正多面体

有一次一个平常的英国孩子詹姆斯，在醉心于制作多面体模型时，写信给父亲：“……我做了四面体、十二面体以及两个不知道名称的多面体．”他当时还是一个毫无名气的孩子．这些话意味着伟大物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦尔诞生了．想象一下，你们自己和你们亲人醉心于制作几何物体模型的情形．

本书的这几页是家庭作业．新年临近，这是最欢乐和美丽的节日．除了传统的枫树装饰（炮仗和小挂灯）外，你们可以制作几何玩具．这是用彩色纸做成的正多面体模型．考察下图，在这图上画着四面体、正方体、八面体、十二面体和二十面体．它们的形状是完美的典型！

你们能觉察到一系列有趣的特点，也正是这些性质使它们得到了相应的名称．每一个正多面体的所有面都是相同的正多边形，在每一个顶点集聚着同样数量的棱，而相邻的面在相等角下毗连．

数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中．

在最后一栏，这些多面体得到的是同一个结果：V+F－E＝2．最令人惊奇的是它不仅对正多面体，而且对所有多面体都正确！

若有兴趣你们可以对某些胡乱取得的多面体进行验证．最伟大的数学家之一列昂纳德·欧拉（1707－1783）证明了这一令人惊叹的关系式，因此公式以他命名：欧拉公式．这位出生于瑞士的天才学者几乎整个一生居住在俄罗斯，我们完全有理由和自傲地将他引为自己的同胞．

正多面体还有一个特点．我们发现：正四面体有一性质：如果把它的每个面的中心作为新的多面体的顶点，那么我们重新得到一个正四面体．余下的4个正多面体恰可分成两对．正方体各面的中心组成一个正八面体，而正八面体各面的中心则组成正方体．同样，可以发生的另一对类似联系是正十二面体和正二十面体．

正多面体所具有的完美的形状和漂亮的数学规律使这五种几何物体具有某种神秘色彩，以致于很久以前它们就是神术者和占星家的必要伴侣．如果你们致力于正多面体的研究和制作，那么肯定会使你们感到欢乐和满意，甚至有可能在新的一年里给你带来好运气！

在下图中给出这些枞树上玩具的展开图．在制作模型时不要忘记在需要的地方留一片瓣膜为粘接用．

还有一种制作多面体模型的方法，不用胶水，由一些纸带编织而成．在嵌入最后一段纸带后，模型就具有刚性的结构．

下图展示了怎样用两条由4个三角形组成的纸带编织四面体．

按虚线屈折后又展开一条纸带，使得形成屈折处——“凹地”．把色纸盖在白纸带上，用白纸带折叠成四面体，使得有色三角形出现在它内部，随后用色纸带包裹四面体的两个面，并且把留下的三角形嵌入两个白三角形之间的裂缝中．

图中给出一种用三条划分成5个正方形的纸带编织正方体的方法．

1.割出三条这样的纸带（白色、黑色、红色）．

2.折叠白色纸带．

3.用黑色纸带裹住它．

4.得到正方体，其前面和后面是白色的，而其余面是黑色的．

5．你从正方体背后让第三条（红色）纸带穿过白色和黑色纸带的缝隙，折弯并且最终两个面也穿过正前方的白色面和黑色纸带之间的缝隙．

如果纸带是不同颜色的，那么所得的正方体有同样颜色的对面．在这种图上所展示的方法的特点是：任何两条纸带彼此都没有钩住，而整个三条却钩住了．还有另一种也是用纸带编制正方体的方法．在这种情况下每两条纸带是钩住的，而相邻的一对面将是同一种颜色．独立地试试找出这第二种编制正方体的方法．

摘自《直观几何》

三维化学-空间正多面体

高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。 ①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体； ②正三角形，四棱共顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体； ③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体； ④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体； ⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。【例题2】确定各正多面体的对称轴类型Cn和数目（Cn表示某一图形绕轴旋转360°/n后能与原图形完全重合）【分析】①正四面体：过一顶点和对面的面心为轴，这是C3轴，显然共有四条；有C2轴吗？过相对棱的中点就是C2轴，共三条。将正四面体放入

