(常考题)人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题

1．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式(

)

2

(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．31x -<<

B ．1x <-或3x >

C ．3x <-或1x >

D ．1x ≠-

2．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆

O （O 为坐标原点）的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.则下列函数中一定是“优美函数”的为（ ）

A ．1()f x x x

=+

B ．1()f x x x

=-

C ．(

)

2

2()ln 1f x x x =++

D ．()

2

()ln 1f x x x =++

3．函数2()1sin 12x

f x x ??

=-

?+??

的图象大致形状为（ ）． A ． B ．

C ．

D ．

4．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：

①()10f =；

②()()11f x f x -=-+； ③函数()f x 的图象关于原点对称；

④函数()f x 的图象关于点()1,0对称；

其中，正确结论的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(,1)-∞

D ．(1,)+∞

6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()1f -=

（ ） A ．2

B ．1

C ．-2

D ．-1

7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =，且对任意的正数a 、b （a

b ），有

()()0f a f b a b -<-，则不等式()

202

f x x -<-的解集是（ ）

A ．()()1,12,-+∞

B ．()(),13,-∞-+∞

C ．()

(),13,-∞+∞ D ．()

(),12,-∞-+∞

8．已知函数()()

2

lg 1f x x x =-+，若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小

值，则实数t 的取值范围为（ ）． A ．3111,,2222????

-

-- ? ?????

B ．1113,,2222????

-

? ? ?????

C ．11,22??- ???

D ．13,22?? ???

9．已知函数12

12log ,18()2,12x x x f x x ?

+≤

=??≤≤?

，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A ．30,2

?? ??

?

B ．70,4

?? ??

?

C ．90,8

?? ??

?

D ．150,

8??

???

10．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）

(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则

(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）

A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>

B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>

C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>

D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>

11

．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．()f x =2

()f x =

B ．,0

(),0x x f x x x ≥?

=?-

与()||g t t =

C ．(

)f x =

()g x =．()

1f x x 与2

()1x g x x

=-

12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()1212

0f x f x x x ->-；

②x ?∈R ，都有()()8f x f x +=.

若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．b c a <<

D ．c b a <<

13．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ） ①幂函数()k y

x k Q =∈的图象与函数1

y x =的图象至少有两个交点；

②函数()30x

y k k =?>（k 为常数）的图象可由函数3

x

y =的图象经过平移得到；

③函数11(0)312x

y x x ??=+≠

?-??

是偶函数； ④函数21

lg ||

x y x +=无最大值，也无最小值；

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

14．关于函数1()lg 1x

f x x

-=+，有下列三个命题： ①对于任意(1,1)x ∈-，都有()()f x f x -=-；

②()f x 在(1,1)-上是减函数；

③对于任意12,(1,1)x x ∈-，都有12

1212

()()()1x x f x f x f x x ++=+； 其中正确命题的个数是（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

15．若()2

1f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4

-∞

B ．1(0,]4

C ．1[0,]4

D ．1

[,)4

+∞

二、填空题

16．已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，则使不等式

(1)

0f x x +≤成立的x 的取值范围是_________. 17．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式

(1)

01

f x x +≥-的解集为___________. 18．函数2

2y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________． 19．已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数x ，有

()34x

f f x ??-=??，则满足

4()0f x x

->的x 的取值范围为__________. 20．已知函数y =f （x ）和y =g （x ）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：

①方程f [g （x ）]=0有且仅有6个根 ②方程g [f （x ）]=0有且仅有3个根 ③方程f [f （x ）]=0有且仅有5个根 ④方程g [g （x ）]=0有且仅有4个根 其中正确的命题是___

21．已知()f x =2243,0

23,0

x x x x x x ?-+≤?--+-在[a ，a ＋1]上恒成

立，则实数a 的取值范围是________.

22．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，

()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8

()9

f x ≥-，则m 的取值范围是_______

参考答案

23．已知函数()()22,0

log 11,0ax x f x a x x -≤??=??

