数列的概念单元测试题百度文库

一、数列的概念选择题

1．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列

{}n a 为周期数列，周期为T ．

已知数列{}n a 满足()111,1

0,{1

,01n n n n n

a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B

．若m =

，则数列{}n a 是周期为3的数列；

C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；

D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列． 2．

…

，则） A ．第8项

B ．第9项

C ．第10项

D ．第11项

3．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（） A ．1

B ．3

C ．2

D ．3-

4．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（）

A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.

B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.

C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 5．已知数列{}n a 满足11a =

),2n N n *=

∈≥，且()2cos

n n n a b n N π

*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（） A ．120

B ．174

C ．204-

D ．

373

6．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ??

???

的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．()3,+∞ B ．[

)3,+∞

C ．()2,+∞

D ．[)2,+∞

7．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（） A ．2n n 1-+

B ．21n +

C ．2(1)1n -+

D ．2n

9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有

()()()f x f y f x y ?=+，若112

a =

，()()

n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（）

A ．

1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102

n S <≤

D ．

n S ≤< 10．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（）

A ．21n a n =-

B ．()1(21)n

n a n =--

C ．()

1(21)n n a n +=--

D ．()

1(21)n n a n +=-+

11．下列命题中错误的是（） A ．()(

)21f n n n N

=-∈是数列的一个通项公式

B ．数列通项公式是一个函数关系式

C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示

D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列 12．数列{}n a 满足12a =，111

n n n a a a ++-=+，则2019a =（） A ．3-

B ．12-

C ．

D ．2

13．已知数列{}n a 满足11a =，12

n n a a n n

+=++，则10a =（） A ．

259

B ．

145 C ．

3111

D ．

176

14．数列1111

,,,

57911

--，…的通项公式可能是n a =（） A ．1(1)32n n --+

B ．(1)32

n n -+

C ．1(1)23

n n --+

D ．(1)23

n -+

15．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则

645a ，等于（）

123

456

78910

A ．2019

B ．2020

C ．2021

D ．2022

16．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(

3n n N

≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，

若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（） A ．3 B ．2

C ．1

D ．0

17．数列1

2，16，112，120

，…的一个通项公式是（） A ．()1

1n a n n =-

B ．()1

221n a n n =

C ．111

n a n n =

-+ D ．11n a n

18．已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2+3,n

n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数

，若{}n a 为周期数列，则1a 的

可能取到的数值有（） A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．无数个

19．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）

A ．201920212S F =+

B ．201920211S F =-

C ．201920202S F =+

D ．201920201S F =-

20．数列2345

1,,,,,3579

的一个通项公式n a 是（） A ．

21n

n + B ．

n + C ．

n - D ．

n - 二、多选题

21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

22．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2

n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为

（） A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

23．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（） A ．1:17:2a d =-

B ．180S =

C ．当0d >时，6140a a +>

D ．当0d <时，614a a >

24．设数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是

（）

A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列

B ．若2

n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列

C ．若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列

D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈也成等差数列

25．已知数列{}2n

a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6

D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列

26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15

0,20,a a a 则（）

A ．80a <

B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值

C ．49S S =

D ．满足0n S >的n 的最大值为12

27．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的

是（） A ．110S =

B ．10n n S S -=（110n ≤≤）

C ．当110S >时，5n S S ≥

D ．当110S <时，5n S S ≥

28．（多选题）在数列{}n a 中，若22

1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称

{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A ．若{}n a 是等差数列，则{}

n a 是等方差数列

B ．

(){}1n

-是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911

111

a a e e +≤++，则（） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <

30．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．67n S S S 与均为的最大值

31．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ?<

B ．22

415

a a +≥

C ．15

1a a +> D ．1524a a a a ?>?

32．在数列{}n a 中，若22*

1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数

列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(

,kn a k N

k ∈为常数)也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 33．定义11222n n

n a a a H n

-++

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

34．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d <

C ．80a =

D ．n S 的最大值是8

S 或者9S

35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）

A ．2

n S n = B ．2

23n S n n =- C ．21n a n =- D ．35n a n =-

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【解析】

试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =

<≤时，由34a =得54

m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .

