狭义相对论作业答案
第六章 狭义相对论基础（2014）
一．选择题
1、（基础训练1）宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞
船尾部发出一个光讯号，经过?t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为( ).(c 表示真空中光速)
(A) c ·?t (B) v ·?t (C) 2
/1(v /)c t c ??-(D) 2)/(1c t c v -???
解答：[A].
飞船的固有长度为飞船上的宇航员测得的长度，即为c ·?t 。 2、（基础训练2）在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀速直
线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速)
(A) (4/5) c ． (B) (3/5) c ． (C) (2/5) c ． (D) (1/5) c ． 解答：[B].
()
222
002
4311551/t v t v c c
c t v c ???????
?=
?=-?=-= ? ? ????????
-
3、（基础训练3） K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K ＇系中，与O 'x '轴成 30°角．今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是：
(A) (2/3)c ． (B) (1/3)c ． (C) (2/3)1/2c ． (D) (1/3)1/2c ．
解答：[C].
K ＇系中：00'cos30;'sin30x y l l l l ??
==
K 系中：()()2
2
'1/tan 45'1/1/32/3
x x y y l l v c l l v c v =-==?-=?=
4、（自测提高3）设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K 倍，则其运动速度的大小为 (以c 表示真空中的光速)
(A) 1-K c ． (B) 21K K
c
-．
(C) 12-K K c
． (D) )2(1
++K K K c
解答：[C].
1
11122
02
0-=?=-=?
-=
K K c
v K c v E E c v E E )/()/(总能量：
二．填空题
5、（基础训练7）一门宽为a ．今有一固有长度为l 0 (l 0 > a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿
其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为_______．
解答：[()01/c a l -].
门外的观察者测得杆的长度()
2
2
0'1(/)1/l l u c a
u c a l =-≤?≥-
6、（基础训练8）(1) 在速度=v ____________情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍．(2) 在速度=v ____________情况下粒子的动能等于它的静止能量．
解答：
[
2
；2
c ]. (1)
00222
p mv m v m m v c ==?==
?=
(2)c v c v m m m c m c m mc E k 2
3122
02
0202=
?-=
=?=-=)/( 7、（自测提高5）地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 0.90c 逆向飞行．其中一艘飞船测得另一艘飞船速度的大小v ′=______．
解答：[0.994c ].
222
2()220.9'0.994()1/10.91v v v c
v c v v c v c --?=
===-++-
8、（自测提高8）已知一静止质量为m 0的粒子，其固有寿命为实验室测量到的寿命的1/n ，则此粒子的动能是______．
解答：[2
0(1)n m c -].
01
t t t n
??=
?=
=
? 22
2
22000(1)k E mc m c m c n m c =-=
=-
9、（附录B ：11）两惯性系中的观察者O 和'O 以c 60.的相对速度互相接近。如果O 测得两者的初始距离是20m ，'O 测得两者经过='t ? s 后相遇.
解答：O 系中测得的相遇时间为：c v x t 60./20/==?? 考虑't ?是相对于'O 静止的'O 系中测得的时间间隔，为固有时间，而t ?为相对于'O 运动的O 系中测得的时间间隔，为膨胀时间，因此，
s c v t t 8210898-?=-=.)/(1'??
三．计算题
10、（基础训练10）两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是v ．在飞船A 中有一边长为a 的正方形，飞船A 沿正方形的一条边飞行，问飞船B 中的观察者测得该图形的周长是多少？
解答：
2
22
22
2222()22'()1/1'/224/()v v v vc u v v c c v v c
u c C a ac c v β--===-++-==+=+；
11、（基础训练13）要使电子的速度从v 1 =1.2×108 m/s 增加到v 2 =2.4×108 m/s 必须对它做多少功？
(电子静止质量m e ＝9.11×10-
31 kg) 解答：
2212;
E E =
=
21421 4.7210()
e A E E E m c J -=?=-=-
=?
12、（基础训练14）跨栏选手刘翔，在地球上以12.88s 时间跑完110m 栏，在飞行速度为0.98c 的飞船中观察者观察，试求（1）刘翔跑了多少时间，（2）刘翔跑了多长距离？ 解答：
2121110()
12.88()x x x m t t t s ?=-=?=-=
280.9812.88110'64.7()v t x t s ?-
?-??===
8'
'1021
' 1.9110()
'x x x m x ?=-=
=
=-?负号表示运动员沿轴反方向跑动。
13、（基础训练15）已知μ子的静止能量为105.7MeV ，平均寿命为2.2?10-6
s ，试求动能为150MeV 的μ子的速度v 和平均寿命τ。
解答：
2
2
2
2
000201)0.91k k m c E mc m c m c m c E v c =-=?=+?=== 66' 5.3110()t s --?=
=
=?
14、（自测提高12）飞船A 以0.8c 的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以0.6c 的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解答：以地面为K 系，飞船A 为K ˊ系，以正东为x 轴正向；则飞船B 相对于飞船A 的相对速度
220.60.8 1.4
'0.9460.810.80.6
1(0.6)1B A B A B v v c c v c c v c
c v c c
----=
===-+?---
' 6.17()t s ?==
=
15、（自测提高18）火箭相对于地面以c v 60.=（c 为真空中光速）匀速向上飞离地球，在火箭发射s t 10='?后（火箭上的钟）
，该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为c v 30.1=，问火箭发射后多长时间（地球上的钟），导弹到达地球？计算中假设地面不动。
解答：火箭发射s t 10='?（火箭上的钟，原时）后发射导弹，此时，地球上经历的时间为：
s c v t t 51212.)/(/'=-=??
以地球为参考系，火箭高度m t v H 9
10252?==.?
导弹运动到地面需要时间（地球上的钟）s v H t 2511==/? 因此，火箭发射s t t T 537.'=+=??后，导弹到达地球。 附加题：
16、（自测提高14） (1) 质量为 m 0 的静止原子核（或原子）受到能量为 E 的光子撞击，原子核（或原子）将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度（反冲速度）以及静止质量各为多少？(2) 静
止质量为 0
m '的静止原子发出能量为 E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大？ 解答：
(1)设合并系统的速度为 v ，质量为 M ，静止质量为 M 0 。由动量守恒和能量守恒得：
222002200;/m c E Mc m c E Ec
v M m c E c p E c Mv M m ?+=+?===?+==??===
(2) 设静止质量为0
M '。由动量守恒和能量守恒得：
()
22
00
//m c E M c p E c M v M m m M M ?''+-=??
'''==?==??''=??