函数与方程(根的分布与零点问题)
一、函数零点问题
方法：1.用定理。2.解方程。3.结合图像
1．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )（结合图像）A. 3个 B. 2个C．1个D．0 个
2．已知x0是函数f(x)＝2x＋1
1－x
的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )（解方程）
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
3.判断下列函数在给定区间上是否存在零点．（用定理）
(1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]
(2)f(x)＝x3－x－1, x∈[－1,2]
(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]
二、根的分布问题（一元二次判别式与图形结合）
1.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围
2.已知二次函数．
()2(21)12 f x x a x a
=+-+-
（1）判断命题：“对于任意的a ∈
R（R为实数集），方程
1
)
(=
x
f
必有实数根”的真假，并写出判断过程
（2）若
()
y f x
=
在区间
)
0,1
(-
及
)
2
1
,0(
内各有一个零点．求实
数a的范围
专题复习之--函数零点问题
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.
（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：
方程的根与函数的零点题型及解析
方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有
高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一
2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出
方程的根与函数的零点练习题
方程的根与函数的零点 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 [答案] D [解析] 对于函数f (x )＝e x ＋3x －6来说 f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2>0 ∴f (1)f (2)<0，故选D. 2．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] [答案] D [解析] 解法1：取m ＝0有f (x )＝－3x ＋1的根x ＝1 3>0，则m ＝0应符合题 设，所以排除A 、B ，当m ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2它的根是x ＝1符合要求，排除C.∴选D. 解法2：直接法，∵f (0)＝1，∴(1)当m <0时必成立，排除A 、B ， (2)当m >0时，要使与x 轴交点至少有一个在原点右侧， 则??? ?? m >0，Δ＝(m －3)2 －4m >0，－m －32m >0， ∴0
C ．(1,2) D ．(－1,0) [答案] B [解析] y ＝2x －3的反函数为y ＝log 2(x ＋3) 由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选B. 4．函数f (x )＝lg x －9 x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10) [答案] D [解析] ∵f (9)＝lg9－1<0，f (10)＝1－9 10 >0， ∴f (9)·f (10)<0， ∴f (x )在(9,10)上有零点，故选D. 5．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α、β是函数f (x )的两个零点，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) A ．a <α方程的根与函数的零点练习答案
方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝1 3 x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间????1e ，1，(1，e )内均有零点 B ．在区间??? ?1 e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间????1 e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 4．函数y ＝3 x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0) 5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定 6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根 7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 9．函数f (x )＝2x －log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0，1 4 B.????14，12 C.??? ?1 2，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ) A.(－1,0) B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
方程的根与函数的零点教案(新)
《方程的根与函数的零点》教案 一、课题：方程的根与函数的零点 二、课型：新授课 三、课时安排：1课时 四、教学目标：以一元二次函数的图象与对应的一元二次方程的 关系为突破口， 探究方程的根与函数的零点的关系式.发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，探究过程中体验发现乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生分析问题、解决问题的能力. 五、教学重点：函数零点的概念与函数零点存在性. 六、教学难点：探究函数零点存在性. 七、教学内容分析： 函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的 基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带，也是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程便自然地成为了高考考查的焦点，在整个高中数学中占有非常重要的地位. 八、教学方法：启发诱导式. 九、教学工具：黑板与多媒体. 十、教学步骤： 1.导入新课 解方程比赛： （学生口答） （逐层加深） （无法解） 2.引入课题 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？ （1） （2） (3) 通过一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像可得出结论：一元二次方程的实数根就是与之相应的一元二次函数的图像与X 轴的交点的横坐标. 从而引出函数零点的概念：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点. 注意：（1）“零点”不是一个点； （2）函数零点的意义：就是一元二次方程的实数根，亦是一元二 （3）等价关系：方程y=f(x)的图象与x 函数y=f(x)有零点. 通过上面的关系式的探讨，求函数零点主要方法有：（1）定义法（求方程的实数根）；（2）图象法（利用函数图象确定）. ()1320 x +=求下列方程的根： 032)2(2 =--x x 0 2)3(3=-+x x (4)ln 260 x x +-=0 322=--x x 322--=x x y 0122=+-x x 122+-=x x y 0322=+-x x 322+-=x x y
函数的零点问题(讲解)
函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合?
一、引例 (1 ).函数f(x)=eJχ-2的零点所在的一个区间是( ). A. -2,一1 B. -1,0 C. 0,1 D. 1,2 解法一：代数解法 解：(1).因为 f O =e°0-2「1 ：：0 , f 1 =e11-2=e-1 O , 所以函数f X =e x的零点所在的一个区间是0,1 .故选C. 二、基础知识回顾 1.函数零点概念 对函数V ,把使f X =0的实数X叫做函数y = f X的零点. 2.零点存在性定理：如果函数y = f χ在区间∣a,b ］上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)'f(b)<0，那么，函数y = f(x)在区间a,b内有零点.即存在c? a,b ,使得f c =0，这个C也就是方程f X =0的根. 么在1 2,2 1上函数f X =X有零点吗？ 问题2：函数f(x) = x2-6χ+ 8 在区间［1,31,〔0,1】，［1,5】
有零点吗？ 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗？ 解法二：几何解法 (1). f X i；=I e X χ-2可化为e x = ^ X 2 . 画出函数y = e x和节-2的图象，可观察得出C正确.
《方程的根与函数的零点》测试题
《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).
A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.
