复变函数与积分变换(刘建亚)作业答案
《复变函数与积分变换》作业参考答案
习题1：
4、计算下列各式
(1) ； (3)
；
(5) 12
z +=
，求2z ，3z ，4z ； (7)
解：(1) --；
(3)
3(23i 41288+====++；
(5) 2
13214422z --+=
==-+，
321113
1224
z z z -++--=?=
?==-，
4312z z z =?=-．
(7) 因为1cos isin ππ-=+，所以
22cos
isin
6
6
k k ππ
ππ
++=+，
即
0k =时，01cos
isin
i 6
6
22
w π
π
=+=
+； 1k =时，133cos
isin i 66
w ππ=+=；
2k =时，2551cos
isin i 6622w ππ=+=-+；
3k =时，3771cos
isin i 662
w ππ=+=； 4k =时，499cos isin i 66
w ππ=+=-；
5k =时，511111cos
isin i 662
w ππ=+=-．
习题2：
3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数．
(2) 2
()i f z x y =-； (4) ()sin ch icos sh f z x y x y =+ (6) ()az b
f z cz d
+=
+。 解：(2) 因为2
(,)u x y x =，(,)v x y y =-，
2x u x '=，0y u '=，0x v '=，1y v '=-．
这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，但柯西-黎曼方程仅在1
2
x =-上成立，所以()f z 只在直线1
2x =-上可导，此时1122
()21x x f z x =-=-'==-，但复平面上处处不解析．
(4) 因为(,)sin ch u x y x y =，(,)cos sh v x y x y =，
cos ch x u x y '=，sin sh y u x y '=，sin sh x v x y '=-，cos ch y v x y '=．
这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()f z 在复平面内解析，并且
()()i i i i iz iz ()i cos ch isin sh cos isin 22
cos isin cos isin 2222cos 22
y y y y
x x y y y y x x
y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e
e e e e z
-------+-+-'''=+=-=?
-?=-++=?+?++===． (6)
02
0()()1()lim
lim ()lim
()()()z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc
cz c z d cz d cz d ?→?→?→??
+?-+?++=-????+?++??
--==
+?+++
所以，()f z 在除d
z c
=-
外处处解析，且2()()ad bc f z cz d -'=+．
4、指出下列函数的奇点． (1)
22
1(4)
z z z -+； (2) 222
(1)(1)z z z +++．
解：(1)
223432422
4223
2
322
(4)(1)(48)3448()(4)(4)3448
(4)z z z z z z z z z
f z z z z z z z z z z +--+-+-+'==++-+-+=
+
所以，()f z 的奇点为0，2i ±．
(2) 22232422
322
(1)(1)2(2)(1)(21)3953
()(1)(1)(1)(1)z z z z z z z z z f z z z z z ++-+++++++'==-++++ 所以，()f z 的奇点为1-，i ±．
10、如果()i f z u v =+在区域D 内解析，并且满足下列条件之一，试证()f z 在D 内是一常数．
(2) ()f z 在D 内解析；
证明：由()i f z u v =+在区域D 内解析，知(,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内可微，且x y u v ''=，y x u v ''=-．同理，由()f z 在D 内解析，知x y u v ''=-，y x u v ''=．
从而我们得到0x y y x u v u v ''''====，
所以(,)u x y 、(,)v x y 皆为常数，故()f z 在D 内是一常数．
15、求解下列方程： (2) 10z
e += 解：1z e =-，于是
18、求Ln(i)-，Ln(34i)-+的值及主值． 解：Ln(i)ln i iarg(i)2i i 2i 2
k k π
ππ-=-+-+=-
+，所以其主值为i 2
π
-
；
4
Ln(34i)ln 34i i arg(34i)2i ln 5i(arctan )2i 3
k k πππ-+=-++-++=+-+，所以其主
值为4
ln 5i(arctan )3
π+-．
19、求1i
2
e π-，1i 4
e
π+，i 3，i
(1i)+的值．
解：1i
i()2
2
cos ()isin ()i 22e
e e
e e ππ
ππ--?
