2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编：H单元 解析几何
数 学
H 单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )
的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b
2
，即M f (a ，b )
为a ，b 的算术平均数．
(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；
(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab
a ＋b
.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：
(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）
c －b
，
即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b
.
因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）
b
，故可以选择f (x )＝x (x >0)；
(2)依题意，c ＝2ab
a ＋b
，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b
－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝
f （b ）
b
，故可以选择f (x )＝x (x >0)． 20．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，
B 分别在
C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
图1-7
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x
a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x
＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |
恒为定值，并求此定值． 20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.
由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1
a (x －c )，所以B ???c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1
a
x ，
则A ????c ，c a ，所以k AB ＝c a －????－
c 2a c －c 2
＝3a .
又因为AB ⊥OB ，所以3a 2????－1a ＝－1，解得a 2
＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.
(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x
3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0
≠0)．
因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ????
2，2x 0－33y 0，直线l 与直线
x ＝32的交点为N 32，3
2x 0－3
3y 0
， 则|MF |2
|NF |2＝（2x 0－3）2
（3y 0）214＋
????
32
x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝ 432（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）
2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3
－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝432（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝432（2x 0－3）2
4x 2
0－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23
＝23
3，为定值．
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与
长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；
②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 的坐标．
20．解：(1)由已知可得???a 2＋b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2
＝4，
解得a 2＝6，b 2＝2，
所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0
－3－（－2）
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得?????x ＝my －2，x 26＋y 2
2＝1.
消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，
其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m
m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3.
设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为? ??
?
?－6m 2＋3，2m m 2＋3.
所以直线OM 的斜率k OM ＝－m
3，
又直线OT 的斜率k OT ＝－m
3，
所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得，
|TF |＝m 2＋1，
|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]
＝（m 2
＋1）??????????4m m 2＋32－4·－2m 2＋3
＝24（m 2＋1）
m 2＋3.
所以|TF ||PQ |
＝
124·（m 2＋3）2
m 2＋1
＝ 124?
???m 2
＋1＋4m 2＋1＋4≥
124（4＋4）＝3
3
. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF |
|PQ |取得最小值．
故当|TF |
|PQ |
最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8
p ，
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
.
由题设得p 2＋8p ＝5438
p
，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，
所以C 的方程为y 2＝4x .
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.
故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，
所以l ′的方程为x ＝－1
m y ＋2m 2＋3.
将上式代入y 2＝4x ，
并整理得y 2＋4
m y －4(2m 2＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，
则y 3＋y 4＝－4
m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．
故线段MN 的中点为E ????2m 2＋2m 2
＋3，－2m ， |MN |＝
1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2
. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，
从而14|AB |2＋|DE |2＝1
4|MN |2，即
4(m 2
＋1)2
＋????2m ＋2m 2
＋???
?2
m 2＋22
＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）
m 4
，
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，
故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.
H3 圆的方程
9．、[2014·福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，
Q 两点间的最大距离是( )
A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2
9．D [解析] 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点
Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010
＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 2
0， ∴|CQ |＝
10－10y 20＋（y 0－6）2
＝
－9y 20－12y 0＋46＝
－9?
???y 0＋2
32
＋50， 当y 0＝－2
3
时，|CQ |有最大值5
2，
则P ，Q 两点间的最大距离为5 2＋r ＝6 2.
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 10．、[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →
＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )
A ．1＜r ＜R ＜3
B ．1＜r ＜3≤R
C ．r ≤1＜R ＜3
D ．1＜r ＜3＜R
10．A [解析]由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →
＝(2，2)，|OQ |＝2.
曲线C ＝{P |OP →
＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}， 即C ：x 2＋y 2＝1.
