最新2021年超全中考数学备考之相似三角形

中考数学备考之相似三角形

近5年的广州中考数学在解答题中没有直接明了考查相似三角形的判定或是性质，但是包含相似三角形的考点的题目确实不少，往往都是较综合的题目，结合相似三角形的判定与性质解题。于是，相似三角形往往就成了解决综合题的关键〝工具〞之一。接下来呈现给大家的将是这〝工具〞的〝说明书〞，探讨相似三角形在中考数学中应用。

一、相似三角形常考图形

在中考数学相似三角形的考查中，对于相似三角形的图形也有重点考查图形，以下即为常见于各地中考的相似三角形基本图形。

1.平行型

〝A字型〞〝8字型〞

2.直角形

子母型〔双垂直〕三垂直

3.〝A字型、8字型〞变形

4.黄金三角形

二、相似三角形考点分析

相似三角形的解答题中如果单纯考查相似三角形的判定和性质，那么难度往往不大，而如果结合了四边形、圆或是函数一起考查，那么由于知识点涵盖得多，难度就会骤增。下文将以典型中考真题为例讲解相似三角形的各种考查题型。

1.相似三角形的判定和性质

【例1】〔2018肇庆23〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB 的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE、

〔1〕求证：∠CBE=36°；〔2〕求证：AE2=AC?EC、

【解析】此题为利用〝黄金三角形〞证明相似，再运用相似三角形对应边成比例解决几条线段长乘积相等的问题。〔1〕由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可求出∠ABC=∠C，易求解．〔2〕先由〔1〕的结论可证得△ABC∽△BEC，根据比例即可证明．

【答案】证明：〔1〕∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB ，

∴∠EBA=∠A=36°．

∵AB=AC ，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°．

∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°．

〔2〕由〔1〕得，在△BCE 中，∠C=72°，∠CBE=36°，

∴∠BEC=∠C=72°，∴BC=BE=AE 、

在△ABC 与△BEC 中，∠CBE=∠A ，∠C=∠C ，

∴△ABC ∽△BEC 、∴EC

BC BC AC 即BC 2=AC?EC、故AE 2=AC?EC、

2. 相似三角形与四边形

〔1〕相似三角形与平行四边形〔含矩形、菱形、正方形〕：

〔2〕相似三角形与梯形

〔3〕直角三角形与矩形〔含正方形〕：

以上为相似三角形与四边形结合的常考图形，下面将例题形式展示。

【例2】 〔2018广州10〕如图，在?ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平

分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=42，那么△CEF 的周长为〔 〕

A 、8

B 、9.5

C 、10

D 、11.5

【解析】此题为典型的相似三角形与平行四边形的结合。在?ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，可得△ADF 是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE 是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG 中，BG ⊥AE ，AB=6，BG=42，可得AG=2，又△ADF 是等腰三角形，BG ⊥AE ，所以AE=2AG=4，所以△ABE 的周长等于16，又由?ABCD 可得△CEF ∽△BEA ，相似比为1：2，所以△CEF 的周长为8，因此选A 。

【答案】A

【例3】 〔2018巴中〕如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 是AD 的

中点．连接BM 交AC 于N ．BM 的延长线交CD 的延长线于E 、

〔1〕求证：BC

AM EB EM ； 〔2〕假设MN=1cm ，BN=3cm ，求线段EM 的长．

【解析】此题为相似三角形与梯形结合考查。〔1〕由于AD ∥BC ，易证得△MED ∽△BEC ；得

BC

D M EB EM =；AM=MD ，代换相等线段后即可得出此题要证的结论．〔2〕按照〔1〕的方法，可由AM ∥BC ，得出EB

EM BN MN BC AM ==，再联立〔1〕得出的比例关系式，可列出关于EM 的方程，即可求得EM 的长．

【答案】〔1〕证明：∵AD ∥BC ，∴△MED ∽△BEC ， ∴BC

D M EB EM =， 又∵M 是AD 的中点，

∴AM=MD ， ∴BC

AM EB EM =． 〔2〕解：∵△AMN ∽△CBN ， ∴EB EM BN MN BC AM ==，∴3

1EB EM = 又∵EB=ME+MB ，

MB=BN+NM=4cm ， ∴3

1EM 4EM =+∴EM=2cm ． 【例4】 〔2018广东22〕正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上

