医用物理学陈仲本第五章课后习题答案教学文稿

医用物理学陈仲本第五章课后习题答案

第五章 静电场

通过复习后，应该:

1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、电偶极子的电势;

2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极化、能斯特方程、电容器、静电场的能量;

3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。

5-1 点电荷q 和4q 相距l ，试问在什么地方放置什么样的电荷，可使这三个电荷达到受力平衡?

解：已知两个同号点电荷q 与4q 相距l ，在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷，当它们满足一定的条件时，即可达到力的平衡。设这个异号电荷

的电量为m q ，与q 相距x ，如本题附图所示。根据库仑定律2

21r

q q k F =，分析力的平衡条件，电荷m q 分别与q 、4q 的引力相等，即

2

2224m x)(l mq k x q k -= (a)

电荷q 受4q 的斥力和m q 的引力相等，即 习题5-1附图

22

224x

mq k l q k = (b) 解（a ）式得x=l /3，将其代入（b ）式可得m=4/9。

从上面的计算结果可知，在q 与4q 之间，与电荷q 相距l /3处，放置一个4/9q 的异号电荷，可使三个电荷达到受力平衡。

＋q

＋4q

m q

5-2 两个点电荷分别带有+10C 和+40C 的电量，相距40cm ，求场强为零的点的位置及该点处的电势。

解: ①求场强为零的位置: 只有在两电荷的连线中的某点P ，才能使该处场强为零，即q 1 、q 2 在该点的场强E 1、E 2

=10C ，q 2

=40C ，则根据点电荷场强公式2r

q k E =，有 2

2

2211r q k r q k =

由上式可得 2

1

40

102

12

1===q q r r 习题5-2附图

又因r 1 + r 2 =40cm ，由此可得r 1 =40/3cm=40/3×10-2 m ； r 2 =80/3cm=80/3×10-2 m

②求电势: 设q 1 、q 2 在P 点产生的电势分别为U 1 、U 2，P 点电势U 为U 1 、U 2 之和，即

V .V )(.r q k r q k

U U U 122292

2112110032103

8040

10340101009?=?+??=+=+=--

5-3 两等值异号点电荷相距2.0m ，q 1 =8.0×10-6 C ，q 2 =-8.0×10-6 C 。求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。

解: ①求电势为零的位置:设q 1、q 2 连线上P 点处电势为零，该点电势为

q 1、q 2 分别产生的电势U 1、U 2 之代数和，由点电荷电场的电势r

q k U =得

02

21121=+=+=r q

k r q k

U U U P

习题5-3附图 从上式可得 12

12

1=-=q q r r

又r 1 + r 2 =2.0m ，则r 1 = r 2 =1.0m ，即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。

＋q 1 2 1

＋q 2

2

1E 2

②求场强:设q 1、q 2 在P 处产生的场强分别为E 1、E 2，它们的方向一致，故P 点的场强为E 1和E 2的大小之和，方向由P 指向q 2

1

51

669

22221121104410110080110081009----??=??+???=+=+=C N .C N )....(.r q k r q k E E E

5-4 在一个边长为a 的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q ，在以下两种情况下，求三角形重心处的场强和电

势：①三个顶点都带正电荷;②两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷。

习题5-4 附图（a ） 习题5-4 附图（b ）

解: 根据场强的叠加原理，可分别求出三个点电荷在重心的场强，再求出它们的矢量和。电势为标量，只需求出它们的代数和。

①当三个都为正电荷时，按附图（a ）取坐标，坐标原点O 为三角形的重心，已知等边三角形的边长为a ，则其重心到三个顶点的距离r 可由三角函数求出

a cos a r 3

330120=?=

由点电荷场强公式2

04r Q

E πε=

可得，三个点电荷在重心O 的场强相等，即

＋

＋

2

02

0321434a Q

r Q E E E πεπε=

=

== （a ）

方向如附图所示。设重心处的场强E 在Y 方向和X 方向的分量分别为E y 和E x ，则由附图（a ）可得

E y =E 2 cos60°+ E 3 cos60°－E 1 = ? E 2 + ? E 3 －E 1 =0 E x =E 2 sin60°－E 3 sin60°=0 （因为E 2 =E 3 ） 故重心处的合场强E =0。

由点电荷的电势公式r

Q U 04πε=和a r 3

3=可得

a

Q

U U U 032143πε=

== 根据电势叠加原理，重心处的电势U 为

a

Q

U U U U 0321433πε=

++= ②当两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷时，按本题附图（b ）取坐标。参考前面的（a ）式，由点电荷电场强度公式可得