区域Ω＝{P |0 |≤R ，r 圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示． 要使C ∩Ω为两段分离的曲线，则有1 (2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论． 19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 2＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2 2 . (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →2OB → ＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0 x 0 . 当x 0＝t 时，y 0＝－t 2 2 ，代入椭圆C 的方程， 得t ＝±2， 故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2 x 0－t (x －t )， 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0| （y 0－2）2＋（x 0－t ）2. 又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0 ，故 d ＝ ? ??? 2x 0＋2y 2 0x 0x 20＋y 2 0＋4y 20x 20 ＋4 ＝ ??? ? 4＋x 2 0x 0x 40＋8x 2 0＋16 2x 20 ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 6．、[2014·福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为1 2 ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 6．A [解析] 由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离d ＝1 k 2＋1 <1，解得k ≠0. 当k ＝1时，d ＝ 12，|AB |＝2r 2－d 2＝2，则△OAB 的面积为1232312＝12 ； 当k ＝－1时，同理可得△OAB 的面积为12，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为1 2”的充分 不必要条件． 12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且 每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b | 2 ＝13sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________． 15.4 3 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2 ＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2 ∠OP A ＝4 3 ， 即l 1与l 2的夹角的正切值等于4 3 . 15．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________． 15．(210，＋∞) [解析] g (x )的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2＝4(y ≥0)．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x )，根据圆心(0，0)到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆的半径 求得|b |9＋1＝2，解得b ＝210或b ＝－210(舍去)，要使h (x )>g (x )恒成立，则b ＞210，即 实数b 的取值范围是(210，＋∞)． 12．[2014·陕西卷] 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 12．x 2＋(y －1)2＝1 [解析] 由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |2|PB |的最大值是________． 14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上， 所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10. ∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |2 2 ＝5， 当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立． 13．[2014·重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________． 13．4±15 [解析] 由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2| a 2＋1.∵△ABC 为等边三角形，∴|AB |＝r ＝2.又|AB |＝ 2r 2 －d 2 ，∴2 22 －? ?? ??|2a －2|a 2＋12 ＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2 2 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径． 21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2 ＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22 ＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2 2，故c ＝1. 从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝32 2 ， 所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22 ＋y 2 ＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两 个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1 ⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 2 1＋4x 1＝0，解得x 1＝－43 或 x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在． 当x 1＝－4 3 时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C . 由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的 半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝42 3 . H5 椭圆及其几何性质 20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与 长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程． (2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . ①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ | 最小时，求点T 的坐标． 20．解：(1)由已知可得???a 2＋b 2＝2b ， 2c ＝2a 2－b 2 ＝4， 解得a 2＝6，b 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2 2 ＝1. (2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0 －3－（－2） ＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1 m .直线PQ 的方程是x ＝my －2. 当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得?????x ＝my －2，x 26＋y 2 2＝1. 消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12 m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为? ?? ? ?－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m 3， 又直线OT 的斜率k OT ＝－m 3， 所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1， |PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝（m 2 ＋1）??????????4m m 2＋32－4·－2m 2＋3 ＝24（m 2＋1） m 2＋3 . 所以|TF ||PQ | ＝ 124·（m 2＋3）2 m 2＋1 ＝ 124? ???m 2 ＋1＋4m 2＋1＋4≥ 124（4＋4）＝3 3 . 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF | |PQ |取得最小值． 故当|TF | |PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． 14．[2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2 ＋y 2 b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． 14．x 2＋3 2 y 2＝1 [解析] 设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |， 可得AF 1→＝3F 1B → ，故? ????－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即 ???x 0＝－53 c ， y 0 ＝－1 3 b 2 ，代入椭圆方程可得25（1－b 2 ）9＋1 9b 2 ＝1，解得b 2 ＝23，故椭圆方程为x 2 ＋3y 22 ＝1. 19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率； (2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论． 19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 2＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2 2 . (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →2OB → ＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0 x 0 . 当x 0＝t 时，y 0＝－t 2 2 ，代入椭圆C 的方程， 得t ＝±2， 故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2 x 0－t (x －t )， 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0| （y 0－2）2＋（x 0－t ）2. 又x 20＋2y 2 ＝4，t ＝－2y 0x 0 ，故 d ＝ ? ??? 2x 0＋2y 2 0x 0x 20＋y 2 0＋4y 2 0x 20 ＋4＝??? ? 4＋x 2 0x 0x 40＋8x 2 0＋16 2x 20 ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 9．、[2014·福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2 ＋(y －6)2 ＝2和椭圆x 2 10 ＋y 2＝1上的点，则P ， Q 两点间的最大距离是( ) A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 9．D [解析] 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010 ＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 2 0， ∴|CQ |＝ 10－10y 20＋（y 0－6）2 ＝ －9y 20－12y 0＋46＝ －9? ???y 0＋2 32 ＋50， 当y 0＝－2 3时，|CQ |有最大值5 2， 则P ，Q 两点间的最大距离为5 2＋r ＝6 2. 