高中数学教案直线与圆
直线与圆
一、知识网络
二、高考考点
1.直线的倾斜与斜率；
2.直线的方程及其应用；
3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；
4.简单的线性规划问题；
5.圆的方程及其应用；
6.直线与圆的相切与相交问题；
7.两圆的位置关系；
8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题.
三、知识要点
（一）直线
1、直线的倾斜角定义与规定
（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作 .
（2）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.
综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.
提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.
（3）直线的斜率与方向向量
（Ⅰ）定义1：当直线l的倾斜角不是90°时，的正切叫做直线l的斜率，
直线的斜率通常用k表示即：特例：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在.
认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：；
；
；（直线的斜率不存在）（Ⅱ）斜率公式已知直线l上两点，则直线l的斜
率：.
（Ⅲ）定义2：直线l上的向量与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.
设，则直线l的方向向量的坐标是；
当直线l不与x轴垂直时，，此时，直线l的方向向量可化为（这里k为直线l的斜率）.
2、直线的方程
（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义
在直角坐标系中，如果直线l和二元方程的实数解之间建立了如下关系：
①直线l上的点的坐标都是方程的解（纯粹性）
②以方程的解为坐标的点都在直线l上（完备性）
那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
（2）直线方程的几种形式
（Ⅰ）点斜式：已知直线l的斜率为k，且过点，则直线l的方程为：
（Ⅱ）斜截式
已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为：
注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方程.因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。
（Ⅲ）两点式
已知直线l经过两点，则直线l的方程为：
.
（Ⅳ）截距式
已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为，则直线l的方程为：
注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线.
（Ⅴ）一般式方程叫做直线方程的一般式
直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一.
3、两条直线的位置关系
（1）两条直线平行的条件设l1、l2为两条不重合的直线，则
（Ⅰ）的斜率相等或它们的斜率都不存在.
因此，已知l1//l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论.
（Ⅱ）若设直线，
则（此式包含了一般与特殊两种情形）
（Ⅲ）平行于直线的直线（系）方程为：
（2）两条直线垂直的条件
对于两条直线l1和l2
（Ⅰ）的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在
（Ⅱ）若设直线l1： , ,
则，（此式包含了一般与特殊两种情况）
（Ⅲ）垂直于直线的直线（系）方程为：
（3）直线l1 到l2的角；直线l1 与l2的夹角设l1 与l2相交
（Ⅰ）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作
①l1 到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1 //l2时不定义l1 到l2的角，故的取值范围为（0，）
②设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 到l2的角为，则当；
当（注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）（Ⅱ）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为 .
①l1 与l2的夹角没有方向性，注意到当l1 //l2时不定义l1 与l2夹角的概念，故得的取值范围为：
②设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 与l2的夹角为，则当；
当 .
（4）点到直线的距离设点，直线则点P到直线l距离：
讨论（两平行直线间的距离）：
设两条平行直线，则l1 与l2之间
的距离为 .
（5）两条直线的交点
（1）直线
（2）经过直线l1 与l2的交点的直线（系）方程为
（这里不含l2）
(二)圆的方程
1、定义与方程（1）定义
（2）方程
（Ⅰ）标准方程：圆心为（a、b），半径为
（Ⅱ）一般方程：圆心为，半径为
（III）参数方程：圆心为(a，b)，r为半径长
2、性质与应用
（1）圆的基本性质
（Ⅰ）关于弦的性质
圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）；两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；
若设圆半径为r，弦心距d ，弦长为2l，则有
（Ⅱ）关于切线的性质切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径.
（2）圆的性质的应用
解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：
（Ⅰ）巧设圆心坐标
若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.
（Ⅱ）巧设圆的方程
一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.
3、直线与圆
设直线，圆，
则直线与圆的位置关系有两种判别方法：
（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）：
设圆心C到直线l的距离为d，则
直线l与圆C相交；直线l与圆C相切；直线
l与圆C相离.
（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：
将上述曲线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的判别式为，则
直线与圆C相交；直线与圆C相切；直线与圆
C相离.
4、挖掘与引申
（1）两圆的公共弦所在直线的方程
设⊙①
与⊙②
相交于A、B两点，则由①-②得两圆公共弦AB所在直线的方程为：
（2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程对于圆
（Ⅰ）当点在圆上时，以M为切点的切线方程为；
（Ⅱ）当点在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB （切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 .
