《欧拉公式及其应用》
华北水利水电大学
题目《欧拉公式及其应用》
课程名称：高等数学（2）
专业班级：电子信息工程2012154
成员组成：
联系方式：
2013年5月31 日
摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ
sin cos i e i +=，
举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。
关键词：欧拉公式，证明，应用
英文题目"Euler formula and its application"
Abstract: The different methods of several in the complex domain that Euler's formula, illustrates several kinds of application of Euler's formula in mathematics, to solve the problem through the summary of many ways to look at problems of the mind, through the solution of several kinds of problems that the reader more understood the importance of Euler in learning many aspects of the theory and the mathematical formula in the.
Key words: Euler formula Prove application
1 引言
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有复变函数中的欧拉幅角公式。1748年，欧拉在其著作中发表欧拉幅角公式，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用。在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，欧拉幅角公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁。
2 研究问题及成果
2.1 在复分析领域的欧拉公式
对于任意实数θ，存在：e i θ
=cos θ+i sin θ
特别是当πθ=时，有
1-=e
i π
，即01=+e i π
，这个等式将数学中的最富有特
色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公元前就被定义为“周长与直径的比”。
2.2 欧拉公式的证明方法
2.2.1幂级数展开式的证明法
引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ
sin cos i e
i +=，
①三角函数的“麦克劳林级数”[1] ：
,)!
1(!
5!
3)sin(1
21
5
3)
1( +-+++-
=---zn z z z z
z n n
,)!
2(!
4!
21)cos(24
2
)
1( ++++
-
=-n z z
z
z n
n
②指数函数的“麦克劳林级数”：[1]
,!
!
212
++
++
+=n z z
z
e
n
z
当用iz 代替 z 时，那么
++
++
+=!
!
21)()(2
n iz iz iz e
n
iz
)!
4!
21(4
2
++
-
=z
z
)!
5!
3(5
3 ++-
+z
z z i
z i z sin cos +=
当θ=z 时，得到
θθθ
sin cos i e
i +=。
2.2.2复指数定义法
用复指数定义
)sin (cos y i y e e
e
x iy
x z
+==+，证明欧拉公θθθ
sin cos i e i +=
证明 ∵对于任何复数iy x z += ),(R y x ∈
∴有
)sin (cos y i y e e
e
x
iy
x z
+==+[2]
∴当x=0时，另,θ=y 有θθθ
sin cos i e i +=
2.2.3类比法求导法
通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x
i x x f e
ix
sin cos )(+=
，
0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix
sin cos +=
①构造函数x
i x x f e
ix
sin cos )(+= 为虚数i R x ,∈
②计算导数
2sin 2cos )
cos sin sin cos ()sin (cos )
cos sin ()sin (cos )(2
=+-+-=
++--+='x
i x x i x x x i x i x x i x x i x i x f e
e e ix
ix
ix
③lagrange 微分中值定理的推论
若函数)(x f 在区间I 上可导，且)(x f 的导数恒等于0，x 属于I ，则)(x f 为I 上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有,)(c x f =c 为常量，又因为1)0(=f , 所以1)(=x f ,有
x i x e
ix
sin cos +=.
2.2.4分离变量积分法
假设x i x z sin cos +=，求导得iz dx dz =，通过分离变量得,idx z
dz
=，然后两边取积分得
ix z L n =，所以得x i x e ix
sin cos +=.
证明 假设x i x z sin cos +=,
那么iz x i x i x x i dx
dz
=+=-=)sin (cos sin cos ， 分离变量得：,idx z
dz
=
∴ 两边同时积分得??=dx i dz z
1
，即c ix z L n +=
当取x=0时，10sin 0cos =+=i z ，001=+==c i z l L n n ， ∴ 0=c
∴ ix z L n
=，e e ix
z
x i x z L n =+==sin cos ， ∴
x i x e
ix
sin cos +=。
★★★★★下面我们介绍一种新的证明方法：极限法
证明 令()1n
f z i n θ??
=+
???
(),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞
=+．
因为 arg 1n
i narctg n n θθ????
+= ? ?????
，
所以 2
2
211cos sin n n
i i narctg i narctg n n n n θθθθ??????
???
?+
=++ ? ? ? ????
????
?????． 从而2
2
2lim 1lim 1cos sin n
n
n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞
→∞??????
???
?+
=++ ? ? ? ????