?++>????的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范

围是________.

24．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)(4)f a f -<，则a 的取值范围为____．

25．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若

()

()

0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 26．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2

()121,(,)

2x x f x x x π?

∈??=??-∈+∞??

，则不等式

1

(1)2

f x -≤

的解集为__________．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

由(4)()0f x f x -+=得到()f x 关于(2,0)对称，再由()f x 在[)2,+∞单调递减得到()f x 在R 上单调递减，利用单调性可得答案. 【详解】

(4)()0f x f x -+=，则()f x 关于(2,0)对称，

因为()f x 在[)2,+∞单调递减，所以()f x 在R 上单调递减， 所以(1)(3)f x f x +=--，

由(

)

2

(1)0f x x f x +++<得(

)

2

(3)0f x x f x +--<， 所以(

)

2

(3)f x x f x +<-，

所以23x x x +>-，解得1x >或3x <-. 故选：C ． 【点睛】

思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路： （1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间； （2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；

（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.

2．D

解析：D 【分析】

根据题意可知优美函数的图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】

根据优美函数的定义可得优美函数的图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，

对于选项A ：1

()f x x x

=+

的定义域为{}|0x x ≠，所以不过坐标原点，不能将周长和面积同时平分，故选项A 不正确；

对于选项B ：1

()f x x x

=-

的定义域为{}|0x x ≠，所以不过坐标原点，不能将周长和面积同时平分，故选项B 不正确；

对于选项C ：(

)

2

2()ln 1f x x x =+

+定义域为R ，()

()22()ln 1f x x x f x -=++=，

是偶函数，图象关于y 轴对称，故选项C 不正确；

对于选项D ：(

2

()ln 1f x x x =+定义域为R ，

((22()()ln 1ln 1ln10f x f x x x x x -+=-++++==，所以()()f x f x -=-，

所以(

2

()ln 1f x x x =+图象过坐标原点，图象关于坐标原点对称，是奇函数，符合优美函数的定义，选项D 正确，

故选：D 【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键点是由题意得出优美函数具有的性质：图象过坐标原点，是奇函数图象关于原点对称.

3．B

解析：B 【分析】

首先判断函数的奇偶性，再判断0πx <<时，函数值的正负，判断得选项. 【详解】

因为2()1sin 12x f x x ??=- ?+??，所以12()sin 12

x

x f x x -=?+， ()()()2221sin 1sin 1212x x x

f x x x -?????

-=--=-- ? ?++????

()()21221sin 12x x x ??

+- ?=-- ?+??

221sin 1sin 12

12x

x x x ????=--=- ? ?++????

()f x =，

所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除C ，D ， 令()0f x =，则

2

1012x

-=+或sin 0x =，解得()x k k Z π=∈，而0πx <<时，120x -<，120x +>，sin 0x >，此时()0f x <.故排除A.

故选：B ． 【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

4．C

解析：C 【分析】

令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】

令()()1g x f x =+，

①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即

()()11f x f x -=-+，故正确；

因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，

又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，

所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】

结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：

（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.

5．C

解析：C 【分析】

先根据题意得幂函数解析式为3

()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】

解：因为幂函数()(1)n

f x a x =-的图像过点(2,8)， 所以1128n

a -=??

=?，所以23

a n =??=?，所以3

()f x x =， 由于函数3

()f x x =在R 上单调递增，

所以(2)(12)212f b f b b b -<-?-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C.

【点睛】

本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.

6．C

解析：C 【分析】

由()f x 为奇函数，结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式，进而求

()1f -即可.

【详解】

∵()f x 在R 上是奇函数， ∴令10x -≤≤，则[0,1]x -∈， 由题意，有()31()x

f x f x --=-=-，

∴1()13x f x =-，故()1

1

1123f --=-=-， 故选：C 【点睛】

关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.

7．C

解析：C 【分析】

易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，令2t x =-，将不等式

()

0f t t

<等价为()00t f t >??

