傅立叶 Fourier 级数的展开方法
傅立叶(Fourier)级数的展开方法
快速傅立叶变换（FFT）法
定义
FFT法是一种基于数学和计算机技术的快速计算傅立叶级数展开式的 方法。
步骤
首先，将函数进行离散化处理，然后利用分治策略将问题分解为多个 子问题，最后通过递归和数学公式计算出傅立叶级数的系数。
优点
FFT法计算速度快，适用于大规模数据的傅立叶变换计算。
缺点
对于非周期函数，FFT法可能存在误差和稳定性问题。
图像处理
在图像处理中，傅立叶变换是常用的工具，通过将图像分解为不同 频率的成分，可以实现图像的滤波、去噪、压缩等操作。
控制系统
在控制工程中，傅立叶级数可以用于分析系统的频域响应，从而优 化控制系统的设计和性能。
在金融问题中的应用
要点一
周期性分析
在金融领域，傅立叶级数可以用于分析具有周期性的金融 数据，如股票价格、汇率等，从而预测未来的走势。
唯一性证明
唯一性定理的证明涉及到数学分析中的一些高级技巧，如反证法、数学归纳法 等。
三角函数的正交性
正交性定义
在一定条件下，三角函数系中的函数都互相垂直，即它们的内积为0。这就是三角函数 的正交性。
正交性的应用
正交性是傅立叶级数展开的基础，因为只有当三角函数系是正交的时，我们才能将一个 周期函数表示为一个傅立叶级数。同时，正交性在解决物理问题、信号处理等领域也有
傅立叶级数的复数形式
傅立叶级数的复数形式是将函数表示 为复指数函数的线性组合，通过复数 运算，可以简化计算过程并方便地处 理函数的频域性质。
VS
复数形式的傅立叶级数在信号处理、 通信等领域中具有重要应用，可以用 于信号的频谱分析和滤波等操作。
02 傅立叶级数的性质
收敛性
傅立叶级数在$L^2$空间中收敛
指数傅里叶级数系数推导
指数傅里叶级数系数推导指数傅里叶级数是将周期为T的函数表示为无限级数的形式，这个级数使用了复数的指数函数作为基函数。
其系数推导主要基于以下公式：函数f(t)的指数Fourier级数表示为：f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \omega n t}其中，c_n为Fourier系数，定义为：c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i\omega n t} dtω = 2π/T 是角频率，n为整数。
我们将简要介绍指数Fourier级数系数的推导过程：1. 首先，我们将f(t)代入Fourier系数的定义公式，得到：c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i\omega n t} dt2. 我们可以将f(t)拆分为实部和虚部：f(t) = u(t) + iv(t)其中，u(t)和v(t)都是实函数。
我们将这样的分解应用于之前的方程，得到：c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} (u(t) + iv(t)) e^{-i \omega n t} dt3. 接下来，我们分别计算u(t)和v(t)的Fourier系数。
已知偶函数g(t)关于t=0对称，我们有：g(t) = g(-t)根据定义，其Fourier系数满足：A_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} g(t) \cos(\omega n t) dt B_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} g(t) \sin(\omega n t) dt对于实数函数u(t)，我们有u(-t) = u(t)，因此可以将u(t)表示为偶函数的形式，并使用对应的Fourier系数公式计算u(t)的系数。
傅里叶级数
傅里叶级数（Fourier Series ）引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ2为周期的函数。
其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为角频率，ϕ为初相。
但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。
具体地说，将周期为)2(ωπ=T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。
在电工学上，这种展开称为谐波分析。