?=?=-+-=-???
?；
复变函数与积分变换习题答案
习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解： 1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π?? + ??? = =??=??? (2) 解：6 2263634632 22i k i i i i e i e e e i πππππππ?? ??++ ? ??? ????+ ????=+????====-+? ??=-?
(3) i i 解：( )2222i i k k i i e e ππππ???? +-+ ? ??? ?? == (4) 解：( ) 1/2222i i k k e e ππππ???? ++ ? ??? ?? == (5) cos5α 解：由于：()()5 5 2cos5i i e e ααα-+=， 而： ()()()() ()()()() 5 5 5 55 5 5 5 55 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑ 所以： ()()()()()()()()()()() 5555055550 4 3 2 5 3 543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααααααααααααααα --=--=?? =+-????=+-??=++=-+∑∑ (6) sin5α 解：由于：()() 5 5 2sin 5i i e e ααα--=， 所以： ()()()()()()()()()()() () 5555055550 5234 245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n n n n n n n n C i i i C i i i C i C i i ααααααααααααααααα --=--=?? =--? ??? =--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：
Course Description
Course Description of Feng Lin 1.《微积分1,2》，刘建亚，中国高等教育出版 Calculus 1、2 Edited by Liu Jianya, Published by China Higher Education Press This course introduces the bisic concepts and methods of calculus and how to make use of them in dealing with practical issues. It also introduces the knowledge about how to use computer to solve calculus problems. 2.《线性代数》刘建亚主编高等教育出版社 Linear Algebra Edited by Liu Jianya, Published by China Higher Education Press This course introduces the basic principles, theories and methods of Linear Algebra and introduces the application of the knowledge in practical problems. 3.《概论统计》袁荫堂主编中国人民大学出版社 Probability Statistics Edited by Yuan Yintang, Published by China People University Press This course introduces the knowledge of elementary Probability and the practical application of Mathematical Statistics. 4.《统计学》袁卫、庞皓、曾五一、贾俊平主编高等教育出版社 Statistics Edited by Yuan Wei & Pang Hao & Zeng Wuyi & Jia Junping, Published by China High Education Press This course introduces the basic theories and methods of Statistics, practical application of national economy statistics, and the application of computer in this field. 5.《国际贸易学》范爱军主编山东人民出版社 International Trade Edited by Fan Aijun, Published by Shandong People’s Publish ing House This course is mainly about the basic theories and policies of international trade, including international division of labor and international market, international value and world market price, theory of free trade and protective trade, different kinds of international trade policies and measures, WTO and regional economic integration, international trade service, international technological service and IPR, etc. 6．《现代国际商务函电》梁树新主编，人民邮电出版社 Contemporary Correspondence in International Business Edited by Liang Shuxin, Published by People’s Posts and Telecommunications Press This course mainly introduces ways and technique in writing all kinds of English business correspondences used by companies which are in business communication with foreign companies and introduces the latest knowledge about international business marketing and business talks. 7．《国际商务谈判》肖云南主编清华大学出版社、北京交通大学出版社 International Business Negotiations Edited by Xiao Yunnan Published by Tsinghua University Press & Beijing Jiaotong University Press
