高中数学解析几何基本公式与题型

高中数学解析几何基本公式与题型

解析几何中的基本公式

1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=

特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++

则：2

2

21B

A C C d +-=

注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++

则P 到l 的距离为：2

2

B

A C

By Ax d +++=

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?

?

?=+=0)y ,x (F b

kx y

消y ：02

=++c bx ax ，务必注意.0>?

若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x

则：2122))(1(x x k AB -+=

5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P

分有向线段AB 所成的比为λ，

则???

????

λ+λ+=λ+λ+=1121

21y y y x x x ，特别地：λ=1时，P

为

AB 中点且???

????+=+=22

2121y y y x x x

变形后：y

y y y x x x x --=λ--=

λ21

21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα

适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2

11

21tan k k k k +-=

α

若l 1与l 2的夹角为θ，则=

θtan 21211k k k k +-，]2

,0(π

∈θ

注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=

2

π

。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α；

（2）]0[,π∈θθ→

→，，夹角b a ；

（3）直线l 与平面]2

0[π∈ββα，，的夹角；

（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2

0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，

8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系

a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 9、 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直

（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2? k 1=k 2

②l 1⊥l 2? k 1k 2=－1 （2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零

① l 1//l 2?

2

1

2121C C B B A A ≠

=； ② l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0； ③ l 1与l 2相交?

2

1

21B B A A ≠

④ l 1与l 2重合?

2

1

2121C C B B A A =

=； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

10、 直线方程的五种形式

名称 方程 注意点

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在

点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在： x x =

（2）斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式： 1

21

121x x x x y y y y --=--

截距式：

1=+b

y

a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，

交y 轴于),0(b 当直线l 在坐标轴上，截距相等时应分：

（1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设1=+a

y

a x 即x+y=a

一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程 （1）标准方程： 2

2

2

)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(。 （2）一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x ，（)042

2

>-+F E D

,)2

,2(圆心----E

D 2

422F

E D r -+=

11、直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，0相离r d

0=???=相切r d 0>???<相交r d 12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d 条公切线外切321??+=r r d

条公切线相交22121??+<<-r r d r r 条公切线内切121??-=r r d 无公切线内含??-<<210r r d

外离 外切

相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆

定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

标准方程：122

2

2=+b y a x )0(>>b a

定义域：}{a x a x ≤≤-值域：

}{b y b x ≤≤-

长轴长=a 2，短轴长

=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：

)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=，212PF a PF -=，

c

a PF c a +≤≤-1

等（注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +=

=等等。顶点

与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．

将有关线段1

PF 、2PF 、2c ，

有关角21PF F ∠结合起来，建立1

PF +2PF 、1

PF ?2PF 等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：?

??θ=θ

=sin cos b y a x ；

（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其

相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。

（二）图形：

（三）性质

方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122

22=-b

x a y )0,0(>>b a

定义域：}{a x a x x ≤≥或； 值域为R ； 实轴长=a 2，虚轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：

)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=，a PF PF 221=-；

注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1

顶点到准线的距离：c a a c a a 22+-或；焦点到准线的距离：c

a c c a c 2

2+

-或 两准线间的距离=c

a 2

2

（2）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：?=-02222b y a x x a b

y ±=

若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y

a x ?双曲线可设为λ=-22

22

b y a x

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

（3）特别地当?=时b a 离心率2=

e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2

2

y x ；

（4）注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关

线段1

PF 、2PF 、2

1F F 和角结合起来。

（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。

二、抛物线

（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。

（二）图形：

（三）性质：方程：焦参数-->=p p px y ),0(,22；

焦点： )0,2

(

p

，通径p AB 2=； 准线： 2

p

x -=；

焦半径：,2p x CF += 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2

p

；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（2）抛物线px y 22

=上的动点可设为

P ),2(2

y p

y

或

或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中

解析几何基本题型

【考点透视】 一．直线和圆的方程

1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程

1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 【例题解析】 考点1.求参数的值

求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.

例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22

162

x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）

A ．2-

B ．2

C ．4-

D ．4

考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.

解答过程：椭圆22

162

x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，

故选D.

考点2. 求线段的长

求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.

例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于

A.3

B.4

C.32

D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.

解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123

301y x x x b x x y x b

?=-+?++-=?+=-?

=+?，

进而可求出AB 的中点11(,)22M b --

+，又由11

(,)22

M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，

∴220x x +-=，由弦长公式可求出2

21114(2)32AB =+-?-=．

故选C

例3．如图，把椭圆2

2

12516

x y +=的长轴

AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部

分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2

2

12516

x y +=的方程知225, 5.a a =∴=

∴1234567

7277535.2

a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 故填35.

