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专题七 不等式

第二十一讲 不等式的综合应用

答案部分

2019年

1.解析 0x >，0y >，25x y +=，

===

由基本不等式，

=

=时，即3xy =，且25x y +=时，即

31x y =??=?或x y =??

?=

??

2010-2018年

1．D 【解析】点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，

当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为

1

a

的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线

2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示

的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32

-， 当32a -<-

，即3

2

a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即3

2

a =时，

4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．

解法二 若(2,1)A ∈，则21422

a a +>??

-?≤，解得32a >，所以当且仅当3

2a ≤时，

(2,1)A ?．故选D ．

2．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当|

|2

x

y a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由2

2x a x x

+=+，得

2240x ax -+=，由0?=，并结合图象可得2a =，要使()||2

x

f x a +≥恒成立，当

0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．

解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值

2，所以不等式()|

|2

x

f x a +≥等价于 |

|22

x

a +≤在R 上恒成立． 当

a =0x =，得|22x

+>，不符合题意，排除C 、D ； 当a =-0x =，得|22

x

->，不符合题意，排除B ；

选A ．

3．C 【解析】若{}n a 是递减的等差数列，则选项,A B 都不一定正确．若{}n a 为公差为0

的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{}n a 为公差不为0

的正确数列，由等差中项的性质得1322a a a +=，由基本不等式得1

3

2

a a

+C 正确．

4．B 【解析】∵0a b <<，∴

2

a b

+()ln f x x =在(0,)+?上单调递增， 故(

)2

a b

f f +<，即q p >，

∵11

(()())(ln ln )22r f a f b a b f p =

+=+===， ∴p r q =<．

5．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，

所以

431a b +=(0,0a b >>)

，4343()()77b a

a b a b a b a b

+=++=+++≥ 当且仅当43b a

a b

=时取等号．

6．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221?≥+=，即222-+≤y

x ，

所以2-≤+y x ，当且仅当y

x 22=，即y x =时取等号． 7．B 【解析】由2

2

340x xy y z -+-=，得2

2

34z x xy y =-+．

所以

22

14343xy xy x y z x xy y y x ==-++

-1≤=，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时2

2y z =，1)(

max =z

xy

. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y

y x y -=-=1)221121(

42

=-

+≤y y ， 故选B.

8．C 【解析】由2

2

340x xy y z -+-=得2

2

43x y xy z +-=，

22443331z x y xy

xy xy xy

+=-≥=-=， 当且仅当2

2

4x y =即2x y =时，z

xy

有最小值1， 将2x y =代入原式得2

2z y =，

所以2

2

222224x y z y y y y y +-=+-=-+， 当1y =时有最大值2．故选C ． 9．C 【解析】Q 35x y xy +=，

13

5y x

+=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +?+=++

≥1132555

?=.

10．C 【解析】Q 35x y xy +=，

13

5y x

+=，

113131213(34)()()555x y x y y x y x +?+=++≥113236555

??+=. 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，

则222112S ab v ab S S

a b ab

a b

a b

=

=

=

<=+++． ∵ a b <,∴ 2

222ab a v a a b a

=

>=+,∴a v ab <<．选A ． 12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =

8

21

m +(0m >)，2log y x =图像

如下图，

由2log x = m ，得122,2m m

x x -==，

2log x =

8

21

m +，得8

218

21342,2m m x x +-+==． 依题意得821

821

821

821

222

2

,22

,22

m m m

m

m

m m m b a b a

++-

-+-

-+-=-=-=-821

821

22

2

m m m

m ++

+==．

814111

431212222

2

m m m m +

=++-≥-=++Q ，min ()82b a ∴=

13．B 【解】（方法一）已知a b <2

a b

ab +<，比较a ab

因为22

)()0a ab a a b -=-<，所以a ab <

22()()0b ab b b a -=->ab b <；作差法：022

a b b a

b +--

=>，

所以

2a b b +<，综上可得2a b

a b +<<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =，

4=，52a b +=，所以2

a b

a b +<<<．

14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2

2

22a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取

1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，

此时

1122

a b +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >， ∴

0b a >，0b a

>

∴

2b a a b +=≥，D 正确． 15．

1

4

【解析】由360a b -+=，得36a b =-，

所以363

31112222824

a

b b b --+

=+=?=≥， 当且仅当36

31

22

b b -=

，即1b =时等号成立． 16．(1,4)；(1,3](4,)+∞U 【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；

当2x <时，令2

430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2

430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．

17．1[,1]2【解析】由题意，22222

211(1)2212()22

u x y x x x x x =+=+-=-+=-+，且

[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =

时，22

min 12

u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1

[,1]2

．

18．4【解析】

442241411

44a b a b ab ab ab ab

+++=+≥≥ ，

当且仅当2

2

2a b =，且12

ab =

，即2

2a =时取等号．

19．30

【解析】总费用为600900464()4240x x x x +

?=+≥?，当且仅当900

x x

=，即30x =时等号成立．

20．9

(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4

[4,5]x x

+

∈ ①当5a ≥

时，44()2224f x a x a a x a a x x =--

+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即9

2

a =

（舍去） ②当4a ≤时，44

()5f x x a a x x x

=+-+=+≤，此时命题成立．

③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则

|4||5||4|5

a a a a a a -+-+??

-+=?≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=， 解得92a =

或9

2

a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9

(,]2

-∞．

21

．

3

0a b c ++=得，a b c =--，则2222

()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，

解得33a -

≤≤，故a

的最大值为3

． 22．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，

因为222

24463()2

a b a b ab c ab c +++=++≤， 故有2

(2)4a b c +≤，2

2(

)2

a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =， 所以124a b c ++=2

244114()112

b b b +=+--≥．

23．－2 【解析】 设2a b t +=，则2a t b =-，因为2

2

4240a ab b c -+-=， 所以将2a t b =-代入整理可得2

2

630b tb t c -+-=①， 由0?≥

解得t ≤2a b +

取得最大值时，t =

代入①式得b =

2a t b =-

得a = 所以

345a b c -+

=55c c +=

222=--≥． 当且仅当5

2

c =

时等号成立． 24．1900 100【解析】

（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v

=

=?++，

当且仅当11v =时等号成立．

（Ⅱ）76000200020518F v v

=

=?++，当且仅当10v =时等号成立．

20001900100-=．

25．－2【解析】∵

1||2||a a b +

=||

||4||4||4||a b a a b a a b a a b

++=++

13114||4||44

a a a a +=+-+=≥

≥ 当且仅当

||

,04||b a a a b

=<，即2,4a b =-=时取等号 故

1||

2||a a b

+

取得最小值时，2a =-． 26．36【解析】因为0,0x a >>

，()44a f x x a x =+

≥=， 当且仅当4a

x x

=

，即3x ==，解得36a =． 27

【解析】∵22

1x y xy ++=， ∴2

()1x y xy +-=，即2

2

()(

)12

x y x y ++-≤， ∴2

4

()3

x y +≤

，x y +．

28．9【解析】由柯西不等式可知2

222

211

()(4)(12)9x y y x

+

+≥+=．

29．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥≤，

命题①正确；2

2

2

()2422a b a b ab ab +=+-=-≥， 命题③正确；

1122a b a b ab ab

++==≥，命题⑤正确．