(02199)复变函数与积分变换A
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是 （ ） A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1-i 2．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于 （ ） A ． i B ．-i C ．1 D ．-1 3．方程232= -+i z 所代表的曲线是 （ ） A ．中心为i 32-，半径为2的圆周 B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周 D ．中心为i 32-，半径为2的圆周 4．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数为 （ ） A ． 2 B ．i 31+ C ．i -3 D ．i +3 5．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即非充分也非必要条件 6．设2 2)(y i x z f ?+=，则=+')1(i f （ ） A ． 2 B ．2 i C ．1 + i D ．2 + 2 i 7．设C 为正向圆周|z|=2，则 ()dz z z c ?-2 1cos （ ） A ．1sin - B ．sin1 C ．1sin 2i ?-π D ．1sin 2i ?π 8．设c 是t i z )1(+=，t 从1到2线段，则=? zdz c arg （ ） A ． 4π B ．4πi C ．4 π (1+ i ) D ．1 + i 9．幂级数∑ ∞ =+-1 n 22z )1n (n )2(在点z=41 处 （ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．不绝对收敛 10．幂级数n n z n ??? ??∑∞ =22sin 1 π的收敛半径R = （ ） 得分 评卷人 复查人
复变函数与积分变换试题B==2015
海南大学2015-2016学年度第1学期试卷 科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷) 学院： 专业班级： 姓名： 学 号： 成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写） 阅卷教师： 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷考试。 一、 判断题(每题1分，共5分) （说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。） （ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。 （ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。 （ ）3、如果 ，则z =0。 （ ）4、z =0是 的一级极点。 （ ）5、如果 在区域D 内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。 二、 填空题(每题3分，共15分) 1、 。 2、设f(z)=z cos z ，则 。 )('z f =)0()2016(f 0=z e =?dz z z 2 0sin )1 sin()(z z f =
3、 的收敛半径= 。 4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。 5、 。 三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。） 1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 2、求 3、求).31(i Ln - 4、求函数?????≥<≤<≤=.3, 0,31, 2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分） 1、计算积分 dz z z z z C ?++-) 4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算 其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分） 3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。 (10分) 4、设函数 (1)把函数 f(z) 在 内展开成洛朗级数。 （10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数， =?+∞∞ dt )(-t δn n n z i ∑∞ =+0)43(.522 i i i -+. )33(31i ++∞<<||1z . )(3||dz z f z ?=,1 )/1sin()(-=z z z z f ).()()(4 4 t f t y t y dt d =+?+-C dz z z z ，) 1()1(34
复变函数与积分变换精彩试题及问题详解
复变函数与积分变换试题（一） 一、填空（3分×10） 1．)31ln(i --的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=?? ? ???0,sin Re 3z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为 解析函数，且f (0)=0。 三、（10分）应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×2） 1．?=-2 ||) 1(z z z dz
2．? -c i z z 3 )(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示
2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z
《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解
?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ） ；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；