一种球形多面体拼接结构(定稿)z

说明书摘要本实用新型涉及拼接结构，具体地说是一种球形多面体拼接结构。包括大小和结构均相同的十至三十片圆形插片，各圆形插片上由边缘处沿四个围绕圆心的弦向依次开设第一插槽、第二插槽、第三插槽及第四插槽，各插槽的开槽方向沿同一周向布设、并与圆心的圆心距相等，其中第一插槽和第三插槽相互平行、并分别位于与第一插槽垂直的第一直径的两侧，所述第二插槽和第四插槽相互平行、并分别位于与第二插槽垂直的第二直径的两侧；每片圆形插片通过其上四个插槽分别与另外四片圆形插片插接，与第一插槽和第四插槽插接的两个圆形插片相互插接，与第二插槽和第三插槽插接的两个圆形插片相互插接，依次类推，各圆形插片俩俩依次插接，形成半个或完整的球形多面体拼接结构。本实用新型拼接方便，强度高，不松散。

摘要附图

权利要求书 1. 一种球形多面体拼接结构，其特征在于：包括大小和结构均相同的十至三十片圆形插片（1），各圆形插片（1）上由边缘处沿四个围绕圆心的弦向依次开设第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24），所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）的开槽方向沿同一周向布设、并各插槽与圆心的圆心距（s）相等，其中第一插槽（21）和第三插槽（23）相互平行、并分别位于与第一插槽（21）和第三插槽（23）垂直的第一直径（3）的两侧，所述第二插槽（22）和第四插槽（24）相互平行、并分别位于与第二插槽（22）和第四插槽（24）垂直的第二直径（4）的两侧；每片圆形插片（1）通过其上四个插槽分别与另外四片圆形插片（1）插接，与第一插槽（21）和第四插槽（24）插接的相邻两个圆形插片（1）相互插接，与第二插槽（22）和第三插槽（23）插接的相邻两个圆形插片（1）相互插接，依次类推，各圆形插片（1）均与其相邻的圆形插片（1）依次插接，形成半个或完整的球形多面体拼接结构。 2.按权利要求1所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）均为条形豁口。 3.按权利要求2所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）等长，所述第一插槽（21）和第三插槽（23）的盲端超过第一直径（3）、并超过的长度为0～s/10mm，所述第二插槽（22）和第四插槽（24）的盲端超过第二直径（4）、并超过的长度为0～s/10mm。 4.按权利要求2所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）的槽宽均为w,所述圆形插片（1）的厚度为d，则3d＞w＞d。 5.按权利要求2所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）与圆心的圆心距（s）大于三分之一半径（r）。 6.按权利要求1所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一直径

正多面体与平面展开图

正多面体与平面展开图 By Laurinda..201604开始总结，网络搜集正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体

正方体展开图相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。

邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角形。但是如何以两条直线完成这道题呢? 今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。

多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2) V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces) 正四面体(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2 正六面体(Cube) V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2 正八面体(Octahedron) V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2 正十二面体(Dodecahedron) V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2 正二十面体(Icosahedron) V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2

趣味数学高中数学第10课时立体几何趣题正多面体拼接构成新多面体面数问题教学

立体几何趣题——第10课时正多面体拼接构成新多面体面数问题训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣教学要求：教学过程：一、问题提出“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：)》在《数学(高二下册所使一个表面重合，“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，他们通过直观感知，对于这个问题学生们表现出了极大的兴趣．得的新多面体有多少个面?”个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个12提出了自己的看法：正四面体和正八面体共个面．面，所以重合之后的新多面体有10 二、故事介绍多年前美国的一次数学竞赛教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事．问重合一个面后还有几所有棱长都相等，中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，个面，9大学教授给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共个面?但佛罗里达州的一名参赛减少两个面，所以重合之后还有7个面。两者各有一个面重叠，于是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔一直有所疑惑，学生丹尼尔的答案是个面；他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果正如他所判断的只有5教授们接受了他的想法并改正了这道题的答他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，案。三、操作确认请同学们拿出故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论．于是教师建议：学)来确认自己的结论．(课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作模型组合生展示大小不一的实物模型．教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过全班同学明白丹尼尔结论的原因所在．同时也观察到了正四面体和正程．通过观察、讨论，这与学生们在上一节课通过直观感知所得的结论是不八面体重合之后新多面体只有七个面，原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个一致的。面了．四、思辩论证老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。学生将正八面体和正四面体拼接的两个侧面想象成两个半平面拼对照实物模型提出了证明思路： 180在正八面体．证明如下：如图1接成一个平面即表示这两个半平面所构成的二面角为，．设正八面体的棱长OBE于点交平面AC中，连结AC