0t f t ?

，进一步求出答案. 【详解】

∵对任意的正数a 、b （a

b ），有

()()

0f a f b a b

-<-，

∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减， ∴()f x 在(),0-∞上单调递减. 又∵()10f =，∴()()110f f -=-= 令2t x =-

所以不等式()

0f t t <等价为()00t f t >??

?

∴1t >或1t <-， ∴21x ->或21x -<-，

∴3x >或1x <，

即不等式的解集为()(),13,-∞?+∞. 故选：C. 【点睛】

本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点，考查逻辑思维能力，属于基础题.

8．A

解析：A 【分析】

根据函数的奇偶性和单调性，求出最小值取得的条件，结合开区间位置求解参数的取值范围. 【详解】

由题2

10x x -+>恒成立，所以()(

)

2

lg 1f x x x =-+定义域为R ，

()()()()2

lg 1f x x x f x -=---+=，所以()()2

lg 1f x x

x =-+为定义在R 上的偶函

数，

当2

2

0,11x y x x x x ≥=-+=-+在10,2

??

????单调递减，在1

,2??+∞???

?

单调递增，

所以()()2

lg 1f x x x =-+在10,2??????

单调递减，在1,2??+∞????单调递增， 在1,2??-∞- ???单调递减，在1,02??-????单调递增，1122f f ????

=- ? ?????，

所以函数()()

2

lg 1f x x x =-+在12

x =

和1

2x =-处均取得最小值，

若函数()f x 在开区间()(),1t t t +∈R 上恒有最小值， 则112t t <-

<+或1

12

t t <<+， 解得：3111,,2222t ????∈--- ? ?????

故选：A

9．B

解析：B 【分析】

根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<，可得

1

1,128

a b ≤<≤≤且12

2log 2b a +=，令12

2log 2b a k +==，则24k <≤，然后用k 表示,a b ，再作差，构

造函数，并利用单调性可求得结果.

因为函数()f x 在1

[,1)8

上递减，在[1,2]上递增，又()()()f a f b a b =<，

所以11,128

a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=，令

122log 2b a k +==，则24k <≤， 所以2

12k a -??= ???

，2log b k =，

所以2

21log 2k b a k -??-=- ???

，

设函数2

21()log 2x g x x -??=- ???

，(2,4]x ∈，

∵()g x 在(]2,4上单调递增， ∴(2)()(4)g g x g <≤，即70()4

g x <≤， ∴70,4

b a ??-∈ ??

?

，

故选：B ． 【点睛】

关键点点睛：根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<得到

1

1,128

a b ≤<≤≤，且12

2log 2b a +=是解题关键.属于中档题.

10．B

解析：B 【分析】

根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小． 【详解】

解：∵函数()f x 满足：

(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称；

(2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；

12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；

故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>.

【点睛】

本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．

11．B

解析：B 【分析】

根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】

对于A 中，函数()f x =

R ，函数2

()f x =的定义域为[0,)+∞，两函

数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于B 中，函数,0(),0x x f x x x ≥?=?-

(),0t t g t t t t ≥?==?-

定义域与对应法则都相同，所

以两函数是同一函数；

对于C 中，函数()f x =

210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，

即函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，

函数()g x =10

10x x +≥??-≤?

，解得11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为

[]1,1-，

两函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于D 中，函数()

1f x x 的定义域为R ，函数2

()1x g x x

=-的定义域为

(,0)(0,)-∞+∞，

两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.

12．D

解析：D 【分析】

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】

解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有

()()1212

0f x f x x x ->-可得()f x 在

[]4,8上单调递增，

根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，

()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-，

故a b c >>. 故选：D. 【点睛】

本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

13．A

解析：A 【分析】

①举反例说明命题为假；

②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；

③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真； ④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假． 【详解】 解：①取幂函数2y x ，显然与1y x

=仅有一个交点，所以①不正确；

②函数()30x

y k k =?>（k 为常数）的图象可由函数3

x

y =的图象经过伸缩得到，所以

②不正确；

③设()y f x =，由()()()

311

1,0312231x

x

x

x f x x x +??=+=≠ ?--??，定义域关于原点对称， 则()()()

()

()

()3131231231x x x x x x f x f x ---++-=

=

=--，()f x ∴是偶函数，故③正确；

④函数215lg lg ||||||x y x x x ??+==+ ??