的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．

〔1〕证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；

〔2〕第〔2〕题略；

〔3〕当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值．

【解析】〔1〕为〝三垂直〞模型直接应用，了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM 和∠NMC 都是∠AMB 的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．

〔3〕了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM 和∠AMN ，如果要想使Rt △ABM ∽Rt △AMN ，那么两组直角边就应该对应成比例，即

BM AB MN AM =，根据〔1〕的相似三角形可得出

MC

AB MN AM =，因此BM=MC ，M 是BC 的中点．即x=2． 【答案】

〔1〕证明：在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，

∵AM ⊥MN ，

∴∠AMN=90°，

∴∠CMN+∠AMB=90°．

在Rt △ABM 中，∠MAB+∠AMB=90°，

∴∠CMN=∠MAB ，

∴Rt △ABM ∽Rt △MCN ．

〔3〕解：∵∠B=∠AMN=90°，

∴要使△ABM ∽△AMN ，必须有

MN BM AM AB =， 由〔1〕知

MC AB MN AM =， ∴MC

AB BM AB =， ∴BM=MC ，

3. 相似三角形与圆

以上两图常见于相似三角形与圆结合考查的题目中，左图应用到同弧所对的圆周角相等，右图实际上是圆内部的一个双垂直图形，利用直径所对的圆周角为直角。接下来请看例题。

【例5】 〔2007肇庆22〕如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是AB 边上的

高，AE 是⊙O 的直径．求证：AC?BC=AE?CD、

【解析】此题考查同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角为直角。看到要求边长的乘积等量关系，第一反应即是将乘法转换成边的比例。于是将AC?BC=AE?CD 可转变为

CD

AC BC AE =，找到此4条边对应的三角形〔连接EC 〕，证明△AEC ∽△CBD 即可。

【答案】证明：连接EC ，

∴∠B=∠E 、

∵AE 是⊙O 的直径，

∴∠ACE=90°．

∵CD 是AB 边上的高，

∴∠CDB=90°．

在△AEC 与△CBD 中，

∠E=∠B ，∠ACE=∠CDB ，

∴△AEC ∽△CBD 、 ∴CD

AC BC AE =． 即AC?BC=AE?CD、

【例6】 〔2018黔东南州〕如图，以△ABC 的边BC 为直径作⊙O 分别交AB ，

AC 于点F ．点E ，AD ⊥BC 于D ，AD 交于⊙O 于M ，交BE 于H ．

求证：DM 2=DH?DA、

【解析】此题考查的是双垂直模型在圆中的应用，看到有直径，有垂直

直径的线段和想到这个模型。要证明DM 2=DH?DA，即要DA

DM DM DH =，但此比例式并非两个相似三角形中对应线段比例式，故利用双垂直模型进

行转换，先连接DM 、CM =

DC

DH =，BD·CD=DH·DA，再用等量代换即可。

【答案】证明：连接BM ，CM ，

∵BC 为⊙O 直径，∴∠BMC=∠BEC=90°，

∵MD ⊥BC ，

∴∠C+∠CMD=90°，

∵∠CMD+∠BMD=90°，

∴∠MCD=∠BMD ，∠MDC=∠MDB=90°，

∴△BDM ∽△MDC ，∴CD MD MD BD =，∴MD 2=BD?CD， ∵∠AHE=∠BHD ，∠AEH=∠HDB=90°，

∴∠DBH=∠DAC ，

∠BDH=∠ADC=90°，

∴△BDH ∽ADC ，∴DC

DH AD BD =， ∴BD?CD=AD?DH，∴DM 2=DH?DA、

4. 相似三角形与函数

相似三角形与函数结合，往往难度较大，出现在中考较靠后的解答题中，也是中考考察的一大专题。本文暂只举两个例子说明。

【例7】 〔2018广州23〕反比例函数y ＝8m x

-(m 为常数)的图象经过点A 〔－

1，6〕．

〔1〕求m 的值；

〔2〕如图9，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x

-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．

【解析】此题难度不大，为反比例函数与相似三角形结合，考查的是〝A 字型〞。出现AB ＝2BC ，实际上就是边长的比例关系，于是分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，得到相似三角形从而求解。