使用GeoGebra软件构造多面体立体图形

使用GeoGebra软件构造多面体立体图形摘要：本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。首先简单介绍GeoGebra软件的窗口功能，简单绘图方法；之后对几种常见的多面体进行简单介绍；然后，结合具体实例介绍在GeoGebr中实现三维空间中动态旋转的正八面体和截角正四面体、截半正方体的构造，进而展现多面体构造过程和使用GeoGebra 软件给数学学习带来的便利。最后，介绍足球、菱形六十面体等复杂多面体的构造方法。关键词：GeoGebra 多面体 1. GeoGebra软件简介 GeoGebra是一款动态数学画图软件，绘图内容包含几何、代数、图形、表格等。GeoGebra的优越性体现在：一方面，GeoGebra是一个几何软件，可以在上面画点、线段、向量、多边形、直线、圆锥曲线和函数，也可以根据需要设计图形的颜色、显示方式等；另一方面，也可以通过直接输入曲线方程或点坐标或图形名称的方式，直接画出所需要的图形。因此，GeoGebra既可以处理变化的量（例如数据、向量、角度等），也可以对数值进行计算（例如函数的微分和积分，求解方程等）。由此可见，GeoGebra是一款可以处理代数问题也可以处理几何图形问题的软件。下面首先介绍一下GeoGebra软件的操作界面及基本使用规则。图1.1 如图1.1所示，用户操作界面是标准的窗口操作界面，有代数区、绘图区、菜单栏和工具栏。其中代数区显示图形中的点、线、面、变量等基本要素信息；绘图区显示所画出的图形，可以隐藏、设置颜色等；菜单栏中的“窗口”选项和文件中的“新建”选项都可以创建新的图形。创建时可以建立新的绘图区域，在视图中可以选择该区域的类型（绘图区2、代数运算区、作图过程、概率统计、3D绘图区等）。GeoGebra的重要的窗口有几何窗口、代数窗口和工作表窗口。1 2. 多面体图形简介 2.1多面体图形的基本性质多面体是指由多个平面多边形围成的几何体。常见的多面体有凸多面体、简单多面体、正多面体等，多面体图形有以下简单的性质： i. 一个多面体最少由四个面组成。多面体按面数可以分为四面体、五面体、六面体等。 ii. 欧拉公式：定点数+面数-棱数=2。 2.2多面体图形的类型多面体根据面与棱的分布特点亦可分为棱锥、棱柱、正多面体等。图2.1多面体图形 2.2.1正多面体正多面体又称柏拉图体（Platonic Solids），指多面体的各个面都是全等的正多边形。共有五种：正四面体（Tetrahedron）、正六面体或正方体（Hexahedron或Cube）、正八面体（Octahedron）、正十二面体（Dodecahedron）、正二十面体（Icosahedron）。

高三数学多面体与正多面体

高三数学多面体与正多面体 9.11多面体与正多面体【教学目标】了解多面体、正多面体的概念【知识梳理】 1若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．３每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体． 4.正多面体有且只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体【点击双基】 1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是答案：B 2.正多面体只有_____________种，分别为 ________________. 答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中

点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________. 解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可. 答案：【典例剖析】【例1】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于 A.－ B. C.－ D. 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cosθ==－（设正方体的棱长为2）. 答案：A 【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离. 解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n?=x+y=0，n?=y－z=0，解得

【趣味数学】高中数学校本课程：第10课时立体几何趣题——正多面体拼接构成新多面体面数问题

第10课时立体几何趣题—— 正多面体拼接构成新多面体面数问题教学要求：训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣教学过程：一、问题提出在《数学(高二下册)》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一个表面重合，所得的新多面体有多少个面?”对于这个问题学生们表现出了极大的兴趣．他们通过直观感知，提出了自己的看法：正四面体和正八面体共12个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个面，所以重合之后的新多面体有10个面．二、故事介绍教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事．多年前美国的一次数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等，问重合一个面后还有几个面?大学教授给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有一个面重叠，减少两个面，所以重合之后还有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔一直有所疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。三、操作确认故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论．于是教师建议：请同学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作(模型组合)来确认自己的结论．学生展示大小不一的实物模型．教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过程．通过观察、讨论，全班同学明白丹尼尔结论的原因所在．同时也观察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课通过直观感知所得的结论是不一致的。原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了．四、思辩论证老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。学生对照实物模型提出了证明思路：将正八面体和正四面体拼接的两个侧面想象成两个半平面拼接成一个平面即表示这两个半平面所构成 180．证明如下：如图1，在正八面的二面角为体AC中，连结AC交平面BE于点O．设正八面体的棱长为1，BF的中点为D，连结AD、 CD，易得∠ADC为二面角A―BF―C的平面