?， 而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21

lg ||

x y x +=有最小值无最大值，所以④不正

确． 故选：A ． 【点睛】

本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.

14．D

解析：D 【分析】

当(1,1)x ∈-时，函数1()1x

f x lg

x

-=+恒有意义，代入计算()()f x f x -+可判断①；利用分析法，结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则，可判断②；代入分别计算12()()f x f x +和12

12

(

)1x x f x x ++，比照后可判断③． 【详解】 解：

1()1x

f x lg

x

-=+，当(1,1)x ∈-时， 1111()()()101111x x x x

f x f x l

g lg lg lg x x x x

+-+--+=+===-+-+，故()()f x f x -=-，即①正确； 12()(1)11x f x lg

lg x x -==-++，由211y x

=-+在(1,1)-上是减函数，故()f x 在(1,1)-上是减函数，即②正确； 12121212

1212121212

11111()()()11111x x x x x x x x f x f x lg

lg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++； 12

1212121212121212

12

111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-

+++--==++++++

+，即③正确 故三个结论中正确的命题有3个 故选：D ． 【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值，复合函数的单调性，对数的运算性质等知识点，属于中档题．

15．C

解析：C 【分析】

先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】

当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；

当0a ≠时，则()2

1f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对

称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ??

∈ ???

；综上：a 的取值范围是1[0,]4， 故选C. 【点睛】

本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2

f x ax bx c =++的函

数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.

二、填空题

16．【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图 解析：[)()2,00,-?+∞

【分析】

先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，画出()f x 的草图，结合图象对(1)

0f x x

+≤进行等价转化，解不等式即可. 【详解】

由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数，函数()1y f x =+的图象可看作是由

()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的，作出()y f x =和()1y f x =+的大致图

象，如图所示.

不等式

(1)

0f x x

+≤可化为： ()0

10x f x

+≥?

，当0x <时()10f x +≥，观察图象，得20x -≤<； (

)0

10x f x >??

+≤?，当0x >时()10f x +≤，观察图象，得0x >； 所以不等式的解集为[)()2,00,-?+∞ 故答案为：[)()2,00,-?+∞. 【点睛】

常见解不等式的类型：

(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．

17．【分析】先由定义域为R 的奇函数在区间上为严格减函数且画出的草图结合图像对进行等价转化解不等式即可【详解】是定义域为R 的奇函数且在区间

上为严格减函数有∴在区间上为严格减函数且可作出的草图：不等式可化为 解析：[]3,1--

【分析】

先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出

()f x 的草图，结合图像对

(1)

01

f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可. 【详解】

()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，

∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：

不等式

(1)

01

f x x +≥-可化为： ()1010x f x ->??

+≥?或()10

10x f x -

对于()1010x f x ->??+≥?

，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；

对于()1010x f x -

，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤

解得：31x -≤≤- 所以不等式

(1)