2

032143a Q

E E E πε=

==

方向如附图（b ）所示。设重心处的场强E 在Y 方向和X 方向的分量分别为E y 和E x ，则由附图（b ）可得

E y = E 1 + E 2 cos60°+ E 3 cos60°= E 1+ ? E 2 + ? E 3 =2 E 1 =2

023a Q

πε

E x =E 2 sin60°－E 3 sin60°=0 （因为E 2 =E 3 ） 故重心处的场强E 的大小为

2

023a Q

E E y πε=

=

其方向垂直向上。

由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为

a Q r Q U 00434πε-

=πε-

=， a

Q

U U 03243πε-== 根据电势叠加原理，重心处的电势为

a

Q

U U U U 032143πε=

++=

5-5 均匀带电直线长2a ，其线电荷密度为λ，求在带电直线垂直平分线上，且与带电直线相距为a 的点的场强和电势。

解: ①求场强：以带电直线为坐标轴，取直线中点为原点O ，在直线上距O 点 x 处取一线元d x ，如本题附图所示，其电量d q =λd x ，此电荷元在所求点P 处产生的场强为

)

(222x a dx k r dq k

dE +==λ （a ） 其方向沿d q 与P 点连线（图中为λ>0时的情况，若λ<0，则反向），与X 轴线夹角为θ。

由于对称性，各电荷元的场强沿X 轴的分量d E ∥ 互相抵消，而垂直于X 轴的分量d E ⊥互相增强，因此

??==⊥L

L

θsin dE dE E （b ）

由附图可知，2122/)

x (a a

r a sin +==

θ，将（a ）式和sin θ的表达式代入（b ）式得E 的大小为 习题5-5附图

a

k

x a dx a k E a

a λ

λ2)(2/322=+=?

- 其方向垂直向上。

②求电势:由点电荷电势公式可得，d q 在P 点产生的电势d U 为

2/122)

(x a dx

k r dq k

dU +==λ 将上式积分可得P 点电势

)223ln()(2

/122+=+==?

?-λλk x a dx

k dU U a

a

5-6 均匀带电圆环，其半径为5cm ，总电量为5.0×10-9 C ，计算轴线上离环心5cm 处的场强和电势。

解：本题先求电势，然后利用场强和电势的关系计算场强。

①求电势：参考本题附图，设圆环总量为q ，半径为R ，由于电荷是均匀分布，故其线电荷密度η=q /2πR 。在圆环上取一线元d l ，其电量为

R

dl

q dl dq πη2?=

?= （a ） 习题5-6 附图 设P 点离环心O 的距离为x ，则由附图知，22x R r +=，电荷元d q 在P 点产生的电势dU 为

2/122)

(2x R R qdl k r dq k

dU +==π （b ） 将上式积分，可得P 点的电势为

2

/12220

2

/122)

()(2x R kq

dl x R R q

k

dU U R

+=

+==?

?ππ （c ） 已知R =5cm=0.05m ，q =5.0×10-9 C ，x =5cm=0.05m ，代入上式得

V V U 22

122

991036.6)

05.005.0(100.5100.9?=+???=

-

②求场强:根据场强与电势的关系E =－d U /dn ，对（c ）式求关于x 的导数，则场强E 的大小为

1312

3229

92/3221036.6)05.005.0(05.0100.5100.9)

(--??=?+???=+=-=m V m V x R qx k dx dU E 方向沿X 轴正方向。

d E ∥ 互相抵消，而垂直于X 轴的分量d E ⊥互相增强，因此

5-7 均匀带电的半圆弧，半径为R ，带有正电荷q ，求圆心处的场强和电势。

解: ①求场强：在环上取一线元d l ，带电量d q =q πR d l ，电荷元在圆心产生的场强大小为

dl R

q k r dq k

dE 32π== 方向如附图所示，与OX 轴夹角为θ，d l =R d θ。由于对称性，dE ∥互相抵消，dE

⊥

相互增强，于是有

??==⊥L

L

θsin dE dE E

将d E 的表达式及d l =R d θ代入，经整理后得场强E

2

3

2sin R q k

d R R q

k

E πθθππ

==?

其方向垂直向下。

②求电势: 电荷元d q 在圆心产生的电势d U 为

dl R

q

k r dq k

dU 2π== 习题5-7附图 将上式积分即得圆心处的电势

R

q k

dl R q

k dU U R

===?

?ππ0

2

5-8 长度为L 的直线段上均匀分布有正电荷，电荷线密度为λ，求该直线的延长线上，且与线段较近一端的距离为d 处的场强和电势。

解: ①求场强:在直线段l 处取一线元d l ，其带电量为d q =λd l ，它在P 处产生

的场强方向沿直线的延长线，大小为

2

2)(l d L dl k r dq k

dE -+==λ 将上式积分，即得P 点场强的大小为 习题5-8附图

)()11()(0

2

d L d L

k d L d k l d L dl k dE E L

+=+-=-+==?

?λλλ

方向沿X 轴正方向。

②求电势:由点电荷电势公式可知，电荷d q 在P 点产生的电势d U 为

dl l d L k r dq k

dU )

(-+==λ

将上式积分，即得P 点的电势U 为

)ln()(0

d

d

L k l d L dl k dU U L

+=-+==?