其中常数项0A 称为)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）；而)2sin(22ϕω+t A ， )3sin(33ϕω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,200，则上式等号右端的级数就可以改写成这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1.函数能展开成傅里叶级数的条件（1） 函数)(x f 须为周期函数；（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则)(x f 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ，当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于)]0()0([21++-x f x f 。
高等数学：13-7傅里叶(Fourier)级数
A0 , an
An sinn ,bn
An cosn,t
x ，则得级数
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx) ．
(13.7.2)
形如式(13.7.2)的级数称为三角级数，其中常数a0, an,bn (n 1, 2, )
称为三角级数(13.7.2)的系数．
显然式（13.7.2）每一项都是周期为2 的函数，因此，如果级 数（13.7.2）收敛，则其和函数必是周期为2 的周期函数．
⑵ 至多只有有限个极值点（即不作无限次振荡）；
则函数 f (x) 的傅里叶级数在(,) 内收敛，并且
⑴ 当 x 为 f (x) 的连续点时， f (x) 的傅里叶级数收敛于 f (x) ；
⑵ 当 x 为 f (x) 的（第一类）间断点时， f (x) 的傅里叶级数收敛
于 f (x) f (x) ． 2
n1
f (x) 2
f (x) ．
(13.7.8)
37-12
特别地，在点 x 及点 x 处，由函数 f (x) 的周期性知
f ( ) f ( )，f ( ) f ( ) ，因此其傅里叶级数在点x 及
点 x 处收敛于 f ( ) f ( ) ．
2
如果函数 f (x) 的傅里叶级数收敛于 f (x) ，就称 f (x) 的傅里
式为
f
(x)
0, 1,
x 0, 将 f (x) 展开成傅里叶级数，并作出该级 0 x .
数和函数的图形．
解 由式（13.7.5）可得
a0
1
f (x)dx 1
dx 1,
0
an
1
f (x)cos nxdx 1
高等数学 第七节 傅里叶(Fourier)级数
公式 :
1 an = π
∫−π f ( x)cosnxdx
π
a0 ∞ f ( x) ~ + ∑ ( ancos nx + bnsin nx ) 2 n =1
取 x = 0, 则
4π + 4 1 = 2π 2 ∑ n2 3 n =1
4 ∑ 12 = 2π 3 n n =1
∞ 2
2
∞
?
收敛定理 !
1 =π2 ⇒∑ 2 6 n n=1
∞
16
1 1 1 π2 1+ 2 + 2 + 2 + L = L 8 3 5 7
1 =π2 ∑ n2 6 n=1
∞
1 1 1 1 π2 ⇒ 2 + 2 + 2 + 2 +L = L . 24 2 4 6 8
a0 ∞ f ( x − 0) + f ( x + 0) + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 6 2 (证明 ) 略
函数 f ( x ) 展开成 (收敛的) Fourier 级数所要求条件不高 (与幂级数相比) , 收敛性容易得到满足 .
将 f ( x ) 展开成 Fourier 级数常用直接方法 .
x2
− 2x
sin nx
1 − n cos nx − 12 sin nx n 1 cos nx n3
14
2 0
a0 = 8 π 2 , 3
fourier 级数
2. 正弦展开与余弦展开 (1) 正弦级数和余弦级数: 若f(x)在区间[, ]上为奇函数, 则an = 0 (n = 0, 1, 2, …), 从而f(x)的Fourier级数为 bn sinnx ,
n1
它仅含正弦项, 称为正弦级数. 若f(x)在区间[, ]上为偶函数, 则bn = 0 (n = 1, 2, …),
(Euler-Fourier公式)
2. Fourier系数, Fourier级数 若f(x)在[, ]上可积, 则称上述公式中的 an (n=0,1,2,…), bn (n=1,2,…)为函数f(x)的 Fourier系数. 由这些系数作出的三角级数
a0 (an cosnx bn sinnx ) 2 n1
4
0 x
3.将 以 2l 为周期的函数 展开成Fourier级数
定理
设 f ( x)以2l 为周期 且在 l , l ]上满足狄氏条件，则： , [
a0 2
(an cos
n 1
nx nx bn sin ) l l x为f ( x )的连续点 x为f ( x )的间断点 x l , l
正弦级数:
an = 0 (n = 0, 1, 2, …), 2( 2) / n , n为奇数
n为偶数
2 sin 2 x
bn 2 / n,
f ( x) 2
[( 2) sin x
2
3
sin 3 x
4
sin 4 x ],
当x 0, x 时，级数收敛到 0.
