人教版选修4极坐标与直角坐标的互化课堂
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人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)
(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P
O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
选修四1.3直角坐标与极坐标的互化(1)[PPT课件]人教版高中数学
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极坐标和直角坐标的 互化
思考
平面内的一个间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
敬请批评指正
—2017年—
28
化成直角坐标; 化成极坐标.
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (2) 将点M的直角坐标 解: (1)
化成直角坐标; 化成极坐标.
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (2) 将点M的直角坐标 解: (1)
化成直角坐标; 化成极坐标.
所以, 点M的直角坐标为
问题解析
解: (2)
问题解析
解: (2)
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标
化成直角坐标;
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (2) 将点M的直角坐标
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极坐标和直角坐标的 互化
思考
平面内的一个间有什么关系呢？
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半 轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度 单位.
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
问题情境
把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半
轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度
单位. 设M是平面内任意一点, 它的直角坐标
敬请批评指正
—2017年—
28
化成直角坐标; 化成极坐标.
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (2) 将点M的直角坐标 解: (1)
化成直角坐标; 化成极坐标.
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (2) 将点M的直角坐标 解: (1)
化成直角坐标; 化成极坐标.
所以, 点M的直角坐标为
问题解析
解: (2)
问题解析
解: (2)
是( x , y ), 极坐标是(ρ,θ).
则
y
ρ
θ
x
y
x
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
公式与结论
极坐标与直角坐标的互化公式。
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标
化成直角坐标;
问题解析
例 (1) 将点M的极坐标 (2) 将点M的直角坐标
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
6.在极坐标系中，点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) ，则线段AB中点的 极坐标为( )
2 6 2 3
【解析】选A.方法一：由点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) 知， ∠AOB=
，于是△AOB为等腰直角三角形， 2
2 6
2
3
所以|AB|= 2 2 =1,
2
设线段AB的中点为C， 则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
6 6 3
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|=2.
5.（2010·营口模拟）极坐标系中，极坐标为（3，-6）的点
在( ) （B）第二象限 （D）第四象限
2
（A）第一象限 （C）第三象限
【解析】选A.∵ 3 ＜6＜2π，
∴6为第四象限角，故-6为第一象限角.
所以极坐标为（3，-6）的点在第一象限.
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
6.在极坐标系中，点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) ，则线段AB中点的 极坐标为( )
2 6 2 3
【解析】选A.方法一：由点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) 知， ∠AOB=
，于是△AOB为等腰直角三角形， 2
2 6
2
3
所以|AB|= 2 2 =1,
2
设线段AB的中点为C， 则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
6 6 3
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|=2.
5.（2010·营口模拟）极坐标系中，极坐标为（3，-6）的点
在( ) （B）第二象限 （D）第四象限
2
（A）第一象限 （C）第三象限
【解析】选A.∵ 3 ＜6＜2π，
∴6为第四象限角，故-6为第一象限角.
所以极坐标为（3，-6）的点在第一象限.
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
高中数学第一讲坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化课件新人教A版选修4_4
x [0,2π)范围内，由tan θ＝y (x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征
x 判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，
表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.
跟踪训练2
在直角坐标系中，求与点M 52，－5
2
3
的距离为1且与原点距
离最近的点N的极坐标.
解
把点
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
M
的直角坐标52，－5 2
3化为极坐标，
得 ρ＝
522＋－5
2
32＝5，tan
θ＝－552
3 ＝－
3.
因为点 M 在第四象限，所以 θ＝53π＋22kπ，k∈Z，
则点 M 的极坐标为5，53π＋2kπ，k∈Z.
依题意知，M，N，O三点共线，
A.1，－π3
B.2，43π
√C.2，－π3
D.2，－43π
解析 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标
与直角坐标的互化公式，得
ρ＝
x2＋y2＝
12＋－
32＝2，tan
θ＝yx＝－1
3 ＝－
3.
∵点 P 在第四象限，结合选项知，θ 可以是－π3，
∴点 P 的极坐标可以是2，－π3.
x 判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，
表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.
跟踪训练2
在直角坐标系中，求与点M 52，－5
2
3
的距离为1且与原点距
离最近的点N的极坐标.