?λλ

5-9 两个无限长同轴柱面，内圆柱面半径为R 1，每单位长度带的电荷为+λ，外圆柱半径为R 2，每单位长度带的电荷为-λ，求两圆柱面之间的空间中各处的场强。

解: 电荷均匀地分布在两无限长同轴圆柱面上，电场的分布具有对称性，即距轴心等距的各点大小相等，方向沿半径

方向（轴向分布）欲求两圆柱面之间的空间中任意点（设距

轴心为r ）的场强E ，选取半径为r ，单位长度的同轴圆柱面S 1与两底面S 2、S 3构成的闭合柱形高斯面S 。其中S 2、S 3 处场强方向与法线垂直，cos90°=0，通过S 2、S 3 的电通量为零，所以通过S 面的总电通量即为通过S 1 的电通量

r

E S E ds

Ecos θds Ecos θds Ecos θds cos E Φπθ21e 3

2

1

?=?=++==????s s s s

由题意可知，在单位长度高斯圆柱面内的电量为+λ， 故由高斯定理∑?=

=i

i

s

q

ds cos E Φ0

e 1

εθ 得

E ·2π r =λ/ε0

解出E 即得

r

E 1

20πελ=

（R 1 < r

5-10 在匀强电场E 中作一球面，球心为O ，半径为R 。①求通过整个球面的电通量;②过球心，沿垂直电场方向将球面一分为二，求通过半个球面的电通量［图中（a ）］；③沿着与电场方向呈θ角的方向把球面一分为二，求通过半个球面的电通量［图中（b ）］。

解: ①根据高斯定理∑?=

=i

i

s

q

ds cos E Φ0

e 1

εθ，由

于球面内无电荷，∑i

i q =0，故通过整个球面的电通量

Φe 等于零，即

0e ==?ds cos E Φs

θ

②从图（a ）中可以看出，沿垂直电场方向将球面

一分为二，其横截面积为πR 2 ，通过半个球面的电通量就等于通过该横截面的电通量，其数值Φe 为 习题5-10附图

(a)

(b)

ds cos E Φ?=s

θe =E πR 2

③与（2）类似，在（b ）图中通过半个球面的电通量，就等于通过其横截面在场强方向上的投影面积πR 2 sin θ的电通量，其大小为

Φe =∫E cos(900-θ)dS =∫E sin θdS=E πR 2 sin θ

5-11 在一橡皮球表面均匀分布着正电荷q ，在橡皮球被吹大的过程中，A 点始终在球面内，B 点始终在球外，问A ，B 点处的场强和电势将如何变化?

答: 设橡皮球的半径为R ，由教材中高斯定理的应用举例可知，这一带电的橡皮球其电场的分布为

?????<<=>=)

(0)(212

R r R E R r r Q k E

即球面内、外的场强与橡皮球的半径R 无关，故A 、B 两点的场强不变。根据电势的定义可得

R

Q

k

d d d U R

R A

A

A =?+?=?=???∞

∞ b

r B

B r Q k

d d U b

=?=?=??∞

∞ 即U A 随橡皮球R 的增加而降低，U B 则因它距球心的距离不变而没有发生变化。

5-12 两个均匀带电的同心球面，内球面半径为R 1，外球面半径为R 2，外球面的面电荷密度为σ2，且外球面外各处的场强为零，求：①内球面上的电荷密度σ1；②两球面之间离球心为r 处的场强；③内球面内的场强。

解: ①从球心O 以半径r （>R 2）作一球形高斯面S 1（外虚线），该高斯面上各处场强为零.通过S 1 面的电通量

01

e ==?ds cos E Φs θ

由高斯定理可知，两球面带异号电荷，且q 1 =q 2 ，即： σ1·4πR 12 =σ2·4πR 22，由此可解出内球面上的电荷密度σ1为

22

1

21)(

σσR R = 习题5-12

附图

②从球心O 以半径R 作一球形高斯面S 2（见附图，内虚线），由于电荷均匀分布，球面带电体具有球对称性，电场的分布也应有对称性，在高斯面S 2 上各处的场强大小相等，方向均沿半径方向，即θ=0（此为内球面带正电情况，若带负电，θ=180°，请读者自行讨论）。设S 2 上场强大小为E ，根据高斯定理有

E ·4πR 2 =q 1/ε0

2

02

2

2202222022014444R R R R R q R q E ??=

??=?=?=εσπεπσπεπε ③因球面内没有电荷，由高斯定理可知，E =0。

5-13 电场强度E 与电势U 之间有何关系?电场中，若某点场强为0，该点电势是否一定为0?反之，某点电势为0。该点的场强是否一定为0? 若空间中各点电势为一常数，场强一定为0吗? 为什么?

答: 电场强度E 与电势U 是从不同角度来描述电场性质的两个重要物理量，电场强度E 描述了电场力的特性，而电势U 则描述了电场能的特性，它们之间的积分关系为?∞

=a a dl E U θcos ，微分关系dn

dU

E -

=。从它们的关系式可以