234111,11,1,m a a a =>∴==

==> 所以3T =，正

确．

C ：命题较难证明，先考察命题

D ．

D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误．考点：命题的真假判断与应用．

【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．

2．D

解析：D 【解析】【分析】

根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为第几项. 【详解】

根据数列中的项,… 由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-?=+

而=

所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.

3．C

解析：C 【分析】

根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得

2019a 的值.

【详解】

数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=?+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】

本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.

4．A

解析：A 【分析】

运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】

数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，

121n n n n a a a a +++∴≥--，

设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，

∴数列{}n d 是递减数列.

对于A ，由11a =，20192019a =，

则201911220182019a a d d d =+++=，

所以1220182018d d d ++

+=，又1232018d d d d ≥≥≥

≥，

所以1122018201820182018d d d d d ≥++

+≥，

故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，

02019N ?=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++

≤++++=

即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；

结合A ，故B 不正确；

对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列，则n a 无最大值，故C 不正确；

对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确；故选：A 【点睛】

本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.

5．B

解析：B 【分析】

将题干中的等式化简变形得2

11n n a n a n --??

= ???

，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由

此计算出(

)32313k k k b b b k N *

--++∈，进而可得出数列{}n

b 的前18项和.

【详解】

)1,2n a n N n *

--=

∈≥，将此等式变形得2

11n n a n a n --??= ???

，

由累乘法得2

212

11211123n n n a

a a n a a a a a n n

--??????

=??=????= ? ? ?????

??， ()

2cos

3n n n a b n N π*=∈，22cos 3

n n b n π

∴=， ()()222

323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--????∴++=--+--+ ? ????

?592

k =-，

因此，数列{}n b 的前18项和为()5

91234566921151742

?+++++-?=?-=. 故选：B. 【点睛】

本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

6．D

解析：D 【分析】

利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】

11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，

由累加法可得

()()()()12132111232

n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++

，

()122211

n a n n n n ∴

==-++，2222

2222222311n S n n n ?

?????∴=-+-+

+-=-< ? ? ?

++?

?????

，由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.

故选：D. 【点睛】

本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

7．A

解析：A 【分析】

根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】

{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，

充分性：

1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，

0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，

10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；

若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.

所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?“{}n a 为递增数列”；

必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.

所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?/“{}n a 为递增数列”.

因此，“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．

8．A

解析：A 【分析】

由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】

因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，

因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，以上各式相加得：()()()21246.1221..212

n n n a a n n n ??-+-??

+++==+--，

又11a =，所以2

1n a n n =-+.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.

9．D

解析：D 【分析】

根据题意得出111

n n n a a a a +==

，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】

取1x =，(

)y n n N

=∈，由题意可得()()()111

112

n n n a

f n f f n a a a +=+=?==

， 11

2n n a a +∴

=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12

为公比的等比数列， 11112211212n n n S ??

- ???

∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即

n S ≤<. 故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

10．C

解析：C 【分析】

分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】

数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n

n a n =--．故选C ．【点睛】

本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．

11．C

解析：C 【分析】

根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】

数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，

故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，

它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，

至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的；根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.

12．B

解析：B 【分析】

由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】

由1111

n n n a a a ++-=

+，可得111n

n n a a a ++=-，

由12a =，可得23a =-，312

a =-

，41

3a =，52a =，

由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4，所以201931

a a ==-. 故选：B.

13．B

解析：B 【分析】由122n n a a n n +=++转化为11

121n n a a n n +??-=- ?+??

，利用叠加法，求得23n

a n =-，即可求解. 【详解】由122n n a a n n +=+

+，可得121

12(1)1n n a a n n n n +??-==- ?++??

，

所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+

11111

111222*********n n n n n n ????????

=-+-+-++-+ ? ? ? ?-----??????

122113n n ??

=-+=- ???

，

所以102143105

a =-=. 故选：B. 【点睛】

数列的通项公式的常见求法：

1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；

2、对于递推关系式可转化为

()n n

a f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1

n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.