多面体与正多面体

高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点：１、欧拉公式（如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识： 1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。一切凸多面体都是简单多面体。 4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体． 5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式． 6 思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体．（二）例题分析：例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（）个Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４ (2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿解：(1) B （２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E= 2 1(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．

塑料吸管制作的多面体

塑料吸管制作多面体 ——国外青少年DIY科技动手做介绍（二）每年暑假期间（7月底至8月初），日本都举办有“日本全国青少年科学实验节”。近二十年，已成为传统性的活动，很受日本中小学生、家长、教师的欢迎。在活动期间，设在东京的主会场每天都有一万多人来活动。开展的活动项目全部都是由青少年亲自动手实验、亲自动手制作。每天有七、八十个项目，每个项目所需要的器材、材料由大会组织者和项目组织者提供给中小学生，且可以把实验、制作的作品免费带走。本栏目将向大家介绍一些日本青少年科技节中有趣的、取材方便、制作简单的项目。本文介绍的是一个数学DIY的项目，非常有趣味，且取材于日常、身边常见的塑料吸管、橡皮筋，用它们来设计、搭建一些立体几何体，以帮助人们建立立体几何的空间感，以利于数学的学习和空间想象力。图一2009年日本“全国青少年科学实验节”上，“塑料吸管制作多面体”的展台丁云涛摄利用塑料吸管、橡皮筋可以搭建正多面体（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）以及其它多面体、C60（即碳60）的化学结构（足球形）等。下面我们介绍正四面体和正十二面体的制作方法。

正四面体的制作正四面体是由四个等边三角形构成的立体几何体。材料：塑料吸管、橡皮筋（下面以120mm长为例）四根、透明胶条工具：刻度尺、剪刀、制作过程： 1、将塑料吸管剪裁成38mm长的小段，共需6段； 2、顺着吸管长度用剪子剪开一条口子； 3、用橡皮筋将塑料吸管段穿成串 ○1一根橡皮筋穿有三个塑料吸管段（此时构成一个等边三角形）一个 ○2一根橡皮筋穿有两个塑料吸管段一个 ○3一根橡皮筋穿有一个塑料吸管段一个 4、将○2（穿有两个塑料吸管段的橡皮筋）穿过○1（穿有三个塑料吸管段已成三角形的）中的一根吸管段；此时构成两个连接在一起的两个三角形； 5、将○3（穿有一个塑料吸管段的橡皮筋）穿过○1、○2中各一个吸管段，此时已形成一个正四面体； 6、此时的正四面体共有六根吸管段，其中三根吸管段都有两根橡皮筋穿过，另三根吸管段都只有一个橡皮筋穿过，为保证正四面体的牢固、稳定性，我们再用一根橡皮筋分别穿过只有一个橡皮筋的吸管段。必要时，可用透明胶条将开口封上。此时一个漂亮的立体几何形状——正四面体就完成了！

高考第一轮复习数学多面体与正多面体

9.11 多面体与正多面体 ●知识梳理 1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体. 2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. ●点击双基 1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是 A B C D 答案：B 2.正多面体只有_____________种，分别为________________. 答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成的角的余弦值是_____________. 解析：过N 作NP ∥AM 交AB 于点P ，连结C 1P ，解三角形即可. 答案： 5 2 ●典例剖析【例1】已知甲烷CH 4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ等于 A.－31 B. 31 C.－ 21 D. 21 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cos θ= 3 32)22()3()3(2 22??-+=－ 3 1 （设正方体的棱长为2）. 答案：A 【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离. 解：如图，设正八面体的棱长为4a ，以中心O 为原点，对角线DB 、AC 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－22a ，0）、B （22a ，0，0）、C （0，22a ，