解
把点
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
M
的直角坐标52，－5 2
3化为极坐标，
得 ρ＝
522＋－5
2
32＝5，tan
θ＝－552
3 ＝－
3.
因为点 M 在第四象限，所以 θ＝53π＋22kπ，k∈Z，
则点 M 的极坐标为5，53π＋2kπ，k∈Z.
依题意知，M，N，O三点共线，
A.1，－π3
B.2，43π
√C.2，－π3
D.2，－43π
解析 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标
与直角坐标的互化公式，得
ρ＝
x2＋y2＝
12＋－
32＝2，tan
θ＝yx＝－1
3 ＝－
3.
∵点 P 在第四象限，结合选项知，θ 可以是－π3，
∴点 P 的极坐标可以是2，－π3.
新人教A版高中数学第1章坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化课件选修4_4
[例 3] 在极坐标系中，如果等边三角形 ABC 的两个顶点的极坐标分别为 A2，
B2，54π，且 ρ≥0，θ∈[0,2π)，求： (1)顶点 C 的极坐标； (2)三角形的面积．
[解析] (1)由公式xy＝＝ρρscionsθθ，， 得点 A2，π4，B2，54π的直角坐标分别为 A( 2 B(－ 2，－ 2)． 点 C 必在直线 y＝－x 上，且|OC|＝2tan 60°＝2 3， 设点 C 的直角坐标为(x，－x)， 则 x2＋－x2＝2 3， 即 2|x|＝2 3， 解得 x＝± 6， 故点 C 的直角坐标为(－ 6， 6)或( 6，－ 6)．
(1)(－2,2)；(2) 23，－12；(3)(0，－ 6)． [解析] (1)由 ρ＝ x2＋y2＝2 2，tan θ＝xy＝－1，且角 θ 的终边经过点(－2,2)，
当 θ∈[0,2π)时，θ＝34π，
故点的极坐标为2
2，34π.
(2)由 ρ＝ x2＋y2＝1， tan θ＝xy＝－ 33， 且角 θ 的终边经过点 23，－12， 当 θ∈[0,2π)时，θ＝116π， 故点的极坐标为1，116π.
3．极坐标系中，已知 O 是极点，A6，76π，B3，32π， (1)求|AB|； (2)判断△AOB 的形状． 解析：(1)由公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 求得点 A6，76π，B3，32π的直角坐标分 为 A(－3 3，－3)，B(0，－3)，得|AB|＝3 3. (2)由上述得，直线 AB 平行于 x 轴，∠OBA＝90°，∠OAB＝30°.所以△AOB 是 角三角形，其中∠OAB＝30°.
，并
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标 θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
2021学年高中数学第1讲坐标系第4课时极坐标和直角坐标的互化课件新人教A版选修4_4ppt
【解析】对于 A 点，x＝3，y＝ 3， 代入公式 ρ2＝x2＋y2＝12，得 ρ＝2 3，
tan θ＝yx＝ 33，又点 A 在第一象限，
∴θ＝π6.∴A
点的极坐标为2
3，π6．
对于 B 点，x＝－2，y＝－2 3，
代入公式 ρ2＝x2＋y2＝16，得 ρ＝4，
tan θ＝yx＝ 3，又点 A 在第三象限，
2．已知直角坐标系中的点 E32，0，求 E 的极坐标． 【解析】对于 E 点，x＝32，y＝0，代入公式 ρ2＝x2＋y2＝94， 得 ρ＝32，tan θ＝0，点 E 在 x 正半轴．∴θ＝0.∴E 点的极坐标为 32，0．
极坐标下的几何问题
【例 3 】 在极 坐 标系中 ， △ABC 的 顶点坐 标 分别为 A5，π2，B8，56π，C3，76π，判断△ABC 的形状．
对于
N
点，ρ＝2，θ＝π，得xy＝＝ρρcsions
θ＝2cos π＝－2， θ＝2sin π＝0，
∴N 点的直角坐标为(－2,0)．
直角坐标化为极坐标
【例 2】 已知直角坐标系中的点分别为 A(3， 3)，B(－2， －2 3)，C0，－ 35，求这些点的极坐标．
【解题探究】 已知点的直角坐标实际上就是知道了 x，y 的值，代入公式 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx求出 ρ，θ 的值．
极坐标化为直角坐标
【例 1】 已知点的极坐标分别为 A3，π4，B2，23π，C(4， －π)，求这些点的直角坐标．
【解题探究】 已知点的极坐标实际上就是知道了ρ，θ的 值，代入公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ求出x，y的值．
【解析】对于 A 点，ρ＝3，θ＝π4，
x＝ρcos 得
选修4-4,极坐标与平面直角坐标的相互转化 (共22张PPT)
思考：
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
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4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
9
3.? ? 3? 的直角坐标方程是
4
? ? 解：? tan ? y ? tan 3 ? y ,即y ? ? x( y ? 0)
x
4x
4.极坐标方程? ? sin? ? 2 cos?所表示的
曲线是
解：因给定的?不恒等于零 , 得? 2＝? sin ? ? 2? cos?
