工程光学习题

2.12 有一薄透镜组，由焦距为－300mm 的负透镜和焦距为200mm 的正透镜组成，两透镜相距100mm ，置于空气中，求该透镜组的组合焦距和组合基点位置。

解：121212

300200

300200f f f f f mm d f f ''''-?'=-

=-=-=?'-+ 焦点和主点位置：1

(1)400F d

l f mm f ''=-

=' 2

(1)150F d

l f mm f =+

=- 100H F l l f mm '''=-=

150H F l l f mm =-=

2.17 若有一透镜位于空气中，r 1= 100mm ，d= 8mm ，n = 1.5，若有一物体的物距l =－200mm ，经该透镜成像后的像距l ′= 50mm ，求第二面的曲率半径r 2。若物高y = 20mm ，求像高。

解：由成像公式

111

l l f -=''

，可得 40f mm '= 又()(

)12

21(1)1nr r f n n r r n d '=

--+-????

故可得 225r mm =- 由于 l y l y

β''

=

=，所以5y mm '=- 3.2一眼睛，其远点距r = 2m ，近点距p =－2m 。问： （1）该眼镜有何缺陷？ （2）该眼睛的调节范围为多大？ （3）矫正眼镜的焦距为多大？

（4）配戴该眼镜后，远点距和近点距分别为多大？

解：（1）远点r = 2m ，只有入射会聚光束，且光束的会聚点距离眼睛后2m

才能在视网膜上形成一个清晰的像点，故此眼睛为远视眼

（2）调节范围：

11

1

A R P D

r p

=-=-=

（3）对远视眼应校正其近点，正常人眼明视距离L0=—25cm，远视眼近点为l p。戴上眼镜后，将其近点移至L0处

1

11

p

n

L l f

-=

''

012

111

n

L L f f

-=+

'''

所带眼镜屈光度为

2

111

p

P

l L

f

==-

'

，故

2

0.29

f m

'=

（4）p = —0.25m

11

1

A D

r p

==-故r = 4.67m

一束右旋圆偏振光（迎着光的传播方向看）从玻璃表面垂直反射出来，若迎着反射光的方向观察，是什么光？

解：选取直角坐标系如图（a）所示，玻璃面为xOy面，右旋圆偏振光沿z方向入射，在xOy面上入射光电场矢量的分量为：

)

cos(t

A

E

ix

ω

=

)

2

cos(

π

ω+

=t

A

E

iy

射

入

反

射

x

y

O

z

x

y

O

所观察到的入射光电场矢量的端点轨迹如图（b ）所示。

根据菲涅耳公式，玻璃面上的反射光相对于入射面而言有一π相位突变，因此反射光的电场矢量的分量为：

)cos()cos(t A t A E rx ωωπ-=+=

)2

cos()2

cos(π

ωππ

ω+

-=++

=t t A E ry

其旋向仍然是由y 轴旋向x 轴，所以迎着反射光的传播方向观察时，是左旋圆偏振光。

一束振动方位角为45°的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n 1＝1和n 2＝1.5。当入射角为50°时，试求反射光的振动方位角。

解：?=501θ，由折射定律：51.0sin sin 2

1

2==

n θθ ∴230.7θ=? ∴335.07.80sin 3.19sin )sin()sin(2121-=?

?

-=+--

=θθθθs r

057.07.80tan 3.19tan )tan()tan(2121=?

?

=+-=

θθθθp r

∴877.545tan 057

.0335.0tan tan -=?-==

i p s r r r αα ∴反射光的振动方位角为：?-=34.80r α

一束自然光以70°角入射到空气－玻璃（n ＝1.5）分界面上，求其反射率和反射光的偏振度。

解：由题意有?=701θ， 根据折射定律：6265.0sin sin 2

1

2==

n θθ ∴238.8θ=?

∴55.08.108sin 2.31sin )sin()sin(2121-=?

?

-=+--

=θθθθs r

3025.02

==s s r R

21.08.108tan 2.31tan )tan()tan(2121-=?

?