三年级科技小制作-正多面体

三年级科技小制作-正多面体正多面体这个是三年级科技小制作，所谓正多面体是指多面体的各个面均呈全等正多边形，每个正多面体的各边的长和顶角的交角均相等。常见正多面体有：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。三年级科技小制作所需材料和工具：纸板、白胶、铅笔、直尺、广告色、剪刀、美工刀三年级科技小制作制作过程：三年级科技小制作相关知识●魔方魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的，魔方系由富于弹性的硬塑料制成的六面正方体。魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一起被称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹。当初厄尔诺·鲁比克教授发明魔方，仅仅是作为一种帮助学生增强空间思维能力的教学工具。但要使那些小方块可以随意转动而不散开，不仅是个机械难题，还牵涉到木制的轴心、座和榫头等问题。直到魔方在手时，他将魔方转了几下后，才发现如何把混乱的颜色方块复原竟是个有趣而且困难的问题。厄尔诺·鲁比克决心大量生产这种玩具。魔方发明后不久就风靡世界，人们发现这个小方块组成的玩具实在是奥妙无穷。魔方核心是一个轴，并由二十六个小正方体组成。包括中心方块六个，固定不动，只一面有颜色，边角方块八个(三面有色)(角块)可转动，边缘方块十二个(两面有色)(棱块)亦可转动。玩具在出售时，小立方体的排列使大立方体的每一面都具有相同的颜色。当大立方体的某一面平动旋转时，其相邻的各面单一颜色便被破坏，而组成新图案立方体，再转再变化，形成每一面都由不同颜色的小方块拼成。玩法是将打乱的立方体通过转动尽快恢复成六面呈单一颜色。魔方品种较多，平常说的都是最常见的三阶立方体魔方。其实，也有二阶、四阶、五阶等各种立方体魔方(目前有实物的最高阶为九阶魔方)。还有其他的多面体魔方，魔方的面也可以是其他多边形。如五边形十二面体：五魔方，简称五魔，又称正十二面体魔方。 1

几种正多面体的相互呼应

几种正多面体的相互呼应南师附中江宁分校韦恩培近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。 1、常用的三种正多面体的呼应众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2）在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3）在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。图（1）图（2）图（3）图（4）图（6）相互转化的目的。 2、应用呼应解题

在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（） A ．3π B ．4π C ．3π3 D ．6π 提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为（） A ．2 a π B ． 22 2a π C ．2 2 1a π D ． 24 1a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为 a 2 2 的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为。提示：根据图（2）在正方体中可以产生正八面体得，所剩下几何体为正方体的六个面中心作为顶点的正八面体，易求得其体积为 3 6 1a 。例4、在甲烷的分子式4CH 中，四个H 位于一个正四面体的四个顶点上，C 位于该正四面体的中心，现已知H 与H 之间的距离为a ，则C 与H 之间的距离为。提示：由图（1）易知：该问题等价于已知正方体的面对角线长为a ，求正方体对角线长的一半。易求得结果为 a 4 6 。例5、正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 提示：根据图（1）易知答案为C 。

正多面体制作方法

正三角形的画法第一步：用圆规画一个圆，第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B，第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步

中的P)，第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。正四边形的画法取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O 于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片正五边形的画法 ①以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。 ②平分半径ON，得OK=KN。 ③以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形的边长。 ④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点，

正七变形的画法 P H ①以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP. ②过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT 的平行线，把MN七等分. ③以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以AB、BC、CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形. 正八边形的画法

正九边形的画法内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。

正多面体的顶点坐标

正多面體的頂點坐標國立台灣師範大數學系陳創義要利用GSP 來作多面體，先要從立體的基本正多面體下手，在正多面體中有許多的對稱，包括旋轉對稱、面對稱、線對稱、點對稱等，因此下列舉出旋轉對稱中的旋轉軸置於z 軸時，某些較簡單形式的頂點坐標標出來，其中旋轉軸在四面體選取的有點到底面中心的連線及兩稜中點連線兩種，另外，正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體選取的有面中心到面中心的連線、稜中點到稜中點的連線、頂點到頂點的連線三種。若一線段長度為a ，正射影到xy 平面的長度為b ，該線段正投影到z 軸的長度為c ，利用畢氏定理知道它們的關係是a 2=b 2+c 2。正四面體頂點坐標令表繞旋轉角度O R O a b a b a b O ==-+(,),(,)(,)(cos s i n ,s i n cos ).00θθθθθθ (一) v v v R O v R O 1001283013312083013424083013 ==-=?-=?-(,,);( ,,);((,)(,),);((,)(,),). (二) v v v v 12301322301330231340231 3 ==-=-=--( ,,);(,,);(,,);(,,). 正六面體頂點坐標