1
3
?
M (2, ? )或(2, 2k? ?
?
)
k?
Z
3
3
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y) ，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ? y ( x ? 0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取 ? ? 0,? ? ?0,2??
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
8.以 (?
2
,
?
4
)为圆心，2
为半径的圆的极坐标方程是
( C)
A. ? ? ? (sin ? ? cos?) B. ? ? sin ? ? cos?
C. ? ? ?2(sin ? ? cos?) D. ? ? 2(sin? ? cos?)
11
5. 若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与
化成直角坐标方程为 x2 ? y2 ? y ? 2x
即( x ? 1)2 ? ( y ? 1 )2 ? 5 这是以点(1, 1 )为圆心，
24
2
半径为 5 的圆。
10
2
6.极坐标方程 ? sin2 ? ? 2 ?cos? ? 0表示的曲线是_____
抛物线
7.极坐标方程 4 sin 2 ? ? 3 所表示的曲线是（ B ）
? ? 2 cos??? ? ? ?? , 它们相交于 A, B 两点, 求线段
? 3?
AB的长．
解：由 ? ?1 得 x2 ? y2 ? 1
Q
??
? 2cos( ?
? )
?
? cos ?
? 3sin ,? ?2 ? ?cos??? 3
sin?
3
，
?? x2 y2 ? x ? 3 y ? 0
由
??x2 ?
6
练习：
1.把点的直角坐标
( 6,? 2)
(0,?
5 )
7 ( ,0)
32
化成极坐标。
，
）
解（2）由直角坐标化为极坐标的公式：
解（1）由极坐标化为直角坐标的公式：
?x2 ?? x?2 c?osy?2;tyan????siyn?.
x
得得极直坐角标坐分标别分为别(2为2,1(16??4),4
5 3?
( 33),(, 22
3) ,?2(72),,(0?)知极坐标系中两点 A(3,? ? ) B(1, 2? ),
如何求线段|AB|的长？
3
3
7
小节： 1 、极坐标化为平面直角坐标 2 、平面直角坐标化为极坐标
8
四、课堂练习
2.已知三点的极坐标为
?
A(2,
), B(
2, 3? ),
O(0,0) ,则 ? ABO 为( D )2
?
y2
?
1
?x2 ? y2 ? x? 3y ? 0
得 A(1,0),B(? 1 ,? 3) 22
? AB?
???1?
1 2
?2 ??
?
? ???0
?
3 2
?2 ???
?
3
12
课堂小结： 1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ ，y = ρsin θ 代入再化简即可 2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
高二数学 选修4-4
1
内容概括 一.直角坐标与极坐标的互化 二.直线与圆的方程的互化
2
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作 y M(1, 3)
为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长
θ
O
x
度单位.
设点M的极坐标为(ρ,θ)
? ? 12 ?（ 3）2 ? 2 tan ? ? 3 ? 3 ? ? ? ?
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴
重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 (5, 2? )化成直角坐标.
3
点M的直角坐标为 (? 5 , 5 3 )
22
例2. 将点M的直角坐标
(?
3,?1)
化成极坐标.
(2, 7? )
13
例4、求曲线 ? ? sin? ? 3cos? 的直角坐标方程
解：? ?2 ? ? sin ? ? 3? cos?（两边同 ?）
?? ? ? ? ? x ? cos ; y ? sin ； 2 ??x2 y2
? x2 ? 3x ? y2 ? y ? 0
14