14．D

解析：D 【分析】

根据观察法，即可得出数列的通项公式.

【详解】

因为数列1111

,,,

, (57911)

--可写成 ()()()()234

2322311111,1,1,12,..24.333

-?-?+?+?+?+-?，所以其通项公式为(1)(1)23213

n a n n -=-=

++?. 故选：D.

15．C

解析：C 【分析】

根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】

根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)

112

a ?-=+=，，第2行第1列的数为2，此时212(21)

122

a ?-=+=，，第3行第1列的数为4 ,此时313(31)

142

a ?-=

+=，，据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)

120172

a ?-=+=，，则6452021a =，，故选：C.

16．A

解析：A 【分析】

根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】

由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……

则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故选：A

17．C

解析：C 【分析】

根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】选项A. ()

1n a n n =

-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.

选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2111

22221126

a =

=≠???-，故B 不正确. 选项C.

11122=-，111162323==-?，1111123434==-?，1111204545==-? 所以11

n a n n =

-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111

1012

a =-=≠,故D 不正确. 故选：C

18．B

解析：B 【分析】

讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】

已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2

+3,n

n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数

. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

③若13a =，则26a =，33a =，46a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意

的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，

此时，{}n a 为周期数列；

⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列；

⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.

下面说明，当19a ≥且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列.

（1）当(

12,2a ?∈?

且1N a *

∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(

()1

12,23,k k a k k N +*?∈≥∈?

且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(

()1

212

,23,k k a k k N ++*

?∈≥∈?

时. 若1a 为正偶数，则(11

22,22

k k a a +?=

∈?，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则(

213

2132

3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数，

由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.

综上所述，当19a ≥且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列.

因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】

本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．

19．B

解析：B 【分析】

利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++

+++，可得

21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.

【详解】

由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++

1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=

123211n n n n F F F F F F ---=++++

+++，

所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，

故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得

出

21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.

20．D

解析：D 【分析】

根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】

由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21

n n

a n =-. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.

二、多选题 21．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，，，，故A 正确；

对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，，故C 正确；对于D ，，，，，各式相加

解析：AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ???=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++，所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.

22．BD 【分析】

利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵， ∴时，，化为：，

由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本

解析：BD 【分析】

利用递推关系可得12

n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵2

n n n S a +=

， ∴2n ≥时，1121

n n n n n n n a S S a a --++=-=

-，化为：112

111

n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ??

?-??

单调递减，可得：2n =时，

n -取得最大值2． ∴1

n n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23．ABC 【分析】

因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项

解析：ABC 【分析】

因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质

961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，

140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.

【详解】

因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：

1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，

对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()

()

11891018181802

a a a a S ++=

=，故选项B 正确；

对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；

对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，

所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.

24．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列

解析：BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:

2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;

选项C: ()11n

n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立，

12(1)n n a -∴=?-是等比数列，故对;

选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.

25．ACD 【分析】

利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】

因为，，所以a1＝3，an ＝[1+(n-1)d](n+2n).若d ＝1，则an ＝n(n+2n)；若d ＝0，则a2＝

解析：ACD 【分析】

利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为

112a =+，1(1)2

n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得1

d =-. 故选ACD

26．ACD 【分析】

由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】

设等差数列的公差为，则，解得，，，且，

对于A ，，故A 正确；对于B ，的对称

解析：ACD 【分析】

由题可得16a d =-，0d <，21322

n d d S n n =

-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022

n d d

S n n =->，解出即可判断D. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，

10a >，0d ∴<，且()21113+

222

n n n d d S na d n n -==-，对于A ，

81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；

对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为13

n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；

对于C ，4131648261822d d S d d d =

?-?=-=-，9138191822

d d S d =?-?=-，故49S S =，故C 正确；

对于D ，令213022

n d d

S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：由于等差数列()2111+

222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.

27．BC 【分析】

设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为，所以，即，解得，，故A 错误；，故B 正确；

若，解得，，故C 正确；D 错误；故选：BC

解析：BC

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