引申：当点在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为
.
四、经典例题
例1．求经过点A（5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
分析：由题意知直线l与两坐标轴都相交，因为不存在直线l垂直于x轴的情形.但是，注意到直线l的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论.
解：由题意知直线l与两坐标轴都相交.
（1）当直线l在两轴上的截距均不为零时，设直线l的方程为：
∵∴，即 a=3. ∴此时直线l的方程为： .
（2）当直线l在两轴上的截距为零，即直线l过原点时，直线l的方程为：
∴综合（1），（2）得所求直线l的方程为或 .
点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件.因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜.在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线.因此，要对这些特殊直线单独考察.
例2．直线l被两平行直线所截线段AB的中点M 在直线上，且l到l2的角为45°，求直线l的方程.
分析：由已知条件易得直线l的斜率.欲求点M坐标，先考察点M的位置特征，注意到
，点M为线段AB的中点，故点M在与、等距离的另一直线上.因此，为避免复杂运算，可先求的方程.
解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M在与l1 ，l2等距的直线l3上，注意到l1 ，l2的纵截距分别为，故l3的纵截距为l，∴由斜截式得l3的方程为
①
将①与联立解得②设直线l的斜率为k，则又由已知得
，
解得③于是由②③得所求直线l的方程为
点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算.请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用.
例3．已知点A（1，-1）和直线，过点A作直线l2 与l1交于点B，使
，求直线l2的方程.
分析：欲求的斜率k，如直面求直线、联立的方程组，再利用两点间的距离
公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求与的夹角的三角函数值.为此，利用已知条件率先构造含有的Rt△.
解（对交点坐标不设不解）：过点A作
又为直线l1 与l2的夹角∴由
（1）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，
则由两直线的夹角公式得
此时，直线l的方程为
（2）当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为，此时易得B（1，4），
符合已知条件.
综合（1）（2）得所求直线l2的方程为 .
点评：借助平面图形的特征,人为地构造与求解 ,进而转化为运用夹角公式求解目
标直线的斜率,刻意避免了求解直线l1 与l2的交点坐标.这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一.
例4．在中，A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为
的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线方程.
分析：如何利用的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，
所用l1 与l2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化.我们这里选择第二条途径.
解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B（4t-10,t）
则AB边中点，∴点D在直线上，
∴
∴点B（10，5）①
又注意到AB与BC边所在直线关于的平分线所在直线对称，
故点A（3，-1）关于直线对称点A′（m,n）一定在直线BC上
∴由点A、A′关于直线对称得
∴A′（1，7）②
于是由①②得直线A′B即直线BC的方程为
点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B和点D坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题.此为解决这类直线问题的基本策略.
例5．已知过点A（1，1）且斜率为的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q 两点，过P、Q分别作直线的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最
小值.
分析：这里的四边形PRSQ为直角梯形且PR//SQ，故梯形的高RS为平行线QS与PR间的距离，从设直线l的方程切入.
解：设直线l的方程为①在①中令
∴Q（0,m+1）
在①中令∴将P、Q两点到直线的距离分别记为 ,
则②
又直线QS方程为，
直线PR方程为，
∴直线PR与QS间的距离
即③
∴由②③得：
（当且仅当时等号成立）
于是可知，四边形PRSQ的面积的最小值为（当且仅当时取得）
点评：从设直线l的方程切入，点P、Q坐标以及点P、Q到l的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界.
例6．设圆上的点A（2，3）关于直线的对称点仍在此圆上，且该圆与直线
相交的弦长为，求圆的方程.
分析：圆上的点A关于直线的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？
解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A关于直线的对称点仍在圆上知，圆心在直线上
∴可设圆的圆心坐标为（2t，-t），圆的方程为①
则由题设条件得：②③
∴由②③解得
∴所求圆方程为
点评：要善于认知题设的真面目：点A关于直线的对称点在此圆上弦的垂直平分线为直线过圆心
例7．一个圆与直线相切于点P（4，-1），且圆心在直线
上，求圆的方程。
分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程.
解（巧设圆心坐标）：∵圆心在直线上∴设圆心C的坐标为（3t,5t）又，∴由此得解之得 .