F ( x )在[ , ]上为奇函数F ( x )的Fourier级数为正弦级数 , , 在[0, ]上, f ( x ) F ( x ), 对F ( x )在[ , ]用收敛定理便得 ,
fourier级数 逐项积分
fourier级数逐项积分
在数学中，傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法。
逐项积分是逐个计算级数中每一项的积分值。
在处理傅里叶级数时，逐项积分是一种常见的技术，可以用于计算傅里叶级数的积分值。
具体来说，如果有一个周期函数f(x)，我们可以将其表示为傅里叶级数：
f(x) = a0 + ∑[an * cos(nx) + bn * sin(nx)]
其中，an 和 bn 是傅里叶系数，可以通过将 f(x) 与cos(nx) 和 sin(nx) 分别做内积来计算。
如果我们想要计算 f(x) 在某个区间 [a, b] 上的积分，我们可以使用逐项积分的方法。
首先，我们将傅里叶级数展开：f(x) = Σ[an * cos(nx) + bn * sin(nx)]
然后，我们逐个计算每一项的积分：
∫[a, b] (an * cos(nx) + bn * sin(nx)) dx
最后，将所有项的积分值相加，得到 f(x) 在 [a, b] 上的积分值。
需要注意的是，逐项积分需要小心处理，因为级数中的每一项都是周期函数，它们的积分可能会很复杂。
此外，逐项积分也可能导致数值不稳定性，因此在实际应用中需要谨慎使用。
除了逐项积分，傅里叶级数还有其他的应用。
例如，在信号处理中，傅里叶级数可以用于将信号分解成不同的频率分量，从
而方便地分析和处理信号。
此外，傅里叶变换也是一种常见的工具，可以用于计算傅里叶级数的系数，从而将时域函数转换为频域函数，或者将频域函数转换为时域函数。
Fourier级数.ppt
bk sin kxdx k 1
a0 2, 2
(2) 求an
a0
1
f
( x)dx
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
k 1
ak
cos kx cos nxdx bk
sin
kx
cos
nxdx
an cos2 nxdx an
an
1
f
( x)cos nxdx
(n 1,2,3, )
bn
sin
nx)
(2 )
一般地，形如（2）的级数叫三角级数.其中
a0 , an , bn (n 1, 2,L )都是常数
2.三角函数系的正交性
正交函数系
一般地,若
f , g R[a,b],且
b
a
f ( x)g( x)dx 0,则称函数f与g
在[a,b]上正交.
设{ fn( x)} 是[a,b]上的一个函数列,若其中任意两个不同
2 0 2 x
1
a0
f ( x)dx
1
0
(x)dx
0
xdx
,
an
1
f ( x)cos nxdx
2 n2 (cos nx 1)
2 n2
[(1)n
1]
(2k
4 1)2
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
1
bn f ( x)sin nxdx
0 t t0
Em
o
t
将其展开为傅立叶级数.
Em
解 所给函数u (t)满足狄利克雷充分条件
故u (t)的傅里叶级数收敛
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为基进行分解
x
2x
kx
基
矢 量
1, cos , cos ,... cos ,...
l
l
l
x 2x
kx
sin , sin ,... sin ,...
l
l
l
4、第一类间断点和第二类间断点的区别:
函数的间断点分为两类
第一类间断点：x0是函数的间断点，且
左极限 limf(x)limf(x)右极限
xx0
xx0
(k 1,2,L )
0
l
叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=0
若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为
f ( x ) a 0
a k cos
kπx l
k1
ak
1 l
l
f
(x )dx (k
1,2,L)
0
ak
2 l
l
f
(x ) cos kx
dx
(k
1,2,L)
0
l
叫做傅里叶余弦级数, f(0)f(l)0
表达式
1 (x0)
f(x)
1
(0x)
将f（x）展为傅立叶级数。
解 函数满足狄氏条件，它在x=kπ（k=0，1，-1，2，-2…)
点不连续,收敛于
11 0 2
在连续点上收敛于 f (x) f ( x)
x
则
ak 1f(x)coksxdx0
bk1 f(x)siknx d x k0 4
(k1,3,5...) (k2,4,6..)