(一 ) 12(3(453;64;71;8 2.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (二 ) 12(34(53;64;72;8 1.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (三 ) 1111(0,0,1);2( );3(((,120)();4(((,240)();33333354;62;73;8 1.v v v R O v R O v v v v v v v v ===?=?=-=-=-=- 正八面體頂點坐標 (一 ) 12((,1203((,24043;51;6 2.v v R O v R O v v v v v v ==?=?=-=-=- (二 ) 12(3(0,1,0); 43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=- (三) 1(1,0,0);2(0,1,0);3(0,0,1);43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=-

混凝土科学与工程复习2012.5

复习一、名词解释（每题3分，18分）胶凝材料：凡是在物理、化学作用下，从浆体变成坚固的石状体，并能胶结其他物料，且具有一定机械强度的物质，统称为胶凝材料。水泥：凡是磨细成粉末状，与适量的水混合后，经过一系列物理。化学变化能由可塑浆体变成坚硬的石状体，并能将砂、石等散粒状材料胶结在一起，能保持并发展其强度的水硬性胶凝材料。混凝土：是指由无机的、有机的或无机有机复合的胶凝材料、颗粒状骨料以及必要时加入的化学外加剂和矿物掺合料等组分按一定比例拌合，并在一定条件下经硬化后形成的复合材料。混凝土外加剂：在混凝土拌合前或拌合时加入的，掺量不大于水泥质量的5%，并能按要求改变混凝土性能的材料，称为混凝土外加剂。集料的表观密度：是指包括非贯穿毛细孔在内的单位体积的质量。混凝土混合料的工作性，又称和易性，混凝土混合料在施工过程中，即在搅拌、运输、浇灌等过程中能最大限度地保持均匀密实而不发生分层离析现象的性能。混凝土的收缩：混凝土随失水产生的收缩称为干燥收缩。温度收缩，碳化收缩。混凝土的耐久性：指混凝土材料在设计使用寿命期间，经受各种内在或外来自然因素及有害介质的作用，能够保持其正常共做性能。碱骨料反应：（AAR）当水泥含碱量较高，混凝土恰好使用了某些活性骨料时，水泥中的碱类和骨料的活性物质烦死化学反应，使混凝土发生不均匀膨胀，造成开裂的现象，称为碱骨料反应。高性能混凝土：靠传统的组分和普通的拌合、浇筑、养护方法不可能制备出的具有所要求的各种性质和均质性的混凝土。矿物掺合料：在配置混凝土时加入的能改变新拌混凝土和硬化混凝土性能的无机矿物细粉。混凝土标准抗压强度：用150mm*150mm*150mm的立方体试件昨晚标准试

正多面体在ProE中的创建方法总结

【概述】：详细讲解了如何在proe中应用几何约束的方法来创建正四面体、正八面体、正二十面体、正十二面体和足球多面体的方法，概括性和实用性高 2. 如何构建正多面体？在数学上，我们要在空间表达构成多面体的正多边形的位置需要经过一番较为复杂的几何推算过程，但利用三维CAD软件的特殊几何约束方式，我们能够通过简单的布置来求解得到这些值，下面我们就通过具体的例子来讲解如何利用这些几何约束来求解。 a）正四面体（四个三角形，同一顶点有三个三角形）这四面体比较简单，四个正三角形构成首先，我们创建底部的正三角形，然后以其中的一条边作为旋转中心，草绘一条和已有边长相等的直线段并成60度，然后绕旋转中心旋转180度，很显然我们要求的正四面体的另一个顶点就在这个旋转面的边上然后考虑这个形状的特殊性，正四面体的另一个顶点必定在通过底面的正三角形的重心并垂直于改平面的中心轴上，这样我们即可以得知中心轴和上面的顶点轨迹的交点就是我们要求的另外一个顶点，求得顶点后，使用底部的三角边和顶部进行边界混成就可以完成我们的正四面体的创建了。 b）正八面体（八个正三角形，同一顶点有四个三角形）

