数值分析分章复习(第一章误差)
数值分析分章复习
第一章 引论
要点：误差基本概念
误差分类：截断误差；舍入误差。
误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字
设计数值计算方法应注重的原则：
注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母
复习题：
1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，
试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限
解：记126.1025, 80.115x x ==%%
则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤?-≤?-%% 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--%%%%%%%%%
341180.11610
6.1010252
20.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+-%%%% 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？
它的绝对误差和相对误差各是多少？
解：记精确值12.15420.2154102x =?=，近似值 2.153x =%
因为130.00121102
x x -≤?-=%，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字
解：10.271828182810e =?L
314||0.0000811110102228e x --≤?=?-=L 可见x 具有4位有效数字
4、的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字
解：记精确值x =x %, 注意到14.44770.410x ==?=L L 故假设x %具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8
p p x x x --≤??=?-%
令131
10108p --?≤
由条件 3||10||x x x -≤-%, 可得：410lg() 3.096891p ≥=L
可见当取4位有效数字时，近似数可达精度要求
5、设准确值=x 3002，以=*x 006666.0作为x 的近似值，其有效数字多少
解：2*0.666160x -?=，6523*111||0.6601010262x x ----?≤?=?-=L 可见近似值具有3位有效数字
6、设280=Y 按递推公式100
7831-=-n n Y Y 计算到100Y ，若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?
解：记计算值为n
Y %
则有10
10028n n Y Y Y -?=-???=? 和 1027.98210028n n Y Y Y -?=-???=?%%%
相减得：11127.982)100
n n n n Y Y Y Y ---=--%% 依此类推，有
22227.982)100
n n n n Y Y Y Y ---=--=%%L
0027.982)27.982)100100
n n Y Y =--=-%
故1310000||27.9821|102
Y Y --=≤?%
7、当1>>a 时，为使计算)1ln(a a -+更精确，应如何变形
解：按原计算式计算出现相近数相减的现象，会造成有效数字损失
计算时应变形为=≈ 8、分析下面Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果
解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 32
103(10)102104p ?+?++= 9、对于积分?=+=1
0,2,1,0,999
3Λn dx x x I n n 。 （1）试给出递推计算式
（2）分析递推式的数值稳定性；
（3）给出初始值0I 的估计。 解：111111100033(999)299732997999999n n n n n n n x x x x I dx dx x dx I x x ----+-=
==-++??? 故得递推式：132997n n I I n -=-+
100310003ln 999999I dx x ==+? 注意到实际计算中初值0I 总有误差，设初值0I 的近似值为0I %（00
0I I ε-=≠%） 所以实际计算递推为10032997n n I I n I I ε
-?=-+???=+?%%% 故有 1100
||2997||2997)||2997)|((|n n n n n n I I I I I I ε--=-=-=-=%%L % 可见该递推是不稳定的
因为 1110003331999999999dx dx dx x <<++???
所以可取 0133()0.00300221000999I ≈+≈
10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？
解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性几个方面考虑。一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法