【答案】解：〔1〕∵图像过点A(－1，6)，861

m -=-．∴m=2； 〔2〕分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，

由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ，

∴△CBE ∽△CAD ，∴CB BE CA

AD =． ∵AB ＝2BC ，∴13CB CA

= ∴136

BE =，∴BE ＝2． 即点B 的纵坐标为2

当y ＝2时，x ＝－3，易知：直线AB 为y ＝2x ＋8，

∴C(－4，0)

【例8】 如图，抛物线的方程C 1：y= -m

1〔x+2〕〔x-m 〕〔m ＞0〕与x 轴相交

于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧． B

A

O C y

x

〔1〕假设抛物线C 1过点M 〔2，2〕，求实数m 的值；

〔2〕〔3〕略；

〔4〕在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点

的三角形与△BCE 相似？假设存在，求m 的值；假设不存在，请说明理

由．

图1 图2

【解析】〔1〕将点〔2，2〕的坐标代入抛物线解析式，即可求得m 的值；

〔4〕本问要使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似，没说明对应顶点，顾要分类讨论，又由于根据条件，∠BEC 为钝角，当点F 在第四象限的抛物线上时，∠BCF 为钝角，故∠BEC=∠BCF ，为对应角。于是本问需分两种情况进行讨论：

①当△BEC ∽△BCF 时，如答图1所示，有BF

BC BC BE =．此时可求得m=22+2； ②当△BEC ∽△FCB 时，如答图2所示，有

BC EC BF BC =．此时可以得到矛盾的等式，故此种情形不存在．

【答案】解：〔1〕依题意，将M 〔2，2〕代入抛物线解析式得：

〔4〕①当△BEC ∽△BCF 时，如图1所示．

那么BF

BC BC BE =，∴BC 2=BE?BF． 由〔2〕知B 〔﹣2，0〕，E 〔0，2〕，即OB=OB ，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°， 作FT ⊥x 轴于点F ，那么BT=TF ．

∴可令F 〔x ，﹣x ﹣2〕〔x ＞0〕，又点F 在抛物线上，

∴﹣x ﹣2=﹣m 1〔x+2〕〔x ﹣m 〕，∵x+2＞0〔∵x ＞0〕，

∴x=2m ，F 〔2m ，﹣2m ﹣2〕．

此时BF=1)(m 222)m 2(2)m (222+=+-++，BE=22，BC=m+2，

又BC 2=BE?BF，∴〔m+1〕2=22?22〔m+1〕， ∴m=2±22，

∵m ＞0，∴m=22+2．

②当△BEC ∽△FCB 时，如图2所示． 那么BC

EC BF BC =，∴BC 2=EC?BF． 同①，∵∠EBC=∠CFB ，△BTF ∽△COE ，

m 2OC OE BT TF ==， ∴可令F 〔x ，m

2-〔x+2〕〕〔x ＞0〕 又点F 在抛物线上，∴m 2-

〔x+2〕=﹣m

1-〔x+2〕〔x ﹣m 〕， ∵x+2＞0〔∵x ＞0〕， ∴x=m+2，∴F 〔m+2，m

2-〔m+2〕〕，EC=4m 2+，BC=m+2， 又BC 2=EC?BF，∴〔m+2〕2=4m 2+?222

m 4)4(m ）22（m ++++

整理得：0=16，显然不成立．

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=m=2

2+2．

以上为相似三角形板块与中考结合考法的简要说明，希望对大家复习能够有所帮助。