高一数学几何数学经典试题

O

S

D

C

B

A

P

1. 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证： (1) FD ∥平面ABC;

(2) AF ⊥平面EDB.

解；(1)取AB 的中点M,连FM,MC,

∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点 ∴ FM ∥EA, FM= EA

∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ∴ CD ∥EA ∴ CD ∥FM

又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD 是平行四边形

∴ FD ∥MC

FD ∥平面ABC

(2) 因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB 又 CM ⊥AE,所以CM ⊥面EAB, CM ⊥AF, FD ⊥AF, 因F 是BE 的中点, EA=AB 所以AF ⊥EB.

2、已知四棱锥P-ABCD (如图所示)的底面为正方形，点A 是点P 在底面AC 上的射影，PA=AB=a ，S 是PC 上一个动点． １）求证：PC BD ⊥；（4分）

２）当SBD ?的面积取得最小值时,求平面SBD 与平面PCD 所成二面角的大小．（10分）

S

D

B

A

P

1）证明：连接AC ．

∵点A 是点P 在底面AC 上的射影,(1分) ∴PA ⊥面AC.(2分)

PC 在面AC 上的射影是AC. 正方形ABCD 中,BD ⊥AC,(3分) ∴BD ⊥PC.(4分) 2)解:连接OS. ∵BD ⊥AC,BD ⊥PC,

又AC 、PC 是面PAC 上的两相交直线, ∴BD ⊥面PAC. (6分) ∵OS ?面PAC, ∴BD ⊥OS.(7分)

正方形ABCD 的边长为a ，

，（8分）

O

S

D

C

B A

P

∴?BSD

的面积22

BSD BD OS OS S ?=

=

．（9分） OS 的两个端点中，O 是定点，S 是动点．

∴当BSD S ?取得最小值时，ＯＳ取得最小值，即OS ⊥PC ．（10分） ∵PC ⊥BD ， OS 、BD 是面BSD 中两相交直线，

∴PC ⊥面BSD ．（12分）

又PC ?面PCD ，∴面BSD ⊥面PCD ．（13分） ∴面BSD 与面PCD 所成二面角的大小为90°．（14分）

4、在三棱锥P －ABC 中，AB AC ⊥,0

60ACB ∠=,P A = PB = PC ,点P 到平面ABC 的距离

为 3

2

AC ． (1) 求二面角P －AC －B 的大小；

(2) 若AC a =，求点B 到平面P AC 的距离．

.

解 ：(1) 由条件知△ABC 为直角三角形，且∠BAC = 90?，

∵ P A = PB = PC ，

∴ 点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，

即斜边BC 的中点E ． 取AC 中点D ，连PD , DE , PE ．

∵ PE ⊥平面ABC ，DE ⊥AC (∵ DE ∥AB ), ∵ AC ⊥PD ． ∴ ∠PDE 为二面角P －AC －B 的平面角．

又PE = 32 AC ，DE = 3 2

AC ，（0

60ACB ∠= ）

∴ tan ∠PDE = PE

DE

3

=

∴ ∠PDE = 60?．

故二面角P －AC －B 的大小为60?．

5. 如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，

M 为BC 的中点.

(Ⅰ)证明：AM ⊥PM ；

(Ⅱ)求二面角P －AM －D 的大小； (Ⅲ)求点D 到平面AMP 的距离.

A

C

P

B

A

C D

P

B

z x

y

O

P

P

A 1

B 1

C 1

解：(Ⅰ) ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC ⊥CD

∵平面PCD ⊥平面ABCD

∴BC ⊥平面PCD ……………………………2分 而PC ?平面PCD ∴BC ⊥PC 同理AD ⊥PD

在Rt △PCM 中，PM=62)2(2

22

2=+=+PC MC

同理可求PA=32，AM=6 ∴22

2

PA PM

AM =+…………………………5分

∴∠PMA=90°

即PM ⊥AM ……………………6分 (Ⅱ)取CD 的中点E ，连结PE 、EM ∵△PCD 为正三角形

∴PE ⊥CD ，PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=3

∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD 由(Ⅰ) 可知PM ⊥AM ∴EM ⊥AM

∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角……………………………8分 ∴sin ∠PME=

22

6

3=

=PM PE ∴∠PME=45°

∴二面角P －AM －D 为45° 7、（本小题满分14分）

在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB=BC=CA=a ，AA 1

（I ）求AB 1与侧面CB 1所成的角；（4分）

（II ）若点P 为侧棱AA 1的中点，求二面角P －BC －A 的大小；(5分) （Ⅲ）在（II ）的条件下，求点A 到平面PBC 的距离. 解：（I ）取BC 中点D,连结AD,B 1D ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直棱柱

∴侧面CB 1⊥底面ABC,且交线为BC ………………1分 ∵△ABC 为等边三角形∴AD ⊥BC,

∴AD ⊥面CB 1 ∴∠AB 1D 为AB 1与侧面CB 1所成的角………2分

E

Ａ

B

C

D

P

M

在Rt △ADB 1中 ∵

AD=

2

a ，AB 1

== ∴sin ∠AB 1D ＝

11

2

AD AB = ∴∠AB 1D=30 （II ）连结PB,PC,PD,

∵PA ⊥底面ABC AD ⊥BC

∴PD ⊥BC ∴∠PDA 为二面角P －BC －A 的平面角

在Rt △PAD ∵tan ∠PDA

＝PA AD == ∴∠PDA ＝

Ⅲ）设点A 到平面PBC 的距离为h ，则由P ABC A PBC V V --=得ABC PBC S PA S h ???=?

∴ABC PBC

S PA

h S ???=

2

2

2

2223

(

)22PB PA AB a a a =+=+=

PD ==

∴2124PBC S BC PD ?=

?=

∵2

4

ABC S ?=，

∴2h =

=.

6、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ======

（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小的余弦值；

B

E

（I ）证明：连结OC

,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥

在AOC ?

中，由已知可得1,AO CO ==而2,AC =

222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥

,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD

（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角

在OME ?中，

111,22

EM AB OE DC =

=== OM 是直角AOC ?斜边AC 上的中线，1

1,2

OM AC ∴=

=

cos OEM ∴∠=

A

B

M

D

E

O

C