∴圆心C（3，5），半径 . ∴所求圆的方程为
点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质.上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.
例8．已知圆C与圆相交，所得公共弦平行于已知直线
，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程。
分析：题设条件中出现两圆的公共弦.对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.
解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C方程为，则圆C与已知圆的公共弦所在直线方程为
∴由题设得：①
又点A、B在圆C上，故有：②③
∴所求圆C的方程为：
解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦AB的中点坐标为，
∴圆C的弦AB的垂直平分线方程为④又已知圆圆心为
∴两圆连心线所在直线的方程为⑤
设圆心C（a,b），则由④、⑤得解之得
再注意到圆C的半径∴所求圆C的方程为
点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些.
例9．已知圆M的方程为，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M 于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.
分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.
解：由已知得M（0，2），圆M方程为①
设Q（t,0），则由①得切点弦AB所在直线方程为②
又设P（x,y），则由得③
将③代入②
得
④
讨论：当t=0时有x=0，代入②得满足④式，故点也是所求轨迹上的点.
综上可知，所求弦AB的中点P的轨迹方程为： .
说明：这里的切点弦AB所在直线的方程②是需要推导或证明的.本题略去的推导或证明过程，请大家练习.
例10．已知直线与⊙相交于A、B两点（1）当时，求⊙C的方程；（2）当时，求⊙C的方程（O为原
点）
解：（1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解”注意到⊙C的方程为
∴弦心距
由得
∴所求⊙C方程为：
或
（2）对交点A、B坐标“既设又解”设、，
将直线方程与⊙C方程联立得：
消去x得①
由题意知：为方程①的两个不等实根
∴②
∴由韦达定理得：③
∴④
又由∴⑤
∴由③、④、⑤得：
解得：a=3（满足②式）∴所求⊙C方程为
点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解.
例10的改作：（1）已知⊙C：与直线相交于A、B两点，且（O为原点），求m的值.
（2）已知⊙C的圆心坐标为，⊙C与已知直线相交于A、B两点，且（O为坐标原点），求⊙C方程
（3）已知过点（3，0）的直线l与⊙C：相交于A、B两点且
（O为坐标原点），求直线l的方程.
五、高考真题
（一）选择题
1.“”是“直线与直线相
互垂直”的（）
A. 充分必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
2.设直线的倾斜角为，且，则a,b满足（）
A. a+b=1
B. a-b=1
C. a+b=0
D. a-b=0
3.设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数
作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）
A. 20
B. 19
C. 18
D. 16
4.将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆
相切，则实数的值为（）
A. –3或7
B. –2或8
C. 0或10
D. 1或11
5.已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆有两个交点时，其斜率k
的取值范围是（）
A. B. C. D.
6.从原点向圆作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为
（）
A. B. C. D.
7.已知点P（x,y）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）
A. [-2，-1]
B. [-2，1]
C. [-1，2]
D. [1，2]
8.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（）
A. B.
C. D.
（二）填空题
1.直线关于直线x=1对称的直线方程是 .
2.设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程为 .
3.若经过点P（-1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 .
4.若，则x－y的最大值是 .
5.已知直线与圆相交于A、B两点，且，则
.
6.由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，，则动点P的轨迹方程为 .
7.非负实数x,y满足，则的最大值为 .
8.设x,y满足约束条件，则使目标函数的值最大的点（x,y）是 .
9.设实数x,y满足，则的最大值为 .
（三）解答题
1.如图，直线与直线之间的阴影区域（不含
边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2. （1）分别用不等式
组表示W1和W2；
（2）若区域W中的动点P（x,y）到的距离之积为，求点P的轨迹C
的方程；
（3）设不过原点O的直线l与（2）中曲线C相交于两点，且与
分别交于两点，求证：的重心与的重心重合.
2.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x
轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落
在线段DC上.
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（2）求折叠的长的最大值.
3.如图，直线与相交于点P，直线
与x轴交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂
线交直线于点，过点作x轴的垂线交于，……这样一直作下
去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，……，点的横坐标构成数列 .
（1）证明：；
（2）求系数的通项公式；（3）比较与 +5的大小.
分析与解答
（一）选择题
1.选 B. 分析：当时，两直线为和，显然垂直，条件具充分性；
当两直线互相垂直时，由得：
或，条件不具必要性. 故应选B.
