圆锥曲线第三定义及扩展

-1（ a ―

0）的长轴长为 例、已知椭圆—2 a ―

1

直线l 与椭圆相交与 M 、N 两点，记直线 PM 、PN 的斜率分别为kl 、k2。若k1 k2= - ，

4

则椭圆的方程为。 变式：

1、设点A ，B 的坐标为（-2，0），（ 2，0），点P 是曲线C 上任意一点，且直线 PA 与PB 的

1

斜率之积为-，则曲线C 的方程为。

4

2、设点P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是 0，曲线C 与X 轴相交于两点 M （-2，0），

3

N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为-，贝U OP 的最小值是。

4

-8，0），（ 8，0 ），且AC, BC 所在直线斜率之积为 m （ m ≠

0 ），求顶点C 的轨迹。

2 2

4、P 是双曲线 仔-占=1（a 0,b 0）上一点，M,N 分别是双曲线的左右顶点，

直线PM ，

a b 1

PN 的斜率之积为一，则双曲线离心率为。

X 2 2

圆锥曲线第三定义

在椭圆—2 1（a ― 0）中，A ， B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于 A ， B 两 ― 点的任意一点, k pA , k pB 存在，则 k pA * k PB

―2

r 。（反之亦成立） a 在双曲线 2

爲=1（a 0, ― ■ 0）中，A ，B 两点关于原点对称, ―2 P 是椭圆上异于A , B 两点的任意一点，若 k PA , k PB 存在，则 k

PA *k PB b

=。（反之亦成立）

a ★焦点在Y 轴上时,

椭圆满足 k PA *k PB —

a 2

双曲线满足k p A ?k pB

a 2

b 2

X 2 3、已知 ABC 的两个顶点坐标分别是（

4,若点P 是椭圆上任意一点，过原点的

2 2

5

5、已知椭圆——=1的左右顶点分别是A、B, M是椭圆上异于A、B的动点，求证:

3 2

k MA *k MB为定值。

6、平面内与两定点A i(-a,0)，A2(a,0) (a 0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.求曲线C的方程，并讨论C 的形状与m值得关系；

第三定义的应用

2

例、椭圆y2=1的左右顶点分别是A, B,点S是椭圆上位于X轴上方的动点，直线AS,

4

10

BS与直线l : X 分别交于点M、N,求线段MN长度的最小值。

3

2 X 2

变式：已知A,B 分别为曲线C : —+ y =1 (y_0,a>0)与X 轴的左、右两个交点，直线 丨过

a

点B,且与X 轴垂直，S 为丨上异于点B 的一点，连结 AS 交曲线C 于点T.

(I) 若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点

S 的坐标；

(II) 如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在a ,使得O,M,S 三点 共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。

满足OM =，OA ? uOB 。则有如图框架。(已知任意两个，可以推导第三个)

b 2

b

2 ,当焦点在 Y 轴上时，椭圆满足 k °

A ?k °B

a

第三定义的变形

k

OA , k OB

a

2

框架一：已知椭圆

2 2

X y a 2 b 2

= 1(a b 0)，A ，B 是椭圆上的两动点， M 为平面上一动点且

相应的双曲线中有k OA 咔0B =

2

线满足k oA ?k °B

2

。

b

例、已知椭圆的中心为坐标原点

O ,焦点在X 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线

交椭圆于A 、B 两点，OA?OB 与a=(3,-1)共线”

(I)求椭圆的离心率；

(H)设M 为椭圆上任意一点，且 OM= OA ^OB Cj - R),证明，」2为定

值+

2 2

笃 y ^=1(a b 0) , A , B 是椭圆上的两动点, a b

___ __ ______ _ _______ __ 2 2

例、设动点P 满足OP =OM 2ON ,其中，M ,N 是椭圆 — =1上的点，直线OM 、

4

2

1

ON 的斜率之积为

，求动点P 的轨迹方程。

2

变式：已知在椭圆

M 为椭圆上一动点满

足OM= OA UOB 且2」2=1 ,证明:

a 2

框架二：已知椭圆

2 2

与 占=1(a b 0) , A , B 是椭圆上的两动点, a b

M 为平面上一动点且

满足OM =，OA ? uOB 。则有如下框架：k °A *k oB

b 2

2

一

a

2

?-2'u 2。

变式：设动点 M 满足0M ，— OA ? uOB ,其中A 、B 是椭圆笃?爲=1(a b . 0)上的

a b

例、已知直线l 与椭圆C: X r 器1交于P x 1, y 1, Q "2两不同点，且OPQ 的 面积S=丄6,其中0为坐标原点。

2

(I)证明X 2 ? X ；和y 1

2 y ；均为定值

(∏)设线段 PQ 的中点为M ,求OM 丰PQ,的最大值;

(川)椭圆C 上是否存在点D , E , G ,使得S OD ^- S OD G

判断:DEG 的形状；若不存在，请说明理由

点，且 k

OA ?k 0B —

b 2

-2。证明: a

2

2

P

的轨迹方程为2￥「~2。

框架三：已知动直线

2

l 与椭圆x 2

a

2

y

b 2 = 1

(a b O)交于P(x 1,x 2),Q(x 2, y 2)两个不同的两

点，且=QPQ 的面积为S OPQ ,其中

O 为坐标原点。有如下框图。

k

OP ? k OQ

ab

2 2

*

y 2

二 b 2 二 x 12 x 2

2 二 a 2

√6

= S O E G

=云?若存在,