20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5 3. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点， 且∠F 1PF 2＝π 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233 C ．3 D ．2 9．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1 －r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 2 2－r 1r 2， 消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2 ， 即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得????1e 1＋1e 22＝? ????1e 1＋1333e 22≤????1e 21＋3e 22????1＋13＝163. 所以1e 1＋1e 2≤433 .故选A. 21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、 右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离 心率为e 2.已知e 1e 2＝3 2 ，且|F 2F 4|＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程； (2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 21．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a 2a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝3 4 a 4，因此a 2＝ 2b 2，从而F 2(b ，0)， F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2 ＝2.故C 1，C 2的方程分别为 x 22 ＋y 2＝1，x 22－y 2＝1. (2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由?????x ＝my －1，x 22＋y 2＝1 得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2 . 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ? ?? ??－2 m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x ，即mx ＋2y ＝0. 由? ??y ＝－m 2x ， x 22 －y 2 ＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2 ＝m 22－m 2，从而|PQ |＝ 2x 2＋y 2 ＝2m 2＋42－m 2 .设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所 以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| m 2＋4 .因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2 ＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2| m 2＋4 . 又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2 －4y 1y 2＝2221＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2 m 2＋4 . 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |22d ＝2221＋m 22－m 2 ＝222－1＋3 2－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 15．[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)相交于 A ， B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________． 15. 2 2 [解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且? ??x 21a 2＋y 21 b 2＝1，x 22a 2＋y 22 b 2 ＝1，两式作差可得x 21－x 22 a 2＝ －（y 21－y 2 2） b 2，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，所以y 1－y 2x 1－x 2 ＝－b 2a 2， 即k AB ＝－b 2a 2.由题意可知，直线AB 的斜率为－12，所以－b 2a 2＝－1 2，即a ＝2b .又a 2＝b 2 ＋c 2， 所以c ＝b ，e ＝ 2 2 . 15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y 2 4 ＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的 焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______． 15．12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对 称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝1 2 |BN |，所以|AN | ＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12. 20．、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形， 当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1过点P 且离心率 为 3. (1)求C 1的方程； (2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程． 20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0 y 0 ，切线方程为y －y 0 ＝－x 0y 0 (x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为????4x 0，0，????0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝1224x 024y 0＝8x 0y 0 .由x 20＋y 2 0＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)． 由题意知?????2a 2－2b 2＝1， a 2＋ b 2＝3a 2， 解得a 2 ＝1，b 2 ＝2，故C 1的方程为x 2 －y 2 2 ＝1. (2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21 ＋y 2 b 21＝1， 其中b 1>0. 由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2 b 21 ＝1， 解得b 21＝3， 因此C 2的方程为x 26＋y 2 3 ＝1. 显然，l 不是直线y ＝0. 设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由?????x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1， 得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此 ?????y 1＋y 2＝－2 3m m 2＋2 ， ① y 1y 2＝－3 m 2＋2 ， ② 由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得 ? ????x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3 m 2＋2 ， ③ x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m 2 m 2＋2 . ④ 因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →2BP → ＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0， 解得m ＝3 62－1或m ＝－6 2 ＋1. 因此直线l 的方程为 x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62 －1)y －3＝0. 6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33， 过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2 ＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 2 4 ＝1 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝3 3，所以c ＝1，b 2＝a 2 －c 2 ＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2 2 ＝1. 20．、、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离心率 为 32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233 ，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 20．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝3 2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意， 故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2 ＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>3 4时， x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1， 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线l 的距离d ＝ 2 k 2＋1 . 所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝1 2d 2|PQ |＝44k 2－34k 2＋1 . 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4 ＝4 t ＋4t . 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7 2 时等号成立，满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－7 2 x －2. 20．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦 点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3 4 ，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b . 20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ????c ，b 2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为1 2 . (2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0， 2)是线段MF 1的中点，故b 2 a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ?????2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即?????x 1＝－32c ， y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 24a 2＋1 b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2 代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1， 解得a ＝7，b 2 ＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 10．