《含绝对值的函数图象的画法及其应用》
含绝对值的函数图象的画法及其应用
一、三点作图法
三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法(该函数图形形状似“V ”,故称V 型图)。
步骤是:①先画出V 型图顶点??
? ??-c a b ,; ②在顶点两侧各找出一点;
③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线,就得到函数
)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
(1)1|12|--=x y ;(2)|12|1+-=x y 。
解:(1)顶点??
? ??-121,,两点(0,0),(1,0)。其图象如图1所示。
图1
(2)顶点??
? ??-121,,两点(-1,0),(0,0)。其图象如图2所示。
图2
注:当k>0时图象开口向上,当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a
b x -=对称。
二、翻转作图法
翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。
步骤是:①先作出)(x f y =的图象;②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方,则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象;③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的,则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方,就得到了函数|)(|x f y =的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
(1)|1|||-=x y ;(2)|32|2--=x x y ;(3)|)3lg(|+=x y 。
解:(1)先作出1||-=x y 的图象,如图3,把图3中x 轴下方的图象翻上去,得到图4。图4就是要画的函数图象。
图3 图4
(2)先作出322--=x x y 的图象,如图5。把图5中x 轴下方的图象翻上去,得到图6。图6就是要画的函数图象。
图5 图6
(3)先作出)3lg(+=x y 的图象,如图7。把图7中x 轴下方的图象翻上去,得到图8。图8就是要画的函数图象。
图6 图7
三、分段函数作图法
分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图,这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。
例3. 作出下列函数的图象。
(1)1||22+-=x x y ;(2)|1||1|-++=x x y ;(3)|32|2--=x x y 。
解:(1)?????<++≥+-=+-=)0(12)0(121||2222
x x x x x x x x y 图9就是所要画的函数图象。
(2)?????><<--≤-=-++=)
1(2)11(2
)1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。
(3)|32|2--=x x y
??
???<--++-≥----=)032(32)032(322222x x x x x x x x ?????<<-++-≥-≤--=)
31(32)31(3222x x x x x x x 或 图11就是所要画的函数图象。
图9 图10 图11
注:分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。三点作图法、翻转作图法虽然简便,但要注意适应的题型,第(3)小题也可用翻转作图法,有兴趣的同学不妨试一试。
四、应用
把数化为形是“数形结合”思想。利用图形的直观性化难为易,有事半功倍之效,简洁明快之感。
1. 求函数值域。
例4. 求函数|1||1|-++=x x y 的值域。
解:由图10知函数的值域为)2[∞+,
。