2.选 D. 分析：由为倾斜为得又由
得，
∴，即a=b，故应选D.
3.选C. 分析：注意到A、B的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为
中A、B的值有种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为，应选C.
4.选 A. 分析：把直线即向左平移1个单位得直线
.
解法一：若注意到圆与y轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y轴的相交弦为x=0
，当时，直线都和圆与y轴的相交弦相交，从而否定B，C，D，应选A.
解法二：将代入圆方程得，
当得解得或，从而应选A.
5.选C. 分析：将直线代入
得
，故选C.
6.选B. 分析：已知圆的圆心C（0，6），设两切点为A、B，
则在中，，则∴，应选B.
7.选C.
分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数（即
）.
结合图形易知：
当直线，过点A（0，1）时，；
当直线，过点B（2，0）时，，故应选C.
8.选C.
分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线的对称点为（0，-1），由此否定A，B，D，应选C.
（二）填空题
1.分析：从点的对称切入，当直线上的点（0，0）关于的对称点为A（2，0），直线上的点（2，1）关于的对称点为B（0，1），则，从而
直线AB的方程为，故所求对称直线方程为
2.分析：已知圆圆心（1，0），，∴弦AB的垂直平分线的斜率为，
∴弦AB的垂直平分线的方程为，故所求直线方程为：
3. 分析：已知圆方程为：，经过点P（-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，
设这一切线的方程为，则
，由此解题k=1，∴上述切线的方程为 y=x+1，其在y轴上的截距是1，故应填1.
4.分析：根据已知设，
则（为辅助）
∴ x-y的最大值为
5.分析：由题设在中，，∴
∴，∴应填
6.分析：由题设得，∴又，，
∴动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.
∴动点P的轨迹方程为
点评：首先认知动点P的运动轨迹，而后据此导出动点P的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一途径。
7.分析：由不等式组解得可行域.可行域边界上各交点的坐标分别为O（0，0），A（2，
0），B（0，3），C（1，2），当，则比较u在各交点处的函数值得
点评：在x,y不受其它限制的情况下，目标函数的最值一定是在可行域边界
上的“交点”处取得.因此，相关问题均可仿7解决.
8.分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿7可得答案是点（2，3）.
9.分析：由不等式组作出可行域，则可行域为
所包围的平面区域（包含边界），，
，注意到表示区域内
任一点P与原点的连线的斜率，又，
∴
（三）解答题
1. 分析：对于（1）从题设中的直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明.为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系.
解：（1）由题设得：，
.
（2）直线，直线. 由题意得：，
即：①∵点∴②
∴由①，②得：
整理得
∴所求动点P的轨迹C的方程为：③
（3）证明：（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为，∵直线l，曲线C关于x轴对称并且与关于x轴对称.
∴的中点坐标均为（a，0），
∴的重心坐标均为，即它们的重心重合.
（Ⅱ）当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：④
④代入③得：
由题意知这里：且
⑤
设，则由韦达定理得：
又设则由得，由
得，
∴，
于是可得：，即的
重心与的重心重合.
点评：
（1）这里区域 .
（2）根据三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三顶点的同名坐标的算术平均数分别相等.于是，计算、推理的方向便更加明确了.
2. 分析：（1）由题设，知折痕上点的坐标特征，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；
（2）利用（1）的结果，先求折痕之长的函数表达式，
归结为函数的最值问题.