01

f x x +≥-的解集为[]3,1--. 故答案为：[]3,1-- 【点睛】

常见解不等式的类型：

(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；

(3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．

18．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取

解析：3

2

-

【分析】

22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，

(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2

a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出

b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值． 【详解】

设2

2

()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，

2()2g a a a c =--，

()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．

当02a <<时，

10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，

10c --<，若1c c --≤-，即1

12c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，

13222

b a

c a -=-->

-=-， 若1c c -->-，1

2

c >-

时，(1)111b g c c c ==--=+=+，13

11222

b a

c a -=+->--=-，

若2a ≥时，

若2

12c a a c --≤--，即2212

a a c --≤时，22

()22b g a a a c a a c ==--=--，

222

2

21(2)33

33222

a a a

b a a a

c a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号，

若2

12c a a c -->--，即221

2

a a c -->时，(1)11

b g

c c ==--=+1c =+，

2221413

11222

a a a a

b a

c a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号．

综上所述，b a -的最小值是32

-． 故答案为：32

-． 【点睛】

方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，

由于有绝对值符号，引入二次函数2

()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，

()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．

19．【分析】根据题意可得为定值设为c 根据题意可求得c 的值即可得的解析式根据的单调性及即可求得答案【详解】因为是定义在R 上的单调函数且所以对于任意x 为定值设为c 即所以又所以c=1即设因为与都为单调递增函数 解析：(1,)+∞

【分析】

根据题意可得()3x

f x -为定值，设为c ，根据题意，可求得c 的值，即可得()f x 的解析

式，根据()g x 的单调性及(1)0g =，即可求得答案. 【详解】

因为()f x 是定义在R 上的单调函数，且()34x f f x ??-=??，

所以对于任意x ，()3x

f x -为定值，设为c ，即()3x

f x c -=，

所以()3()4x f f x f c ??-==??

，又()34c

f c c =+=， 所以c=1，即()31x

f x =+，

设44()1()3x g x f x x x +=-

=-， 因为3x

y =与4

y x

=-

都为单调递增函数， 所以()g x 为单调递增函数，且(1)3140g =+-=， 所以4

()301x

g x x

+=->的取值范围为(1,)+∞， 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】

解题的关键是根据单调性，得到()3x

f x -为定值，求得()f x 的解析式，再解不等式，考

查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

20．①③④【分析】根据函数图像逐一判断即可【详解】对于①令结合图象可得有三个不同的解从图象上看有两个不同的解有两个不同的解有两个不同的解故有6个不同解故①正确对于②令结合图象可得有两个不同的解从图象上看

解析：①③④ 【分析】

根据函数图像逐一判断即可. 【详解】

对于①，令()t x g =，

结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，

()3g x t =有两个不同的解，故[()]0f g x =有6个不同解，故①正确.

对于②，令()t f x =，

结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解， 故[()]0g f x =有4个不同解，故②错误. 对于③，令()t f x =，

结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，

()3f x t =有一个解，故[()]0f f x =有5个不同解，故③正确.

对于④，令()t x g =，

结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解， 故[()]0g g x =有4个不同解，故④正确. 故答案为①③④. 【点睛】

本题考查了函数图像的应用，考查了数学结合思想，属于中档题.

21．(－∞－2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa ＋1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞0上单调递减即在(－

解析：(－∞，－2) 【分析】

讨论分段函数()f x 各区间上单调递减，且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减，结合

()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，根据单调性列不等式求参数范围即可

【详解】

二次函数2

143y x x =-+的对称轴是x ＝2

∴该函数在(－∞，0]上单调递减，即在(－∞，0]上13y ≥

同理，函数2

223y x x =--+在(0，＋∞)上单调递减，即在(0，＋∞)上23y <

∴分段函数()f x 在3x =处连续，()f x 在R 上单调递减

由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-，即2x < a 在[a ，a ＋1]上恒成立 ∴2(a ＋1) < a ，解得a <－2 ∴实数a 的取值范围是(－∞，－2) 故答案为：(－∞，－2) 【点睛】

本题考查了函数的单调性，确定分段函数在整个定义域内的单调性，再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围

22．【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间对应的函数解析式然后按其规律画出函数的图像再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当时则当时则当时则由此作出图象如图所示由图知当

解析：7,3??-∞ ??

? 【分析】

首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围 【详解】

当10-<≤x 时，011x <+≤，则11

()(1)(1)22

f x f x x x =

+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，

当23x <≤时，021x <-≤，则2

2

()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，

由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令2

82(2)(3)9

x x --=-

， 整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =

或83

x =，

要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8

()9f x ≥-

，必有73

m ≤，