考点3. 曲线的离心率

曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a

c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);

(2) 双曲线的离心率e ＝a

c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).

结合有关知识来解题.

例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为

A ．221412x y -=

B ．221124x y -=

C ．221106x y -=

D ．22

1610

x y -=

考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程： 2,4,c e c a

=== 所以22,12.a b ∴==故选(A).

小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.

例5．已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）

A. 2

B.3

32 C. 2 D.4

考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.

解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.求最大(小)值

求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.

例6．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .

考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+=

()()12222222

2

122

284160,

8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+??∴+=+=?=+≥ ??

?

故填32.

考点5 圆锥曲线的基本概念和性质

圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．

在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x 相切于坐标

原点O .椭圆9

2

2

2

y a

x +

=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

（1）求圆C 的方程；

（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)

则,222,

m n n =-???

?=?? 解得2,2.

m n =-??

=? 所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=

(2) 由已知可得 210a = ， 5a =．

椭圆的方程为 22

1259

x y += , 右焦点为 F( 4, 0) ;

假设存在Q 点()

222cos ,222sin θθ-++使QF OF =,

(

)(

)

22

222cos 4222sin 4θθ

-+-++=．

整理得 s i n 3c o s 22θθ=+， 代入 22sin cos 1θθ+=．

得:210cos 122cos 70θθ++= , 122812222cos 110

10

θ-±-±==<-．

因此不存在符合题意的Q 点. 例8．

如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线AB 与 x 轴相交于点C .

（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式；

（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A

因为.2,||2

2

t a a t OA =+=所以

由于.2,02a a t t +=>故有 （1）

由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+t

y

c x 又因点A 在直线BC 上，故有,12=+t

a c

a

将（1）代入上式，得,1)

2(2=++

a a a c

a 解得 )2(22+++=a a c .

（II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为

1)

2(2)

2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=

a a a

a a

a c a a k CD ，

所以直线CD 的斜率为定值.

例9．已知椭圆22

22x y E :

1(a b 0)a b

+=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求： （1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.

解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则2

2

1122

x y 1a b +=，22

2222x y 1a b

+=，二式相减得： 2

1212

AB

2

1212y y (x x )b k x x (y y )a

-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =， 则c 2e a

2

==；

（2）椭圆E 的右准线为22a (2c)x 2c c c

===，双曲线的离心率11

e 2e

==

，

设P(x,y)是双曲线上任一点，则：

22

(x 2)(y 1)|PM |2|x 2c ||x 2c |

-+-==--，

两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，

当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；

（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题

利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：

例10．双曲线C 与椭圆22

184

x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==

，且3

821-=+λλ时，求Q 点的坐标.

考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.

解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22

22

1x y a b

-=,

由椭圆22

184

x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，

∴对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线 ∴3b a

=

解得 22

1,3a b ==，

∴双曲线C 的方程为2

213

y x -=

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.

设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k

-.

1PQ QA λ=

,11144(,4)(,)x y k

k

λ∴--=+.

1111111

14444()44x k k x k k y y λλλλ?

=--??-=+??

∴?????-==-???

11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴212

11

11616()10k

λλλ+--=. ∴222211161632160.3

k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3

k k λλ-++-=

同理有：2222216(16)32160.3

k k λλ-++-=

若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠

12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.

122328163

k λλ∴+=

=-

-,24k ∴=，此时0,2k ?>∴=±.

∴所求Q 的坐标为(2,0)±.

解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k

-.

1PQ QA λ=

， Q ∴分PA 的比为1λ.

由定比分点坐标公式得

111

11

11111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??

-==-+??+??→??

+??=-

=??+??

下同解法一

解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k

-.

12PQ QA QB λλ==

， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k k k

λλ∴--=+=+.

11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，22

4y λ=-， 又1283

λλ+=-， 12

1123

y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.

将4y kx =+代入2

213

y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.

230k -≠ ，否则l 与渐近线平行.

212122224483,33k y y y y k k -∴+==

--.

222

244833233k k k -∴?=?

--.2k ∴=±

(2,0)Q ∴±.

解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k

-

1PQ QA λ= ,11144

(,4)(,)x y k k

λ∴--=+.

∴1114

444k kx x k

λ-

==-++.同理

124

4

kx λ=-

+.

1212448

443

kx kx λλ+=-

-=-++.

即

2121225()80k x x k x x +++=.

（*）

又 22413y kx y x =+??

?-=??

消去y 得2

2

(3)8190k x kx ---=.

当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠.

由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ?