解：（1）设折叠后A在DC边上的对应点为
，
并设折痕EF所在直线的方程为
（Ⅰ）当k=0时，与D重合（水平折线），折痕所在直线的方程为
（Ⅱ）当，由题设知与关于折痕所在直线EF对称，
∴且的中点在直线EF上，
∴且
∴，∴折痕EF所在直线方程为：
于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得折痕EF所在直线方程为
（2）由（1）知线段EF的方程为（※）
当E与D重合时，E点坐标为（1，0），由（※）得 k=-1；
当F与B重合时，F点坐标为（2，0），由（※）得
（Ⅰ）当E在OD上，F在OB上时，
由（※）得则
∴
当得，即
∴当时，，则l是k的减函数，此时；
当时，，
则l是k的增函数，此时；
（Ⅱ）当E在DC上，F在OD上时，由（※）得
则是k的增函数，此时，
（Ⅲ）当E在OD上，F在BC上时，，由（※）得
人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套
人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的：
∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，
即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式
高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系练习题
1．已知直线和圆有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．圆x2+y2-2acos x-2bsin y-a2sin=0在x轴上截得的弦长是（） A．2a B．2|a| C．|a| D．4|a| 3．过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3，0）作圆的割线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（） A．x+y-3=0 B．x-y-3=0C．x+4y-3=0 D ．x-4y-3=0 4．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（） A．1或-1 B．2或-2 C．1 D．-1 5．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（） A．17或-23 B．23或-17 C．7或 -13 D．-7或13 6．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于（） A．-3+2 B．-3+ C．-3-2 D．3-2 7．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（） A．相切 B．相交 C．相 离 D．内含 8．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（）
A．x+y=0 B．x+y-2=0 C．x-y-2=0 D．x-y+2=01． 9．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（） A． B．2 C．1 D． 10．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是（） A．相交 B．外切 C．内 切 D．相交或外切 11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（） A．(x-4)2+(y+5)2=1 B．(x-4)2+(y-5)2=1C．(x+4)2+(y+5)2=1 D．(x+4)2+(y-5)2=1 12．圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1, 则实数a 的值为（） A．0 B．1 C． 2 D．2 13．已知圆方程C1：f(x,y)=0，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆 C1上，则方程： f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（） A．与圆C1重 合 B．与圆C1同心圆 C．过P1且与圆C1同心相同的圆 D．过P2且与圆 C1同心相同的圆 14．自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________． 15．如果把直线x-2y+=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆 x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于__________．
高中数学 必修内容复习(7) 直线和圆的方程
高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程 一、 选择题（每题3分，共54分） 1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2、若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2 =++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2 =++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ） A ．0,0<>bc ab B ．0,0<>bc ab C ．0,0>>bc ab D ．0,0<
(完整版)高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (１)[0, )2 π θ∈时,0k ≥;(2）2 πθ= 时,k 不存在；(3）( ,)2 π θπ∈时,0k < （4)当倾斜角从0? 增加到90? 时,斜率从0增加到+∞; 当倾斜角从90? 增加到180? 时,斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式:)(00x x k y y -=- （2)斜截式:y kx b =+ （3）两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (４)截距式： 1x y a b += (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式 （1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP = (2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = (３）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d = 4．位置关系 (1）截距式：y kx b =+形式 重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式:0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ ５.直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 １.圆的方程 （1)标准形式:2 2 2 ()()x a y b R -+-=(0R >） （2)一般式:2 2 0x y Dx Ey F ++++=(22 40D E F +->） （3)参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系 （１）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 (2)直线0Ax By C ++=和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时,直线和圆相交(有两个交点)； 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点）; 当d R <时,直线和圆相离（无交点)； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． （2）代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断. （3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
(word完整版)高中数学必修二直线与方程及圆与方程测试题.docx
一选择题（共 55 分，每题 5 分） 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B （ 1， 2），则直线 AB 的斜率为（ ） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（ ） A ． x 2y 7 0 B ． 2x y 1 0 C ． x 2y 5 0 D ． 2x y 5 0 3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是（ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=（ ） A ． 2 B ． 2 C ． 3 3 3 3 2 D ． ( 2 5.过 (x ， y )和 (x ， y )两点的直线的方程是 ) 1 1 2 2 A. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 B. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 1 x 2 C.( y 2 y 1 )( x x 1) (x 2 x 1 )( y y 1) 0 D.( x 2 x 1)( x x 1) ( y 2 y 1 )( y y 1 ) 0 6、若图中的直线 L 1 、 L 2、 L 3 的斜率分别为 K 1、K 2、 K 3 则（ ） A 、 K ﹤ K ﹤ K L 3 1 2 3 L B 、 K ﹤ K ﹤ K 2 1 3 C 、 K 3﹤ K 2﹤ K 1 o x D 、 K 1﹤K 3﹤ K 2 L 1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为（ ） A 、 3x+2y-5=0 B 、 2x-3y-5=0 C 、 3x+2y+5=0 D 、 3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