????
?????． ()i 令2
2
2(1)n
n p n θ=+，则2
ln ln 12n n p n θ??
??=+?? ???????
．
把1
n
ξ=
视为连续变量，由洛必达法则有 ()22
01lim ln lim ln 12n n p ξξθξ→∞→=+222
0lim 01ξξθξθ→==+． 即 0
lim 1n n p e →∞
==．
()ii 令arg 1n
n i n θ???
=+ ???
narctg n θ=，则 ()
lim lim
n n arctg ξξθ?θξ
→∞
→==．
∴ ()lim lim 1cos sin n
n n f z i i n θθθ→∞→∞
??
=+=+ ???
．
其次证明 ()lim i n f z e θ
→∞
=．
∵ ln 11n n i n i e n θθ??
+ ?
????
+= ???
的主值支，
∴ ln1arg 1ln 1lim 1lim lim n
n i in i n i n n n n n n i e e
n θθθθ??????++++ ???
?????
?
?→∞
→∞
→∞
??
+
== ??
?，
而 ,lim ln 10lim arg 1n n n i n i n n θ
θθ→∞
→∞??
+
=+= ???
，
∴ ()lim lim 1n
i n n f z i e n θθ→∞→∞
??
=+= ???
．
∴ cos sin i e i θ
θθ=+．
2.3欧拉公式在数学中的应用
在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中
很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。 2.3.1公式证明和应用
1. 证明棣莫弗（de Moivre ）公式[4])
sin (cos sin cos x i x n
nx i nx +=
+；
证明：由欧拉公式
x i x e
ix
sin cos +=可知：()
)sin (cos x i x e
n
n
ix +=即
nx i nx e
inx
sin cos +=，所以有)
sin (cos sin cos x i x n
nx i nx +=+
2.用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：
na
n a x na n a x o n n
a
x n n
a
x x e
x e
sin !
)sin sin(;cos !
)sin cos(cos 0cos ∑∑∞
=∞
===；
证明：令,sin cos a i a z ==由欧拉公式可知
))sin(sin )(cos(sin cos sin cos )
sin (cos a i a e
e
e
e
e a
a
i a
a i a z
+===+
即
))sin sin()sin (cos(cos sin cos )
sin (cos a x i a x e
e
e
e
e a
x a
ix a
x a i a x xz
+===+
))sin sin()sin cos(cos cos a x i a x e
e
a
x a
x +=
又由于：
x x x
xz e
n
n n n n n
n n
xz
n na i n na n na i na n ∑∑∑∑
∞
=∞
=∞=∞
=+=+==0
00
!sin !cos !
)
sin (cos !
)
(
比较实部和虚部的到
na
n a x na n a x o n n
a
x n n
a
x x e
x e sin !
)sin sin(;
cos !
)sin cos(cos 0cos ∑∑∞
=∞
===
2.3.2定义证明和应用
3.证明复数z 的正弦函数和余弦函数
.2cos ,2sin i
z i
z e e
e e
iz
iz
iz
iz
--+=-=[2]
证明：由欧拉公式
x i x e
ix
sin cos +=可得，?????-=+=-x
i x x
i x e e ix ix sin cos sin cos ，
从而得到???
????-=+=--i x x e e e e ix
ix ix
ix 2sin 2
cos .对于任意的实数x 成立，这两个公式中的x 代以任意复数z 后，由
)sin (cos y i y e e
e
x
iy
x z
+==+，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：
.2cos ,2sin i
z i
z e e
e e
iz
iz
iz
iz
--+=-=
4.求)21sin(i +的值[2]： 解：
1
cos 2sinh 1sin 2cosh 1
cos 2
1sin 22)
1sin 1(cos )1sin 1(cos 2)21sin(2
2
2
2
2
2
)
21()
21(i i i
i i i
i e
e
e
e
e e e e
i i i i +=-++=
--+=-=+---+-+
此式为复数解正弦函数
3 结束语
对于欧拉公式x i x e ix
sin cos +=，在这里用了五种不同的方法证明其的成立，也举了
几个列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，主要是提供一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于1-=e
i π
也就不
那么陌生了。
参考文献
【1】 尹建堂 《数学通讯》【M 】2006年08期
【2】 李劲 欧拉公式的证明及其在高等数学中的应用【J 】河西学院
院报 第5期 2008
分工情况