+=??-?

?=-?-?

代入（*）式得

24,2k k ==±.

∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.

例11．

设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；

（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．

[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-， 2212124()4sin d d d d θ=-+，即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a λ=-的双曲线．

方程为：22

11x y λλ

-=-．

（2）设11()M x y ，，22()N x y ，

①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上． 即2111511012λλλλ

λ-±-=?+-=?=-，因为01λ<<，所以512

λ-=．

②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．

由22

11(1)x y y k x λλ

?-=?

-??=-?

得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??， 由题意知：2

(1)0k λλ??--≠??

，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122

(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22

21212

2

(1)(1)(1)k y y k x x k

λλλ=--=

--．

因为0=?ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以

2121222

122212(1)0(1)51210

112310

01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>-???+-+>???<<+--??????>+->>???-?

． 由①②知，5122

3

λ-<≤．

解法2：（1）同解法1

（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=?+-=-， 因为01λ<<，所以512

λ-=；

②当12x x ≠

时，002

2222

12111

11

1y x k y x y x MN ?-=????????=--=--λλλ

λλ

λ． 又001

MN BE y k k x ==-．所以22

000(1)y x x λλλ-=-；

由2MON π=∠得2

22002MN x y ??+= ???，由第二定义得2

212()222MN e x x a ??+-??= ????

??? 2

2000111(1)211x x x λλλ

λ??=--=+-- ?--??． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．

于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),

y x x y x x λλλλλλλ?-=-??-=--+-??得2

0(1).23x λλ-=-

因为01x >，所以2

(1)123λλ

->-，又01λ<<，

解得：5122

3

λ-<<．由①②知5122

3

λ-<≤．

考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题

利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.

例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为33

，过点C(1,0)-的直线

交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =

，求当AOB ?的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方

C B

A o

y x

解答过程：因为椭圆的离心率为33

，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为

my x 1=+，

由222x 3y t my x 1

?+=?=+?得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则122

4m y y 2m 3

+=+…………① 又CA 2BC =

，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………② 由①②得：128m y 2m 3

=

+，2

24m y 2m 3-=+， 则AOB 122

1m

S |y y |6|

|2

2m 3

?=-=+＝6632

2|m ||m |

≤

+

， 当23m 2

=，即6m 2

=±时，AOB ?面积取最大值，

此时2122

222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-

++，即t 10=，

所以，直线方程为6x y 102

±+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.

小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知PA (x 5,y)=+

，PB (x 5,y)=- ，且|PA ||PB |6+= ， 求|2x 3y 12|--的最大

值和最小值.

解答过程：设P(x,y)，A(5,0)-，B(5,0)，

因为|PA ||PB |6+=

，且|AB |256=<，

所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为2

2

x y 19

4

+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，

则|2x 3y 12|--＝|62cos()12|4

πθ+-，

当cos()14

πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值1262+，

当cos()14

πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值1262-.

小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题

解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域

例14． 已知椭圆2

212

x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，

线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-

圆过点O 、F ，

∴圆心M 在直线12

x =-上.

设1(,),2

M t -则圆半径13()(2).22

r =---=

由,OM r =得2213(),2

2

t -+=

解得 2.t =±

∴所求圆的方程为2219

()(2).24

x y ++±

=

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入2

21,2

x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=

直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根.

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y

则2

122

4,21

k x x k +=-+ AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k

-=--

令0,y =得

222002222211

.2121212421

0,0,2

G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-

<<

∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2

-

例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b

-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半x

y

l

G

A

B

F O

F

E P D

B

A O

y

x

轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF |

成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，

（1）求证：PA OP PA FP ?=?

；

（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF | 成等比数列，故22

|OB |a |OA |c |OF |

==

，即2a A(,0)c ，

直线l ：a y (x c)b

=--，

由2a y (x c)

a a

b b P(,)b

c c y x a ?=--?

???

?=??

， 故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c

=-==- ，

则：222a b PA OP PA FP c

?=-=?

，即PA OP PA FP ?=? ；

（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0?-=?-=?=

，即PA OP PA FP ?=? ）

（2）由44422

222222222222

a y (x c)a a a c (

b )x 2cx (a b )0b

b b b b x a y a b ?

=--??-+-+=??-=?

， 由42

222124

22

a c (a

b )

b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b

c a a e 2e 2.>?=->?>?> （或由DF DO k k >?a b b a

->-?22222

b c a a e 2e 2=->?>?>）

小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.

例16．已知a (x,0)= ，b (1,y)= ，(a 3b)(a 3b)+⊥-

，

（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；

（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=， 试求m 的取值范围.