高中文科数学直线和圆题目精选和答案
1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2 若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2=++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2=++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 4 已知直线22 1 :1+= x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5 3 31+= x y C ．73+-=x y D ．73+=x y 5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ） A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方 D ．左下方 6 直线0943=--y x 与圆42 2 =+y x 的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心 7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆12 2 =+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ） A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形 C ．是钝角三角形 D ．不存在 8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是( ) A ．2 3- B ．3 2- C ． 5 2 D ．2 9 点)5,0(到直线x y 2=的距离为( ) A ． 2 5 B ．5 C ． 2 3 D ． 2 5 10 下列命题中，正确的是( ) A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内 B ．点)0,0(在区域01<++y x 内 C ．点)0,1(在区域x y 2>内 D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内 11 由点)3,1(P 引圆92 2 =+y x 的切线的长是 ( ) A ．2 B ．19 C ．1 D ．4 12 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
高二数学直线和圆的方程综合测试题
高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 一、 选择题： 1．如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率取值范围是（ ） A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．),2()0,(+∞-∞ D ．),2[]0,(+∞-∞ 2.直线083=-+y x 的倾斜角是( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 3. 若直线03)1(:1=--+y a ax l ，与02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直， 则a 的值为（ ） A ．3- B ．1 C ．0或2 3 - D ．1或3- 4. 过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 5.过点)1,2(-P 且方向向量为)3,2(-=的直线方程为( ) A.0823=-+y x B. 0423=++y x C. 0132=++y x D. 0732=-+y x 6.圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3 3 = 的距离是( ) A. 2 1 B. 23 C.1 D. 3 7.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x
8.过点)1,2(且与两坐标轴都相切的圆的方程为（ ） A ．1)1()1(22=-+-y x B ．25)5()5(22=-++y x C ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x D ．1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-++y x 9. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A ．3 [,0]4 - B ．[ C ．[ D ．2 [,0]3 - 10. 下列命题中，正确的是（ ） A ．方程 11 =-y x 表示的是斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线； B ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5=y ； C ．已知ABC ?三个顶点)0,3(),0,2(),1,0(-C B A ，则 高AO 的方程是0=x ； D ．曲线023222=+--m x y x 经过原点的充要条件是0=m . 11.已知圆0:22=++++F Ey Dx y x C ,则0==E F 且0 1. 已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。 （Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围； （Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。 解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m， =20-4m＞0，解得：m＜5。 （Ⅱ）， 将x=4-2y代入得，∴，， ∵OM⊥ON，得出：， ∴， ∴。 （Ⅲ）设圆心为（a，b），， 半径， ∴圆的方程为。 法 2. 2. 已知圆C方程为x2+y2-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何 圆C恒有两个公共点。 2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值 1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0 解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内 所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点 2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)， AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以- (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/4 3、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0． （Ⅰ）证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点； （Ⅱ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度． “直线与圆”单元测试 一、选择题 1．直线 3x ＋y －3＝0的倾斜角为( ) A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析：选C ∵直线3x ＋y －3＝0可化为y ＝－3x ＋3， ∴直线的斜率为－3， 设倾斜角为α，则tan α＝－3， 又∵0≤α<π，∴α＝2π3 . 2.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为 1， 2， 3，则必有( ) A ． 1＜ 2＜ 3 B ． 3＜ 1＜ 2 C ． 3＜ 2＜ 1 D ． 1＜ 3＜ 2 解析：选D 由图可知 1＜0， 2＞0， 3＞0，且 2＞ 3，所以 1＜ 3＜ 2. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选B 由????? x ＝1，x ＋y ＝2，得????? x ＝1，y ＝1， 即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2 ＝1. 4．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 解析：选A 设过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0，即(2＋λ)x －(1＋λ)y ＋4＋5λ＝0， ∵该直线与直线x －2y ＝0垂直， 圆与直线 一、典型例题 例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。 