=+-=

θθθθp r

0441.02==p p r R

∴反射率为：17.0)(2

122

=+=

p s n r r R 反射光的偏振度为：%6.740441

.03025.00441

.03025.0=+-=

+-=s

p s p r R R R R P

在杨氏实验中，两小孔距离为1 mm ，观察屏离小孔的距离为100 cm ，当用一折射率为1.58的透明薄片贴住其中一小孔时，发现屏上的条纹系移动了1.5 cm ，试决定该薄片的厚度。

解：

如图，设P 0

点是S 1S 2连线的垂直平分

线与屏的交点，则当小孔未贴上薄片时，由两小孔S 1和S 2到屏上P 0点的光程差为0。当贴上薄片时，零程差点由P 0移到与之相距1.5 cm 的P 点，P 点光程差的变化量为：

1510.015mm 1000

yd D ??=

== 而P 点光程差的变化等于S 1到P 的光程的增加：

(1)0.015n h ?=-=

∴薄片厚度为：

20.015

2.5910mm 1.581

h -=

=?-

假设照射迈克尔逊干涉仪的光源发出两种波长的单色光（设21λλ>）。因此当平面镜M 1移动时，条纹将周期性的消失和再现。设h ?表示条纹相继两次消失M 1移动的距离，

21λλλ-=?，试证明：λ

λλ?=

?22

1h

证明：当两波长形成的亮条纹重合时，条纹亮度最好，而当1λ的暗条纹与2λ的暗条纹重合时，条纹消失，则当条纹消失时光程差满足：1122112()()22

h m m δλλ?=+=+=+

式中δ表示光束在半反射面上反射时的附加光程差，未镀膜时为2

λ 则由上式得：212

1

12

222h h h m m δ

δ

δ

λλλλλ+++-=

-

=

?

当h 增加h ?时，条纹再次消失，这时干涉级之差增加1，即：

2112

2()1h h m m δ

λλλ+?+-+=

?

两式相减，得：λ

λλ?=?22

1h

F －P 干涉仪常用来测量波长相差较小的两条谱线的波长差。设干涉仪两板的间距为0.5mm ，它产生的1λ谱线的干涉环系中第二环和第五环的半径分别为3mm 和5mm ，2λ谱线的干涉环系中第二环和第五环的半径分别为3.2mm 和5.1mm ，两谱线的平均波长为550nm ，试决定两谱线的波长差。

解：设对1λ谱线的干涉环系中心的干涉级数为0m ，则有：102λδm h =+ （1） 其中δ表示光束在板面金属膜上反射时的附加光程差：1λπ

φ

δ=，φ为在金属膜上反射的相变。若0m 非整数，则写为：010ε+=m m

1m 表示靠中心第一个亮环的干涉级数，由中心向外，第N 个亮环的干涉级数为

)]1([1--N m ，而它的角半径由下式求出： λδθ)]1([cos 21--=+N m h N

与（1）式相减，得：11)1()cos 1(2λεθ-+=-N h N ∵N θ一般很小，故有：2

cos 12N

N θθ=

-

∴)1(11

2

-+=

N h

N ελθ

∴第五环和第二环的半径平方之比为：1

1

112225141215εεεε++=

-+-+=r r

∴786.03

553442

22

2222525221=--?=--=r r r r ε 同理，2λ谱线干涉环系中心的干涉级数的小数部分：

948.0)2.3()1.5()1.5()2.3(442

22

2222525222=--?=--=r r r r ε

由（1）式，2

212112

11222)(2)2()2(

)()(λλλλλλπφ

λπφλεε?=-=+-+

=+-+h h h h

m m ∴nm h 2

329122

109.4)786.0948.0(10

5.02)10550()(2---?=-????=-=?εελλ

波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上观察，求

（1）衍射图样中央亮条纹的半宽度； （2）第二暗纹到中央亮纹的距离；

解：（1）中央亮纹的半角宽度为：

02.0025

.0105006

0=?=

=-a λ

θrad ∴中央亮纹的半宽度为：102.0500=?==θf e cm （2）第二暗纹的位置对应于2απ=±，即：

sin 22

ka

θπ=± ∴6

2250010arcsin arcsin arcsin 0.040.040.025

a λθ-±±??===±≈±rad ∴第一亮纹到中央亮纹的距离为： 500.0411q f

e θ=-=?-=cm

钠黄光垂直照射一光栅，它的第一级光谱恰好分辨开钠双线（5891=λnm ，

6.5892=λnm ），并测得589nm 的第一级光谱线所对应的衍射角为2°，第四级缺级，试求光栅的总缝数，光栅常数和缝宽。

解：光栅的分辨本领为：mN A =?=λ

λ

其中3.5892

6

.589589=+=

λnm

∴光栅的总缝数为：982)