4 1
f(x)k12k1si2 nk (1)x
二、奇函数和偶函数的傅里叶展开
f ( x ) a0
(a k cos
k 1
kπx l
bk sin
kπx ) l
若f(x)是奇函数，则ak为0，展开式为
f ( x )
kπx bk sin l
k 1
b k
2 l
l
f
( ξ ) sin
k πξ
dξ
满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区间[-l,l]上
1) 连续或只有有限个第一类间断点； （简称狄氏条件） 2) 只有有限个极值点.
则函数f(x)可在[-l,l]展为傅里叶级数
f ( x ) a 0
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
§5.1 傅里叶（Fourier）级数
一 .周期函数的傅里叶展开
在工程计算中, 无论是电学、力学、光学, 经常要和随时
间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。 最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(ωt+φ) 其中=2π/T
t
l
l
l cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a 1 l 0 l l
f
xdx
a n1 l T 2 T 2 f xcon sxdx (n1,2,3, )
b 1l
n l l
f xsin nxdx
(n1,2,3 ).
称为傅里叶系数
3、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数
工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.
方波 4个正弦波的逼近
数学表示为
100个正弦波的逼近
n
f(x) Aksink(tk) k1 n akcosktbksin kt k1
1、 傅里叶级数
若函数f(x)以2l为周期，即f(x+2l)=f(x)，并在区间[-l,l]上
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l sin
2 k x dx
例3 在（-1，1）上定义了函数f（x）为：
x
f
(x)
1
1
( 1,0 )
(0, 1 ) 2
( 1 ,1 ) 2
将函数展为傅立叶级数
解 函数曲线如图
f (x)
将函数做周期为2的解析延
1
拓，如图。
1 0 2 1
x
f (x)
1
1 0 2 1
x
将延拓后的函数做傅立叶展开 1
a01 2 1 1f(l x)dx 1 2[ 0 1xdx 0 21d x1 1(1)d12]x 1 4
存在
第一类间断点
第二类间断点：不是第一类的间断点。 第二类间断点
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件.
5、傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
例1 设f（x）函数是周期为2π周期函数，它在[π，π]
2
1
ak
21
21
0
2
f(x)coksxdx xcoksdx 1coksxdx
1
0
1
1
(1)coksxdx
1
k22
[1(1)]k2
sink
2
2
1
bk
21 21
0
f(x)sinkxdx xsinkdx
三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的. 1、定义在 [-l, l] 上的函数 f(x)展开；
方法 将函数 f（x）解析延拓到[-∞，∞]区间， 构成的周期函数g（x），其周期为2l
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
仅在 [-l，l]上，g(x)≡f(x).
重点
1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法； 2、傅立叶（Fourier）积分的展开条件与展开方法； 3、傅立叶谱的物理意义。
傅里叶生平
1768年生于法国
1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数的级数表示”
1822年发表“热的分 析理论”，首次提出 “任何非周期信号都 可用正弦函数的积分 表示”
2
2
在连续点处收敛于f（x）。
f (x)
x
不计点x (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 ...函.数)是周期为2π，且是奇函
数。
则
2
2
bk
0
f(x)sinkxdx
0
xsinkxdx
2(1)k1 (k1,2,3...) k
f(x) 2(1)k1sinkx
k1n
( x ;x , 3 ...)
例2 设 f（x）是周期为2π的周期函数，它在[-π，π]
上的表式为f（x）=x。将它展为傅立叶级数。
解 首先，所给函数满足狄氏条件，在
x (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 ....)
处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在
x (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 ....)
收敛于 f(0 )f( 0 )( )0