分析： 直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。 通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。 设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴ m 64 x 6x 4400-= -- 解之得：1 x x 5m 00 -= ∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1 x x 10mx 2x 4|OM |21 S 02000OMQ -===? 令x 0-1=t ，则t>0 )2t 1 t (10t )1t (10S 2++=+=≥40 当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。 例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求： （1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。 分析： （1）∵ k BC =5 ∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5 1 - ∴ AD 所在直线方程y+1=5 1 -(x-2) 即x+5y+3=0 （2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2 ∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0 （3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。 ∵ k AC =-1，k AB =2 ∴ k 21k 2k 11k +-= -+ ∴ k 2 +6k-1=0 ∴ k=-3-10（舍），k=-3+10 ∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0 评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2 | 1y x |5 | 5y x 2|-+= --，化简即可。还可注意到，AB 与AC 关 于AE 对称。 例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程； （2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。 分析： 研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。 （1）法一：从数的角度 若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2 +(y 0-2)2 =(x 0-3)2 +(y 0-2)2 又2x 0-y 0-3=0 两方程联立得：???==5y 4x 0 0，|PA|=10 ∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2 =10 若选用一般式：设圆方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0，则圆心（2 E ,2D -- ） 高中数学必修二直线与 圆方面的知识点范文 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 高中数学必修2知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 一选择题（共５5分,每题5分) 1． 已知直线经过点A （0,4）和点B(1，2）,则直线AB 的斜率为（ ） A.3 Ｂ.-2 C ． 2 D ． 不存在 2.过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A.072=+-y x Ｂ.012=-+y x C.250x y --= D ．052=-+y x ３． 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ) x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3y+1=0互相垂直,则a ＝( ） A ．32- B ．32 C.2 3- D ．23 5.过(x 1,y 1)和（ｘ２，y 2)两点的直线的方程是( ) 11 212111 2112 211211211211.. .()()()()0.()()()()0 y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --= ----= -------=-----= 6、若图中的直线L 1、Ｌ２、L 3的斜率分别为 A 、K 1﹤Ｋ2﹤K 3 Ｂ、Ｋ２﹤Ｋ1﹤K 3 C 、K ３﹤K 2﹤Ｋ１ D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x ＋３y －5=0关于直线y=x Ａ、3x+2ｙ-5＝０ Ｂ、2ｘ-３y －5=0 C 、3ｘ＋2y ＋5＝0 Ｄ、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-１)对称的直线是（ ) Ａ．３ｘ-2y-6=0 Ｂ．2x+3ｙ+7=0 Ｃ. 3x －２y －12=0 Ｄ. 2x+3y+8＝0 9、直线5x －2ｙ-1０=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ) x 高二数学第 3 讲直线与圆综合 22 1. 已知圆C：x +y +2x-3=0 ． （1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长； （2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆 C 相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 1 1 x1 x2为定值； （3）斜率为 1 的直线m 与圆C相交于D、E两点，求直线m 的方程，使△CDE的面积最大． 2. 已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C1相交于E、F 两点，线段EF 的中点为C． （1）求点C的轨迹C2 的方程； （2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0 的交点为N，求证|AM|?|AN| 为定值． 3. 已知点C(1，0)，点A，B 是⊙ O：x2+y2=9 上任意两个不同的点，且满足AC BC 0，设M为弦AB的 中点．求点M的轨迹T 的方程； 4.已知平面直角坐标系上一动点P(x, y)到点A( 2,0) 的距离是点P 到点B(1,0) 的距离的2倍。 (1)求点P 的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点(2,1) 对称，点C(3,0) ，求|QA|2 |QC |2的最大值和最小值； (3)过点A的直线l 与点P的轨迹C 相交于E,F 两点，点M (2,0) ，则是否存在直线l ，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。 22 5.已知圆O: x2 y2 4和点M （1,a）． （1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a的值，并求出切线方程； （2）若a 2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直． ①求四边形ABCD 面积的最大值；②求| AC | | BD |的最大值． 22 6. 已知过原点的动直线l 与圆C1：x +y -6x+5=0 相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1 的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出不 k 的取值范围；若存在，说明理由． 1．直线的斜率 倾斜角：0180≤α?注意讲授每一种直线方程的使用条件，截距可正可负可为零． 3．两条直线的位置关系：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=； ⑴相交：12210A B A B -≠ ⑵平行：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ⑶重合：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑷垂直：12120A A B B += 4．点到直线的距离公式 ⑴点00()P x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离：002 2 Ax By C d A B ++= +， ⑵两条平行线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离：122 2 C C d A B -=+． 知识点睛 11.1直线 直线与圆 高中数学必修２知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<18０° (2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0高中 圆与直线的典型大题
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