2 / 1 n(n 1) 2nn3次,因此, 2
(kn e) nn2 2nn3 (n 2)nn3
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证明：任取k个顶点的一棵k阶树与(n–k) 个顶点构成的n–k阶树之间连接两点就是 一棵n阶树，这里有k(n–k)种连接。并注 意到一来一往每条边用了两次，因此，