5896.589(13

.589=-?=

?=

λ

λ

m N

第一级光谱满足：λθ=sin d

∴光栅常数为：017.02sin 103.589sin 6=?

?==

-θλ

d mm ∵第四级缺级 ∴缝宽为：00425.04

==

d

a mm

用波长为624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽012.0=a mm ，不透明部分宽度029.0=b mm ，缝数N ＝1000条，试求：（1）中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉主极大；（2）谱线的半角宽度。

解：（1）中央峰两侧的衍射极小值满足：λθ±=sin a ∴中央峰内的衍射角满足a

λ

θ±

≤sin

干涉主极大满足：λθm d =sin =m 0，±1，±2 …… ∴在中央峰内的干涉主极大满足： λλa

d

m ≤

∵

42.3012

.0041.0≡=a d ∴m 的取值可为0，±1，±2，±3

∴出现的干涉极小值个数为7个 （2）谱线的角宽度为：

56

1052.1)

029.0012.0(10001062422--?=+???==?Nd λθrad

当通过一检偏器观察一束椭圆偏振光时，强度随着检偏器的旋转而改变，当在强度为极小时，在检偏器前插入一块1/4波片，转动1/4波片使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转动25°就完全消光，问该椭圆偏振光是左旋还是右旋，椭圆长短轴之比是多少？

解：椭圆偏振光可以看作是一个光矢量沿长轴方向的线偏振光和一个位相相差π/2的光矢量沿短轴方向的线偏振光的合成。即：2

π

??±

=-x y

如图，设短轴方向为x 轴，长轴方向为y 轴。因此，当转动检偏器，使之透光轴平行于x 轴时，强度最小。由题意，插入快轴沿x 轴的1/4波片后，振动方向与x 轴成65°，此时01=-=?x y ???

∵快轴沿x 轴的1/4波片产生的相位差：

2

2π

???-

=-=?x y

∴椭圆偏振光的初始位相差 2

21π

????=

?-?=-x y

表示右旋椭圆偏振光，由图可知，椭圆长轴和短轴之比为：

145.265=?=tg A A x

y

一束波长为

2

= 0.7605m 左旋正椭圆偏振光入射到相应于

1

=

0.4046m 的方解石1/4波片上，试求出射光束的偏振态。已知方解石对1

光的

主折射率为n o = 1.6813，n e = 1.4969；对

2

光的主折射率为o 1.6512n '=，

e 1.4836n '=。

解：由题意，给定波片对于

1

= 0.4046m 的光为1/4波片，波长为

1

的

单色光通过该波片时，两正交偏振光分量的相位差为

1o e 1

2()2

n n d π

π

?λ?=

-=

该波片的厚度为

1

o e 4()

d n n λ=

-

波长为2

= 0.7605m 的单色光通过该波片时，两正交偏振光分量的相位差

为

1

2o e o e 2

2

o e 22()()

0.2414()

4

n n d n n n n λπ

ππ

?πλλ'''

'?=

-=-=≈

-

X

65°

Y

25°

透过波片线偏振光

检偏器

透光轴

因此，对于

2

= 0.7605m 的单色光，该波片为1/8波片。

由于入射光为左旋正椭圆偏振光，相应的两正交振动分量相位差

0/2?π?=-，通过波片后，该两分量又产生了附加相位差2/4?π?=，所以，两

出射光的总相位差为

024

π

????=?+?=-

因此，出射光仍然是左旋椭圆偏振光，其主轴之一位于I 、III 象限内。