9.1分式及其基本性质

9.1 分式及其基本性质

1．了解分式产生的背景和分式的概念，理解分式与整式概念的区别与联系． 2．了解分式的定义，会求一个分式有意义、无意义、值为零的条件．

3．理解分式的基本性质及其内涵要点，能灵活使用分式的基本性质实行分式的变形． 4．增强数学的符号感，感受类比思想在数学中的巨大作用．

1．分式

(1)分式及有理式的概念

一般地，如果a ，b 表示两个整式，并且b 中含有字母，那么式子a

b

叫做分式，其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母．

分式是两个整式相除的一种表达方式，正如分数可看成两个整数相除的一种表达方式一样．理解分式的概念还应弄清两个问题：一是分式是两个整式相除的商，那么分子就是被除式，分母就是除式，而分数线能够理解为除号，还兼有括号作用；二是分式的分子能够含字母，也能够不含字母，但分式的分母必须有字母并且不能为0.

整式和分式统称为有理式，即有理式?

????

整式

分式

整式和分式的区别在于分式的分母中含有字母．所以，在判断一个代数式是

否是分式时，只需看未化简的代数式的分母中是否含有字母即可．

【例1－1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ x 3，4x ，y －2y ，y x －y ，ab 2，3π，－x －y x ＋y

. 解：分式有：4x ，y －2y ，y x －y ，－x －y

x ＋y ；

整式有：x 3，ab 2，3

π

.

分式是形式定义，判断一个代数式是否为分式，只看形式，不能看化简后的

结果．如虽然y 2y 化简之后为y ，但是y 2

y

是分式．

(2)分式有意义、无意义的条件

分式的分母相当于除式中的除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即分式a b 有意义的条件是分母b ≠0；分式a b

无意义的条件是分母b ＝0.

【例1－2】(1)当x __________时，分式x －2

x 2－4

有意义． (2)当x __________时，分式

1

x －1

没有意义． 解析：(1)当x 2

－4≠0，即x ≠±2时，分式x －2x 2－4

有意义；(2)当x －1＝0，即x ＝1时，

分式1x －1

没有意义．

答案：(1)≠±2 (2)＝1 使一个分式有意义或无意义，只看分母，可令分母等于零，列出方程，求出

未知数的值，若使分式有意义则该字母不等于求出的数值，若使分式无意义则该字母等于求出的数值．

(3)分式值为零的条件

分式值为零有两个条件：一是分子等于零，二是分母的值不为零．两者必须同时满足，缺一不可．

【例1－3】已知分式x －1

x ＋1

的值是零，那么x 的值是( )．

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．±1

解析：由题意知，当x －1＝0，x ＋1≠0时，分式的值等于0，所以x ＝1.故选C ． 答案：C

a ＝0，且

b ≠0时，分式a

b

值为0.

2．分式的基本性质

(1)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式

的值不变．即a b ＝a ·m b ·m ＝a ÷m

b ÷m

(a ，b ，m 都是整式，且m ≠0)．

(2)理解分式的基本性质的注意事项： ①性质中的a ，b ，m 表示整式．

②m ≠0，因为字母取值是任意的，所以m 有可能等于零，应用性质时应着重考查m 值是否为零．

③应用基本性质时，要充分理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误．

【例2－1】判断下列各式中从左边得到右边的变形是否准确． (1)n m ＝3n

2m

( )； (2)b a ＝bc ac

( )； (3)x －y 2x 2－y 2＝x －y x ＋y

( )；

(4)2xy ＝4

x 2y

2( )．

解析：(1)中的变换分子、分母不相同；(2)中的分子、分母同乘以字母c ，但是题目中无法确定字母c 是否为0，故不一定准确；(3)中的分式有意义，隐含条件x －y ≠0，所以变换准确；(4)中的分子的变换与分母的变换不相同，不符合分式的基本性质，故错误．

答案：(1)错误 (2)错误 (3)准确 (4)错误

解答这类问题，主要考虑三方面：

(1)分子和分母是否实行了同样的乘除；

(2)所同乘以(或同除以)的数(或整式)是否确保不为0；

(3)变换前后分式的值是否发生了变化，只有值不变的才可能准确．

【例2－2】填空：

(1)y 3x ＝ 3x 2

y ； (2)x x ＋y ＝x · x ＋y · ＝

xy ＋x 2

；

(3)7xy 5x 2y ＝7 ； (4)1a －b ＝ a －b ·

＝

a ＋b

.

