北师大版选修(1-1)3.1《变化的快慢与变化率》word教案

课题：变化的快慢与变化率

设计：贾长江审核：_________________ 包科领导：______________ 2015年8月30日

课前预习案

一、预习目标：

通过预习课本，理解平均变化率和瞬时变化率的概念。

二、预习内容：

问题提出：世界上，变化无处不在，人们经常关心变化的快慢问题，如何刻画事物变化的快

慢呢？

情境某市2007年4月20日最高气温为33.4 C,而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4 C和18.6 C,短短两天时间，气温陡增14.8 C,闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”

问题1：你能说出A B C三点的坐标所表示意义吗？

问题2：分别计算AB BC段温差，温差能表示气温变化的快慢程度吗？

问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？

问题4: “气温陡增”它的数学意义是什么？（形与数两方面）

1、我们从课本上平均速度、体温的平均变化率我们可抽象概括函数y二f（X）的平均变化率：当自变量X从X1变为X2，函数值从f（XJ变为_______________ ，它的平均变化率为

用它可以刻画___________________________________________________ 。

2、通过减小自变量的改变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率：

i_S 二s 对平均速度而言，当时间的改变量t2 -t1趋于0 （无限缩小）时，比值会趋于一也t A t

个定值，这个定值称为t =t1时的瞬时速度，这是我们在物理学里已经熟知的。类此，我们

可以概括出一般函数y二f （X）的瞬时变化率：在自变量X从x0变为x1的过程中，若设

“x =捲-X 0 , 勺=f （X 。*x ） - f （X 。）,则函数的平均变化率又可表示为

x

当x 趋于0时，平均变化率就趋于函数在

x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 ________

。

3、平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的” ，但应注意当X 2 -兀很小

时，这种量化便有由"粗糙”逼近"精确”的趋势。 三、提出疑惑

课内探究案

一、 学习目标

1.感受变化广泛存在于日常生活之中， 理解平均变化率的意义， 为后续建立瞬时变化率和导 数的数学模型提供丰富的背景；

2.经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。 体会数学的博

大精深以及学习数学的意义。 二、 学习过程：

1 2

平均速度 例1：物体自由落体的运动方程为 s gt ，计算t 从3s 到3.1s,3.01s,3.001s

2

各段时间内的平均速度(位移

s 的单位为m )

解：设t 在［3,3.1］内的平均速度为 w ，则

1 2 1 2 ￡ =3.1-3 =0.1(s), ◎二s(3.1)—s(3) g 3.12

g 3 -0.305g

2 2

0.305g

v 1

- 3.05g ，同理，得 v 2 = 3.005g,v 3 = 3.0005g

A t 1

0.1

瞬时速度：设物体运动的位移与时间的关系是 s = f(t)，当氏趋近于0时，函数f(t)在t 0

到t 0 ?氏这段时间内的平均变化率

§ = f (t ° 心- f(t °)趋近于常数，我们把这个常数

：t 氏

称为t 0时刻的瞬时速度。 例2：物体自由落体的运动方程是 s =丄gt 2(g = 9.8m/s 2

)，求物体在t = 3s 这一时刻的速 2

度。

解：平均速度兰=g(6=t)，当氏趋于0时，v = g 6=29.4(m/s) A t 2 2

平均变化率例1在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲, 乙两人的经营成果？

变式1在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

、_.…_ 2 -

变式2求函数y =5x 6在区间［2,2 ? Ax］内的平均变化率

瞬时变化率：认真研读P.29例2后完成下题

例3某个物体走过的路程s （单位：m）是时间t （单位：s）的函数：s二t2 -1，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：（1）t = 0 ；（2）t = 2 ；（3）t=4.

例4、已知函数y = f （x） = -2x - 1

（1 ）当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时函数值y关于x的平均变化率是多少?

（2）当x从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时函数值y关于x的平均变化率是多少?

（3）这个函数变化的快慢有何特点？求这个函数在x =1,x =3处的瞬时变化率。

例5、设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数3t2 2t 1 o

（1）求从t =2到t =2 ?氏的平均速度，并求当厶t =1,氏=0.1门t =0.01时的平均速度;

（2）求当t = 2时的瞬时速度。

例6、求函数y=3x2 - x在x=1处的瞬时变化率

小结与拓展：1.平均变化率可以近似描述函数在某一区间段里的变化快慢，而要精确刻画函

数在每一点处的变化快慢，就需要瞬时变化率了。这两个概念分别对应于物理学中的平均速

度和瞬时速度。2.瞬时变化率是平均变化率的极限值，可以通过让自变量的改变量无限趋近于0来得到。其实际意义是函数在某一点处的变化快慢。

课后训练与提咼

1、在平均变化率的定义中，自变量的增量x是（）

A. x 0

B. ? ：x ：：0

C. ：x=0

D. . ：x = 0

2、设函数y = f x，当自变量x由x0改变到x^ x时，函数的改变量.：y是（）

A. f X。=X

B. f x^ r x

C. f X。x

D. f 冷=X - f 冷

3、已知函数f x =2X2-4的图象上一点1,-2及附近一点1「x,-2ty , 则竺等

于（）

2

A. 4

B. 4x

C. 4 2 x

D. 4 2 x