(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 《复变函数与积分变换》作业参考答案 习题1： 4、计算下列各式 (1) ； (3) ； (5) 12 z += ，求2z ，3z ，4z ； (7) 解：(1) --； (3) 3(23i 41288+====++； (5) 2 13214422z --+= ==-+， 321113 1224 z z z -++--=?= ?==-， 4312z z z =?=-． (7) 因为1cos isin ππ-=+，所以 22cos isin 6 6 k k ππ ππ ++=+， 即 0k =时，01cos isin i 6 6 22 w π π =+= +； 1k =时，133cos isin i 66 w ππ=+=； 2k =时，2551cos isin i 6622w ππ=+=-+； 3k =时，3771cos isin i 662 w ππ=+=； 4k =时，499cos isin i 66 w ππ=+=-； 5k =时，511111cos isin i 662 w ππ=+=-． 习题2： 3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数． (2) 2 ()i f z x y =-； (4) ()sin ch icos sh f z x y x y =+ (6) ()az b f z cz d += +。 解：(2) 因为2 (,)u x y x =，(,)v x y y =-， 2x u x '=，0y u '=，0x v '=，1y v '=-． 这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，但柯西-黎曼方程仅在1 2 x =-上成立，所以()f z 只在直线1 2x =-上可导，此时1122 ()21x x f z x =-=-'==-，但复平面上处处不解析． (4) 因为(,)sin ch u x y x y =，(,)cos sh v x y x y =， cos ch x u x y '=，sin sh y u x y '=，sin sh x v x y '=-，cos ch y v x y '=． 这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()f z 在复平面内解析，并且 ()()i i i i iz iz ()i cos ch isin sh cos isin 22 cos isin cos isin 2222cos 22 y y y y x x y y y y x x y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e e e e e z -------+-+-'''=+=-=? -?=-++=?+?++===． (6) 02 0()()1()lim lim ()lim ()()()z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc cz c z d cz d cz d ?→?→?→?? +?-+?++=-????+?++?? --== +?+++ 所以，()f z 在除d z c =- 外处处解析，且2()()ad bc f z cz d -'=+． 4、指出下列函数的奇点． (1) 22 1(4) z z z -+； (2) 222 (1)(1)z z z +++． 命题方式：独立命题 佛山科学技术学院2010—2011学年第1学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试题A答案 专业、班级：机械工程与自动化1、2、3班姓名：学号： 题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分 1)题目一：下面正确的是（ ）B A B C D 1122122212||||z z z z z z z z =+1122||||||z z z z =112221||||z z z i z z z =+111||z i z =+2)题目二：函数的可导性为（ C ）2()||f z z =A 处处可导 B 处处不可导 C 在z=0处可导 D 无法确定3)题目三：如果在区域D 内，则F (z )是f (z )的（A ）。'()()F z f z =A 原函数 B 反函数 C 像函数 D 原像函数4)题目四：设在简单正向曲线C 及其所围的区域D 内出处解析且,()f z 0z D ∈那么与积分相关的概念是：（B ）01()2c f z dz i z z π-?A 留数 B 柯西公式 C 线积分 D 泰勒级数5)题目五：是级数的：（ 01()()n n n S z c z z ∞==-∑000()...()...k c k c c z z c z z +-++-+C ）A 和 B 部分函数 C 和函数 D 调和函数6)题目六：0是的：(C) sin z z -A 孤立奇点 B 本性奇点 C 零点 D 原点7)题目七：级数：（C ）0 cos 2n n in ∞=∑A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 既不收敛又不发散、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 中国海洋大学本科生课程大纲 一、课程介绍 1.课程描述： 复变函数与积分变换是理工科有关专业学生继微积分课程之后的又一门数学基础课。本课程介绍单自变量复变函数的极限、连续、积分、级数、留数等基本概念，着重介绍解析函数的理论和方法，以及傅里叶和拉普拉斯变换。通过学习掌握复变函数和积分变换的基本理论和方法，为学习有关的后续专业课程（自动控制原理，信号与系统等）和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 2.设计思路： 通过本课程的学习，不仅能学到复变函数与积分变换的基本理论以及工程技术中的常用数学方法，同时还可以巩固和复习微积分的基础知识，为学习后续的有关课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。课程内容的选取基于学生“掌握了高等数学中的微积分基本理论和方法”。 课程内容包括两个部分：复变函数与积分变换。复变函数介绍单自变量复变函数的极限、连续、积分、级数、留数等基本概念，着重介绍了解析函数的理论和方法；积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变换及相关的应用。 - 5 - 3.与其他课程的关系： 本课程是微积分理论在复数域的推广。高等数学中的重要概念如导数、积分、级数等，在本课程中都有相应的定义，但又显示出新的特点。因此，学好高等数学是学习本课程的前提。本课程又是一门重要的基础课，与工程力学、电子技术、自动控制等课程有密切联系，是解决这些课程中出现的有关问题，例如平面场、频谱分析等的有力工具。 先修课程：高等数学（I或II或III）、线性代数。 后置课程：自动控制原理、信号与系统、数字信号处理等。 二、课程目标 学生通过本课程的学习，掌握复变函数与积分变换的基础概念、基础理论与基础方法，为学习后课程及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题和逻辑推理能力、基础的运算和自学能力，特别注意培养学生具有较强的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 三、学习要求 要完成所有的课程任务，学生必须： （1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、回答随堂提问。 （2）及时复习总结。本课程与微积分联系紧密，有些内容是微积分相关内容在复数领域的延伸，在学习的过程中及时地复习和总结是掌握新知识的有效方法。 （3）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。 - 5 -复变函数与积分变换期末试题附有答案完整版
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