高中数学选修2-1-空间向量与立体几何
空间向量与立体几何
一、知识网络：
二．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 题型2：空间向量的基本运算
例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为
11C A 与11D B 的交点。若AB a =，AD b =，1AA c =，
则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
()A 1122a b c -
++ ()B 11
22a b c ++
()C 1122a b c --+ ()D c b a +-21
21
例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a
+++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,
求y x ,的值.
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.（三）强化巩固导练
1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值.
2、
在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( )。A ．-2
1a ＋2
1b ＋c
B ．2
1a ＋2
1b ＋c C ．2
1a -2
1b ＋c
D ．-2
1a -2
1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。
第二课时 空间向量的坐标运算
（一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标
例1、（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）
A. a ：|a |=b ：|b |
B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3
C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
D.存在非零实数k ，使a =k b
（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ） A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）
A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)
B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)
C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)
D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)
例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设a =，b =，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值.
题型2：数量积
例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____.
（2）设空间两个不同的单位向量a =(x 1，y 1，0)，b =(x 2，y 2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角
都等于4π。(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。
题型3：空间向量的应用
例4、（1）已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43。 （2）已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功。
（三）、强化巩固训练
1、(07天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直
④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2
－4|b |2
中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2、已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ．
第三课时 空间向量及其运算强化训练
（一）、基础自测 1.有4个命题：
①若p =x a +y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p =x a +y b ；
③若MP =x MA +y MB ，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( )。
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.若|a |=|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反
C.若向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，则AB ＞CD
D.若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0，则AB ∥CD 3.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a ∥b ，则 （ ）。
A.x=1,y=1
B.x=2
1，y=-2
1
C.x=6
1，y=-2
3
D.x=-6
1，y=2
3
4.已知A （1，2，3），B （2，1，2），P （1，1，2），点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是 .
5.在四面体O-ABC 中，OA =a ,OB =b , OC =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则OE = (用a ,b ,c 表示).
（二）、典例探析
例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1AA =a ，
AB =b ，AD =c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，
试用a ，b ，c 表示以下各向量： （1）AP ；（2）N A 1；（3）MP +1NC .
例2、如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.
（1）求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；（2）求MN 的长； （3）求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值.
例3、 （1）求与向量a =(2,-1,2)共线且满足方程a ·x =-18的向量x 的坐标； （2）已知A 、B 、C 三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P 的坐标使得AP =2
1（AB -AC ）；
（3）已知a =（3，5，-4），b =（2，1，8），求：①a ·b ；②a 与b 夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得λa +μb 与z 轴垂直，且（λa +μb ）·（a +b ）=53.
（三）、强化训练：如图所示，正四面体V —ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M. （1）求证：AO 、BO 、CO 两两垂直； （2）求〈DM ,AO 〉.
补充：1、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E 、F 分别是BC 、AD 的
中点，则AE ·AF 的值为（ C ）A.a 2
B.22
1a
C.241a
D.
24
3a 2、已知A （4，1，3），B （2，-5，1），C 为线段AB 上一点，且AB
AC
=31，则C 点的坐标为( C )
A.)2
52127
(，，-
B. )233
8
(，，-
C.)3
71310(
，，- D.
)2
3
2725(，，- 3、如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两
两夹角为60°. (1)求AC 1的长；（2）求BD 1与AC 夹角的余弦值.
立体几何中的向量方法
-------空间夹角和距离
（三）、基础巩固导练
1、在平行六面体ABCD —'D 'C 'B 'A 中，设'CC z 3BC y 2AB x 'AC ++=，则x+y+z=（A ）
A.
611 B. 65 C. 32 D. 6
7
2、在正方体ABCD —1111D C B A 中，M 是棱DD 1的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为（ C ）
A. 4π
B. 3π
C. 2
π D. 与P 点位置无关
3、如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，E 、F 分别是AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为（ B ）
A.
33 B. 32 C. 31 D. 6
1
4、 如图所示，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求二面角B －AC －E 的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离。10、（1）略（2）6arcsin
（3） 23
E
F
O
第二课时 用向量法求空间夹角
——热点考点题型探析
（一）热点考点题型探析
题型1：异面直线所成的角
例1、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点。
求：D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小（用余弦值表示）
题型2：直线与平面所成的角
例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90 ，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 。求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；
题型3：二面角
例3、（08年高考）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，E 为BC 中点。
（1）求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小（用正切值表示）； （2）求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
A 1
B 1
C 1
D 1 A B
C
D E
x
y z
第三课时 用向量法求空间的距离 （一）热点考点题型探析 题型1：异面直线间的距离
例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，
底边长AB =BD 和SC
之间的距离？
题型2：点面距离
例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形， Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于Ａ ＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到 平面ＥＦＧ的距离。
题型6：线面距离
例3、已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8， 对角线101=C B ，D 是AC 的中点。（1）求点1B 到 直线AC 的距离。（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ Ｇ
Ｅ
O '
Ｆ
Ｏ Ｈ
B A
C
D
1A
1B
1C