线线垂直、线面垂直、面面垂直习题与答案
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案
1．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC ⊥AD ； 2如图，在三棱锥S —
ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．
（1）求证：AB ⊥BC ；
3.如图，四棱锥P —
ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．
（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． 4.
如图2-4-2所示，三棱锥S —
ABC 中，SB=AB ，SC=AC ，作AD ⊥BC 于D ，SH ⊥AD 于H ， 求证：SH ⊥平面ABC.
(第1题)
5.
如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.
6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
D1C1
A1B1
D C
A B
7.
如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，
，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM.
8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
9.
如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB =∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．
10.如图，在长方体ABCD—
A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC ，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.
11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC 平面PBC。
12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC =60°，若截取SA=SB=SC.
求证：平面ABC⊥平面BSC
13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD=
a,
AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
14.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE =AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA
；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平
面ECA．
2
15.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．
(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．
16.
如图1，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，
M
为
1CC
的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD
答案与提示：
1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．
∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形，
∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ?平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．
2.
【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面S BC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，
又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，
∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．
3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，
又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩P D=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，
∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ?面PAD ∴CD ⊥AF ，
又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、E G ，则GF
21
CD 又AE 21
CD ，
∴GF
AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又E G ?平面PEC ，
∴平面PEC ⊥平面PCD ．
（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC
∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PF H 与 △PCD 中，∠P 为公共角，
而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PF
CD FH =
，设AD
=2，∴PF=2，PC=32482
2=+=+CD PD ，
∴FH=3623
22=
?∴A 到平面PEC 的距离为36．
4. 【证明】取SA 的中点E ， 连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE.
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE
5.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，
所以SD⊥AC.
连接BD. 在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，
所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
所以BD⊥平面SAC.
6.
证明：连结AC
BD AC
⊥
AC为A1C在平面AC上的射影
∴⊥
⊥?
?
?
?⊥
BD A C
A C BC A C BC D
1
1111
同理可证
平面
7.证明：如右图，连接、、，则.
∵，∴为等腰三角形.
又知D为其底边的中点，∴.
∵，，∴.
又，∴. ∵
为直角三角形，D为的中点，∴
，.
又，，∴.
.即CD⊥DM.
∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM.
8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵AC BC
=，∴CF AB
⊥．
∵AD BD
⊥．
=，∴DF AB
又CF DF F
=，∴AB⊥平面CDF．
∵CD?平面CDF，∴CD AB
⊥．
又CD BE
⊥，BE AB B
=，
∴CD⊥平面ABE，CD AH
⊥．
∵AH CD
⊥，AH BE
=，
⊥，CD BE E
∴AH⊥平面BCD．
9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，
由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，
则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，
取BC中点为E
直角△BPC中，，，
由AB=AC，AE⊥BC，
直角△ABE中，，，，
在△PEA中，，，
∴，
平面ABC⊥平面BPC
.
10. 证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠
D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴?=∠90DEC ，即D
E ⊥EC ．
在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ?平面
11DCC D ，
∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．
(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －
1111D C B A 中，∵面
ABCD ⊥面11DCC D ，
∴EO ⊥面
ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －
C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝5
1， (第10题)
又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5
．
11.（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径
∴BC ⊥AC ；
又PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ?平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ．
.
12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC.
令SA=a,在△SBC中，SD= a,
又AD= = a,
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.
在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,
∴AE= ,同理,CE= .
在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,
∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.
∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.
又∵AE平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD
14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵，，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．
∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．
又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．
又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．
又∵DM平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，
则，
故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．
∵AE平面PAD，MN平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．
由(1)知，需证AE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB．又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD．
∴AB⊥AE．即AB⊥MN．
又CD∥AB，∴MN⊥CD．
(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，E为PD的中点．
∴AE⊥PD，即MN⊥PD．
又MN⊥CD，
∴ MN ⊥平面PCD ．
16.证明：连结MO ，1A M
，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，
1A A
AC A =，
∴DB ⊥平面11
A ACC ，而
1
AO ?平面
11A ACC
∴DB ⊥1A O ．
设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234
MO a =．
在Rt △11A C M 中，22194
A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1
AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．