解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.
第13招 函数的零点个数问题
【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(
方程的根与函数的零点说课稿
《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课． 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台． 1.2 教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础． 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础． 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点． 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位． 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务． 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾． 从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．
3.1.1方程的根与函数的零点教案(优秀教案)
《方程的根与函数的零点》的助学案 高一（8）班 授课教师 学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定 学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x 轴交点个数？○ 1方程0322=--x x 与函数322 --=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y 填下表？ 函数 322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y 函数图象 函数与x 轴交点 f(x)=0的根 探究案： 探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点?函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。 练习：求函数x x y 43 -=的零点
是不是所有的二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=? 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 0 (2≠++=a c bx ax y 有几个零点 ?>0 ?=0 ?<0 探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象： ○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______， =)1(f _______,)2(-f ?)1(f _____0 （＜或＞）． ○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f ?)4(f ____0 （＜或＞）． 观察下面函数)(x f y =的图象 ○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f ?)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f ?)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f ?)(d f _____0（＜或＞）． ○4()a f ?()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？ ○5()()d f a f ? 0（＜或＞）。 思考：若函数)(x f y =满足()()0?n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？ 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 训练案
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x
例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围
例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021> 《函数的零点与方程的根》专题复习 知识点梳理 函数的零点：对于函数)(x f y =，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 零点存在性定理：如果函数 )(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()( 函数零点专题（高一版） 一、已知函数解析式（不含参）求零点个数 1、基本初等函数模型 例1：若函数31(),()log (1)2x f x g x x ??==- ??? ，则方程()()f x g x =的实数根的根数为 2、复合函数模型 例2：若函数???>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，则函数[]1)(-=x f f y 的零点个数为 3、周期函数模型 例3：函数()f x 的周期为2，若[]21,1,()x f x x ∈-=，则()y f x =的图像与lg y x =的图像的交点个数为 4、具有对称性的函数模型（求和） 例4：已知函数2221,0()log ,0 x x x f x x x ?--+≤?=?>??，若()f x k =有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围为 例5：定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[) 12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ?+∈?=??--∈+∞?，则关于x 的函数 ()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为 二、已知零点个数求参数范围 1、二次函数模型 例6：函数2()2f x x x a =-+在区间(1,3)内有一个零点，则实数a 的取值范围是 .(3,0)A - .(3,1)B - .(1,3)C - .(1,1)D - 2、分段函数模型 例7：已知函数2ln(1),0()2,0 x x f x x x x +>?=?--≤?，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为 1 .(0,)2A 1.(,1)2 B .(0,1) C (].0,1 D 3、复合函数模型 例8：设函数()21,02,0 gx x f x x x x ?>?=?--≤??，若函数()()2221y f x bf x =++????有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 4、周期函数模型 方程的根与函数的零点 1、函数()? ? ?>+-≤-=1,341 ,442 x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,21 D.(1,2) 3、函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x f x e =- D.)2 1 ln()(-=x x f 4．若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ．??? ??1,32 . B ．??? ??32,21 . C ．??? ??21,31 D ．?? ? ??31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．（0，1）. B ．（1，1.25）. C ．（1.25，1.75） D ．（1.75，2） 6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 8.已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ） A ．()01 高一数学方程的根与函 数的零点教案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 课题: 《方程的根与函数的零点》 一、教学目的: 1、知识与技能： (1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系； (2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个； (3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。 2、过程与方法： 培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。 3、情感态度与价值观： 在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 二、教学重难点 重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用 三、教学过程 1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根 (1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ； 师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决 设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。 问题2：填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x 轴的交点的关系 师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律 设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。并通过上表得出：一元二次方程的实数根=二次函数图像与x 轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X 轴交点的个数）。 问题3：完成表格，并观察一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根与相应二函数 )0(2≠++=a c bx ax y 图象与x 轴交点的关系 表达。 设计意图: 采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图像判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。问题2到问题3创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数形结合。以学生已有的认知为生长点，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。并得到结论：一元二次方程的实根就是相应二次函数图像与X 轴的交点的横坐标。 2、建构函数零点概念 各位评委老师，各位同事，下午好！我是来自富阳二中xxx，今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》第一课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。下面我将从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法与学法分析、教学过程设计五个方面来进行阐述。 【教材分析】 函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。 本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。 因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． 【教学目标分析】 根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标： 知识与技能目标：理解方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。 过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。 能力与情感目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。 【重难点分析】 教学重点：判定函数零点的存在及其个数的方法。 教学难点：探究发现函数零点的存在性，及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。 【教法分析和学法指导】 结合本节课的教学内容和学生的认知水平： 在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。 在学法上，我体会到“授人以鱼，不如授人以渔”，因此我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。 【教学过程】 为了突出重点，突破难点，在教学上我将用九个环节来达成我的教学目标。 第一环节：牛刀小试、新知引入 问题1：求方程x2－2x－3＝0的实数根，画出函数y＝x2－2x－3的图象；并观察他们之间的联系？ 学生通过观察分析易得：方程x2－2x－3＝0的实数根就是y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点 横坐标。 [设计意图说明]以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得 到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。 初步提出零点的概念：-1、3既是方程x2－2x－3＝0的根，又是函数y＝x2－2x－3在y＝0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。必修1《函数的零点与方程的根》(有答案)
函数零点分布专题
函数零点与方程的根练习题
高一数学方程的根与函数的零点教案
方程的根与函数的零点 说课稿