解析：(1)将分式y

3x

的分母乘以xy ，才能得到3x 2

y ，所以只有分子也同乘以xy ，分式的

值才能不变；(2)根据分式的基本性质分子分母同时乘以(x ＋y )，值不变，且最后结果的分

子是xy ＋x 2

；(3)分子分母同时除以xy ；(4)分子分母同时乘以(a ＋b )．

答案：(1)xy 2 (2)x ＋y x ＋y x 2＋2xy ＋y 2 (3)5x (4)a ＋b a ＋b a 2－b 2

3．分式的约分

(1)约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分．即约分时分式的分子和分母都同除以分子和分母的公因式．

(2)约分的方法：

①当分子、分母是单项式时，约去分子、分母的公因式； ②当分子、分母是多项式时，要先将分子、分母因式分解，将其转化为因式相乘的形式，然后实行约分；

③当分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边． (3)最简分式

分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式． 一个分式约分的结果应为最简分式或者整式．

【例3】约分：(1)x 2－6x ＋9

x 2－9

；

(2)x 2－4xy ＋4y 24y 2－x

2

. 分析：(1)分子是一个完全平方式，能够分解，分母符合平方差公式的结构特点，也能够分解．(2)分子、分母是多项式，要先将分子、分母因式分解，将其转化为因式相乘的形式，然后实行约分，还应注意分母中符号的处理．

解：(1)x 2－6x ＋9x 2－9＝x －32x ＋3x －3＝x －3

x ＋3

.

(2)x 2－4xy ＋4y 24y 2－x 2

＝x －2y 2－x ＋2y x －2y ＝－x －2y x ＋2y . (1)能熟练地分解因式，是实行约分的关键，一般一个一次多项式，不能提取

公因式的话就不能再分解；二次二项式，且符号相反，每一项都是平方项，考虑用平方差公式分解；二次三项式，有两项是平方项，且符号相同，另外一项是两个底数积的2倍或者2倍的相反数，考虑用完全平方公式分解．

(2)切记约分是对于分子、分母是乘积形式时实行的变形，分子、分母不是乘积形式的

不能实行约分．诸如ab －1ac －1＝b －1c －1，x 2＋y x 3＝1＋y x ，a ＋x b ＋x ＝a ＋1b ＋1? ?

?

??或等于a b 都是错误的．

4．分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件的综合使用

分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件的考查，常与绝对值、乘方等知识一起综合出题，特别是考查分式值为零的题目，在利用分子求出字母的取值后，一定要代入分母中实行检验，看是否使分母为零，把使分母为零的值舍去．

【例4】(1)如果分式

|a |－2

a －2a ＋3

的值为0，则a ＝__________；

(2)若分式x 2－9

x 2－4x ＋3

的值为零，则x 的值为________．

解析：分式的值为零的条件是：分子等于零，且分母不等于零．(1)由条件可得|a |－2

＝0，且(a －2)(a ＋3)≠0，解得a ＝－2.(2)由条件可得x 2－9＝0，且x 2

－4x ＋3≠0，解得x ＝－3.

答案：(1)－2 (2)－3 5．分式的求值

由已知条件，根据分式的基本性质，适当把分式实行变形，然后把已知条件代入变形后的分式，来求分式的值．

若是已知条件是分式的形式，常常把要求值的分式的分子、分母同除以一个适当式子实行变形，使要求值的分式出现已知的形式．有的还要把已知条件变形．

【例5】已知x y ＝3，求x 2＋2xy －3y 2

x 2－xy ＋y 2

的值．

分析：由已知条件可知y ≠0.利用分式的基本性质，用y 2

去除待求式的分子与分母，再将其变形，使之出现条件式x y ，把x y ＝3代入即可求解．

解：由题意可知y ≠0，x

y

＝3，所以

x 2＋2xy －3y 2x 2－xy ＋y 2＝

? ????x y 2＋2x y －3? ??

??x y 2－x y ＋1＝9＋6－39－3＋1＝12

7

. 6．分式基本性质的灵活使用

分式的变形是多样的，但无论哪一种变形，其依据都是分式的基本性质．分式基本性质的应用主要有以下几种情况：

(1)分式的分子、分母改变符号的问题

分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．它是处理分式的分子、分母和它本身的符号问题的主要依据，在使用时，能够分为以下三种情况，分列为三条法则：

①分式的分子、分母同时改变符号，分式的值不变；

②分式的分子、分母中有一个改变符号，仅当分式本身的符号也改变，分式的值不变； ③分式的本身若改变符号，仅当分子、分母中的一个也改变符号，分式的值不变．

例如，根据①有m n ＝－m －n ，－m n ＝m －n ，m －n ＝－m

n ；

根据②和③，有m n ＝－－m n ，m n ＝－m

－n .

应用这个法则时，应注意：当分子、分母是多项式时，它们的第一项的符号

并不一定是分子或分母的符号．所以应注意添括号法则的应用．

如把分式－2x 2

＋3x －5

x ＋5

的分子、分母的最高次项的系数化为正数时，应有添括号的步骤，

－2x 2＋3x －5x ＋5＝－2x 2

－3x ＋5

x ＋5

，再应用法则②，同时改变分子及分式本身的符号，则分

式的值保持不变，即－2x 2＋3x －5x ＋5＝－2x 2－3x ＋5x ＋5＝－2x 2

－3x ＋5

x ＋5

.

