数学建模方法与分析部分习题解答第三版
P38
题2
2(a)
第一步：提出问题
变量：x1=蓝鲸的数量
x2=长须鲸的数量
r1=蓝鲸种群的内禀增长率
r2=长须鲸种群的内禀增长率
K1=蓝鲸的最大可生存的种群数量
K2=长须鲸的最大可生存的种群数量
a1=竞争对蓝鲸的影响
a2=竞争对长须鲸的影响
t=时间（年）
Q=鲸鱼总数
假设: dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2 dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2
x1>=0
x2>=0
dx1dt>=0
dx2dt>=0
Q=x1+x2
目标：求在满足约束条件下Q的最大值
第二步：建立模型
五步法和有约束的最优化模型
第三步：推导模型公式
设目标函数为
y=f(x1, x2)=x1+x2
约束条件为
dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2>=0
dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2>=0
x1>=0
x2>=0
即求解y满足以上条件的最大值
第四部：求解模型
由y=f(x1, x2)=x1+x2
得▽f=(1, 1)
由
g1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2
g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2
得
▽g1(x1, x2)=(1/20 - x2/100000000 - x1/1500000, -x1/100000000)▽g2(x1, x2)=(-x2/100000000, 2/25 - x2/2500000 - x1/100000000) 设λ1, λ2为拉格朗日乘子，则在极值点满足
▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2
带入解得
Matlab求解
clc;
clear;
syms x1x2w v
g1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2
g11=diff(g1,x1)
g12=diff(g1,x2)
g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2
g21=diff(g2,x1)
g22=diff(g2,x2)
s=solve(w*g11+v*g21-1,w*g12+v*g22-1,g1,g2)
λ1= -20.6522
λ2= -12.3567
x1=138210
x2=393090
因此y=f(x1, x2)=x1+x2=531300
第五步：回答问题
由五步法和有约束的最优化模型解得当满足种群数量是可行的可持续条件时，鲸鱼总数最大的种群数量为531300，此时蓝鲸数量为138210，长须鲸数量为393090.
2（b）考虑最优种群数量x1, x2对内禀增长率r1的灵敏性
在模型中将此参量设为变量则有
y=f(x1, x2)=x1+x2
得▽f=(1, 1)
此时
g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2
▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2
解得λ1= -475/(500*r1 - 2)
λ2=-(2000*r1 - 3)/(157*r1)
x1=(6000000000*r1 - 24000000)/(40000*r1 - 3)
x2=(157*********r1)/(40000*r1 - 3)
则计算出
dx1/dr1=
6000000000/(40000*r1-3)-(40000*(6000000000*r1-24000000))/(40000 *r1 - 3)^2
dx2/dr1
=157********/(40000*r1-3)- (628000000000000*r1)/(40000*r1 - 3)^2 在点x1=138210, x2=393090, r1=0.05, 有
S(x1, r1)=dx1/dr1*r1/x1=236210*0.05/138210=0.0855
S(x2, r1)=dx1/dr1*r1/x2=11810*0.05/393090=- 0.0015
2 (c)考虑最优种群数量x1, x2对环境承受力K1, K2灵敏性
在模型中将此参量设为变量则有
y=f(x1, x2)=x1+x2
得▽f=(1, 1)
此时
g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2
▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2
解得λ1= -475/23
λ2=-(20*K1 - 100000000)/(K1 - 8000000)
x1= - (92000000*K1)/(K 1– 100000000)
x2= (5000000*K1 - 40000000000000)/(K1 - 100000000)
则计算出
dx1/dK1=(92000000*k1)/(k1- 100000000)^2 - 92000000/(k1 - 100000000)
dx2/dK1=5000000/(k1-100000000)-(5000000*k1 - 40000000000000)/(k 1- 100000000)^2
在点x1=138210, x2=393090, K1=150000, 有
S(x1, K1)= dx1/dK1*K1/x1= 0.9228*150000/138210=1.0015
S(x2, K1)= dx2/dK1*K1/x2= -0.0461*150000/393090= -0.0176
2(d)
考虑最优种群数量x1, x2对竞争强度a灵敏性
在模型中将此参量设为变量则有
y=f(x1, x2)=x1+x2
得▽f=(1, 1)
由
g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-a*x1*x2
▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2
解得λ1= -(100000000*a - 20)/(8000000*a - 1)
λ2= -(75000000*a - 25)/(3750000*a - 2)
x1= (1200000000000*a - 150000)/(15000000000000*a^2 - 1)
x2=(750000000000*a - 400000)/(15000000000000*a^2 - 1)
则计算出
dx1/da=1200000000000/(15000000000000*a^2-1)-(30000000000000*a *(1200000000000*a-150000))/(15000000000000*a^2 - 1)^2
dx2/da=750000000000/(15000000000000*a^2-1)-(30000000000000*a* (750000000000*a - 400000))/(15000000000000*a^2 - 1)^2
在点x1=138210, x2=393090, a=10^(-8), 有
S(x1, a)=dx1/da*a/x1= -0.0840
S(x2, a)=dx2/da*a/x2=-0.0161
当出现某一种群灭绝时，a=0，此时以上解出的种群数量不是最优解，此时最优解为X1max=150000, X2max=400000