，[2014·山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2 a 2－ y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为3 2 ，则C 2的渐近线方程为( ) A. x ±2y ＝0 B. 2x ±y ＝0 C. x ±2y ＝0 D. 2x ±y ＝0 10．A [解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2 a .由e 1e 2 ＝a 2－b 2a 2a 2＋b 2 a ＝ 1－???? b a 2 3 1＋????b a 2＝32 ， 解得????b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22 x .故选A. 20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0，y ≥0) 和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为 32 . (1)求a ，b 的值； (2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程． 图1-5 20．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a ＝3 2及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1. (2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2 ＝1(y ≥0)． 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )， ∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8k k 2＋4 ， ∴点P 的坐标为? ?? ??k 2 －4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由? ??? ?y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2 ＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ → ＝－k (1，k ＋2)． ∵AP ⊥AQ ， ∴AP 2AQ ＝0，即－2k 2 k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0， ∵k ≠0， ∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8 3 . 经检验，k ＝－8 3符合题意， 故直线l 的方程为y ＝－8 3 (x －1)． 方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分． 20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0，y ≥0) 和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为 32 . (1)求a ，b 的值； (2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程． 图1-5 20．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a ＝3 2及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1. (2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2 ＝1(y ≥0)． 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )， ∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8k k 2＋4 ， ∴点P 的坐标为? ?? ??k 2 －4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由? ????y ＝k （x －1）（k ≠0）， y ＝－x 2 ＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ → ＝－k (1，k ＋2)． ∵AP ⊥AQ ， ∴AP 2AQ ＝0，即－2k 2 k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0， ∵k ≠0， ∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－8 3. 经检验，k ＝－8 3符合题意， 故直线l 的方程为y ＝－8 3 (x －1)． 方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分． 18．、[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ， 上顶点为B .已知|AB |＝ 3 2|F 1F 2 |. (1)求椭圆的离心率； (2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率． 18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)． 由|AB |＝ 3 2 |F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2 ＝a 2 －c 2 ，则c 2a 2＝1 2， 所以椭圆的离心率e ＝ 22 . (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2 c 2＝1. 设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B → ＝(c ，c )． 由已知，有F 1P →2F 1B → ＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上， 所以x 202c 2＋y 20 c 2＝1.② 由①和②可得3x 2 0＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点 P 的坐标为??? ?－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝2 3 c ，进而圆的半径r ＝ （x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝ 53 c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1| k 2＋1＝r ， 即 ??? ?k ????－2c 3－2c 3k 2 ＋1 ＝ 5 3 c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 21．、[2014·浙江卷] 如图1-6，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一 个公共点P ，且点P 在第一象限． (1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标； (2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 21．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由?????y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2 b 2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋ 2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为????－a 2 km b 2＋a 2k 2， b 2m b 2＋a 2k 2. 又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ? ???? －a 2k b 2＋a 2k 2，b 2 m b 2＋a 2k 2. (2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1 的距离d ＝????? ?－a 2k b 2＋a 2k 2＋b 2 k b 2＋a 2k 21＋k 2， 整理得d ＝a 2－b 2 b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2 . 因为a 2k 2＋b 2 k 2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2 ≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab ＝a －b ， 当且仅当k 2＝b a 时等号成立． 所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2 2 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径． 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知 24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） A ．( B ．( C ．( D ．( 【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 【2014，10】已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ） A ． 72 B ．52 C ．3 D ．2 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12 x ± D ．y ＝±x 【2013，10】已知椭圆E ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22 =1189 x y + 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ） 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 1、集合与简易逻辑 （2014）1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ (2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} （2012）1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 （2010）（1）已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{| 4,}B x x Z =≤∈,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} 2、平面向量 （2014）3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 (2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?＝__________. （2012）13、已知向量a ，b 夹角为45°，且1=a ，102=-b a ，则b =____________. （2011）（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ?? +>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ?? ->?∈ ??? 其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P 3、复数 （2014）2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则12z z =（ ） A. – 5 B. 5 C. - 4+ I D. - 4 – i (2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i （2012）3、下面是关于复数z= 2 1i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i高三数学解析几何专题
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