又如－y 3＋y 2

－11－y －y

2

＝－y 3－y 2

＋1－y 2

＋y －1 ＝y 3－y 2＋1y 2＋y －1

. 把分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数的一般方法是：先将分子、

分母降幂排列；若分子(或分母)的最高次项的系数是负数，则将整个分子(或分母)放入带有“－”的括号内(注意：放入括号内的各项都要变号)；再根据分式的符号变化法则调整即

可．

(2)分式中系数化整问题

把分式中的分子、分母的各项系数化为整数，只要找各项系数的最小公倍数即可． (3)分式中字母倍增问题

当分式中的字母有倍数变化时，要分别观察分子、分母的倍数变化，方可探究整个分式的变化．

【例6－1】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： (1)－5xy 2a ；(2)x ＋2y －x ＋y ；(3)－－ax －3y －bx

.

分析：由分式的基本性质可得，分式的分子、分母以及分式本身的符号改变其中的任何两个，分式的值不变．

(1)需将分子的负号去掉，则分式本身的符号要改变； (2)只改变分母的符号，则分式本身的符号也要改变； (3)同时改变分子和分母的符号，分式本身不改变符号．

解：(1)－5xy 2a ＝－5xy

2a .

(2)x ＋2y －x ＋y ＝－x ＋2y x ＋y . (3)－－ax －3y －bx ＝－－ax ＋3y －bx ＝－ax ＋3y bx

.

【例6－2】下列各式从左到右的变形准确的是( )．

A ．x ＋12y

12

x ＋y ＝2x ＋y x ＋2y B ．0.2a －b a ＋0.2b ＝2a －b a ＋2b C ．－x ＋1x －y ＝x －1x －y D ．a ＋b a －b ＝a －b a ＋b

解析：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母扩大相同的倍数，不能漏乘分子、分母中的任何一项，故B 项错误．同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变其中的两个符号其值才不变，故C ，D 两项也错误．A 项是分式的分子、分母都乘以2得到的，是准确的．故选A ．

答案：A

【例6－3】不改变分式的值，把分式43－14

a 3＋a 212a 2－a ＋13

中的分子、分母的各项系数化为整数，

并使次数最高项的系数为正数．

分析：分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数是12，利用分式的基本性质，分式

的分子、分母同乘以12，得? ??

??43－14a 3＋a 2×12? ??

??12a 2－a ＋13×12＝16－3a 3＋12a 2

6a 2－12a ＋4，再利用分式的符号变化法则，

改变分式及分式分子的符号，结果不变．

解：

分式43－14

a 3＋a 212a 2－a ＋13

中的分子、分母同时乘以12，

得? ??

??43－14a 3＋a 2×12? ??

??12a 2－a ＋13×12＝16－3a 3＋12a 2

6a 2－12a ＋4.

分式本身及分式分子的符号都变为“－”，得

16－3a 3＋12a 26a 2－12a ＋4＝－－16－3a 3＋12a 26a 2

－12a ＋4＝－3a 3－12a 2

－16

6a 2－12a ＋4

. 【例6－4】若分式x ＋2y

xy

中的x ，y 的值都扩大为原来的3倍，则此分式的值( )．

A ．不变

B ．扩大为原来的3倍

C ．缩小为原来的13

D ．缩小为原来的1

6

解析：当x ，y 都扩大为原来的3倍时，分母xy 的值相对应地扩大为原来的9倍，分子

x ＋2y 相对应地扩大为原来的3倍，故分式的值缩小为原来的1

3

.

具体化简过程如下：3x ＋23y 3x 3y ＝3x ＋2y 9xy ＝x ＋2y

3xy

.

答案：C

7．分式的实际应用 分式的知识在现实生活、经济生活及生产实际中都有广泛应用．主要是利用分式表示现实情境中的数量关系，同时它也是表示现实世界一类量的数学模型，解答的关键是认真审题，找到题目中的数量关系，列出分式．

解答相关分式的应用题时，要记住常用的几个数量关系，如工作效率与工作

时间和工作量之间的关系，路程、速度、时间之间的关系等．再者要明确常用图形的面积、体积公式及公式变形．

【例7】如图，在一幅矩形风景画四周镶有宽度相同的木条，风景画的长为a cm ，设四

周木条的宽为x cm.整幅风景画(包括四周木框)的矩形面积是S cm 2

，则它的宽为( )．

A ．

S x ＋a B ．S 2x ＋a C ．S x ＋2a D ．S

2x －a

解析：矩形面积是S cm 2

，矩形的长为(a ＋2x )cm ，则它的宽＝面积长，即为S 2x ＋a

cm.

答案：B

8．分式中的创新题 在分式的求值问题中，经常使用整体思想解决问题．当已知条件与要求的分式形式上有

些相似，但又有区别时，要灵活使用整体思想，把已知条件或要求的分式实行变形，把已知条件整体转化，有时还要用到平方差公式或它的逆向使用来解决问题．

【例8】如果a －1a ＝32，求a ＋1

a 的值．

解：因为a －1a ＝32，两边平方，得a 2

＋1a 2－2＝94

，

所以? ??

??a ＋1a 2

－4＝94，

即? ????a ＋1a 2＝254

. 故a ＋1a ＝±52

.