因为对于正八面体，每一个顶点都有4个正三角形，而这四个三角形是相互相邻并完全一样的，所以它们的公共顶点对面的四条边必定是构成一个正方形，考虑到它刚好有8个三角形，那么这个正方形必定是在对称中心，弄明白这个道理后，我们的创建就变得相当简单了，后面的处理方式就和我们的正四面体的处理方式大同小异同样的方式获得其中一个顶点，然后是边界混成得到一半的形状。然后再镜像过去就完成了最后的正八面体的创建。 c）正二十面体（20个三角形，每个顶点有5个三角形）对于前面的分析，其实和正八面体是一样的分析方法，因为对于某个顶点而言，它有5个相邻的三角形，这5个三角形的公共顶点对边必定是构成一个正5边形。正五边形草绘，然后以其中的一边作旋转轴旋转一条60度的直线段，这里我们旋转360度，因为两边都需要使用。

立体构成教案设计

《立体构成》课程教学大纲一、课程性质《立体构成》在艺术设计专业课程体系中属专业必修课。是艺术领域中研究空间造型的公共必修课程之一，在设计教学中具有举足轻重的作用。教学中利用材料进行模拟构造，创造纯粹的形态造型，从而引导学生从形态要素的立场出发，熟练掌握三维形体的造型规律，为以后的环艺和工业设计奠定基础。本课程的先修课程为《色彩构成》、《平面构成》，后续课为《包装设计》；本课程所属的二级学科是艺术设计学，研究对象为立体元素和空间构成设计，主要方法为熟悉、掌握立体空间的造型规律，以便学生在实践运用中能够独立完成设计工作。二、教学目的通过本课程教学，使学生了解立体构成国内外应用动态、前沿理论，理解三维空间设计元素的组织规律，掌握三维空间中点线面的构成法则,使学生具备空间设计能力以及室内外、景观设计的应用能力。为下一步进行视觉传达、环艺设计、工业设计教学做好前期准备。在此基础上通过系统教学，为以后的设计工作奠定坚实基础，使学生能胜任在设计研究机构、设计公司及高等院校从事设计开发、教学科研等工作。三、教材教参教材：《立体构成教程》，愈爱芳，浙江人民美术出版社，2004。教参：《立体构成》，李刚，辽宁美术出版社，2006；《立体构成》，文增，辽宁美术出版社，2003。四、教学方式课程以课堂讲授为主，课堂示范，自习和讨论为辅的方式组织教学，结合多媒体教学。五、教学内容及时数

根据《山西大同大学本科人才培养方案（2008年修订）》，本课程总教学时数为36学时,其中讲授12学时,实践24学时。具体如下：理论教学：理论12学时，基本内容如下：第一章立体构成概述（2课时）一、立体构成的概念及起源 1、概念：立体构成也称空间构成,立体构成是以一定的材料和视觉为基础,以结构力学为依据,将造型要素按照一定的构成原则\审美,进行组合拼装,构造,从而创造一个符合设计意图的、具有一定美感的、全新的三维形态的过程。 2、起源：“立体构成”这门课程起源于1919年，是德国包浩斯学院在创办后确立的。西方绘画领域：立体主义；俄国构成主义；荷兰风格派；包豪斯：三大构成二、立体构成的基本元素点\线\面\体三、立体构成的形式法则对比与统一、对称与均衡、节奏与韵律、比例与习性、稳定与轻巧四、立体构成的材料表现第二章半立体构成（2课时）一、半立体概念半立体构成是介于平面与立体之间的形态,又称为浮雕,是三维空间的半立体状态。二、半立体构成方法 1、由平面形态转变为有厚度的立体。 2、采用正负形与图底分离后再进行立体化

第八节空间正多面体

第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。 ①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体； ②正三角形，xx顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：

同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。【例题2】确定各正多面体的对称轴类型Cn和数目（Cn表示某一图形绕轴旋转360°/n后能与原图形完全重合）【分析】①正四面体：过一顶点和对面的面心为轴，这是C 3轴，显然共有四条；有C 2轴吗？过相对棱的中点就是C 2轴，共三条。将正四面体放入正方体再研究一下吧（参考第一节）！C 3轴不就是体对角线吗（）？而C 2轴就是正方体的相对面心（）。 ②正方体：存在C 4轴，即过相对面的面心，有三条；C 3轴，过相对顶点，有四条；C 2轴呢？用了面心和顶点，是否可用棱边呢？过相对棱的中点，不就是C 2轴吗？共有六条。