专题11 定积分求值问题
【高考地位】
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查,属于中低档题,其试题难度考查相对较小,重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理,注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.
【方法点评】
类型一 利用微积分基本定理求定积分
使用情景:一般函数类型
解题模板:第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ;
第二步 求方程'()0f x =的根;
第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号; 第四步 利用结论写出极值.
例1计算1
12e x dx x ??+ ??
??
]
【变式演练1】计算3
4
|2|x dx -+?
.
【变式演练2】定积分
?-=+22
)cos 1(π
πdx x .
【变式演练3】如图,直线y kx =将抛物线2
y x x =-与x 轴所围图形分成面积相等的两部分,则
k = .
【变式演练4】若1
()()f x f x dx x +
=?
, 则1
()f x dx =?_________.
【变式演练5】曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 .
【变式演练6】设2
0lg 0()30a
x x f x x t dt x >??
=?+???…若((1))1f f =,则a = . 【变式演练7】由直线,,033
x x y ππ
=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )
A .12
B .1 C
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
使用情景:被积函数的原函数不易求出 解题模板:第一步 画出被积函数的图像;
第二步 作出直线计算函数,,0x a x b y ===所围成的图形; 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
例2 计算定积分dx x ?
-1
24.
【变式演练8】
=---?dx x x )2)1(1(
10
2
【变式演练9】计算定积分
1
1
(sin )x x dx -+=?
.
【变式演练10
】已知函数2(0)()0)
x x f x x ?≤?
=>,则21
()f x dx -=?( )
A .13π-
B .13π+
C .143π+
D .1
23
π-
【变式演练11】函数(
)()()
22,20,02x f x x x x -≤<=-≤≤??的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )
A .1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π- 【变式演练12】已知数列{}n a 为等差数列,
且201320150
a a +=?
,则()20142012
2014
2016
2a a a a
++的
值为( )
A .π
B .2π
C .2
π D .2
4π
类型三 导数与定积分的综合应用
例 3 如图所示,抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地,其中A 、B 在抛物线上,C 、D 在x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a 元(0)a >,其它的三个边角地块每单位面积价值a 元. (1)求等待开垦土地的面积;
(2)如何确定点C 的位置,才能使得整块土地总价值最大.
【变式演练13】已知20
()(28)(0)x
F x t t dt x =+->?
.
(1)求()F x 的单调区间;
(2)求函数()F x 在[1
3],上的最值. 【变式演练14】已知通过点(1,2),与有一个交点,交点横坐标为,且.如
图所示:
设与所围成的面积为S ,则S 取得最小值为 .
【变式演练15】如图,已知二次函数2
()f x ax bx c =++的图像过点(0,0),(1,0)和(2,6),直线1:2l x =,直线2:3l y tx =(其中11t -<<,t 为常数);若直线2l 与函数()f x 的图像以及直线12,l l 与函数()f x 以及的图像所围成的封闭图形如阴影所示. (1)求()y f x =;
(2)求阴影面积s 关于t 的函数()y s t =的解析式;
(3)若过点(1,)(4)A m m ≠可作曲线()()s t t R ∈的三条切线,求实数m 的取值范围.
【高考再现】
1. 【2015高考湖南,理11】2
0(1)x dx ?-= .
2.【2015高考天津,理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .
3.【2015高考陕西,理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .
【反馈练习】
1. 由曲线y =,直线2y x =-及x 轴所围成的图形的面积为
A .103
B .4
C .16
3
D .6
2.
2
22
2π
=
--?
-dx x x m
,则m 等于
A .-1
B .0
C .1
D .2
3.曲线3:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l ,则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是( ). A .1 B .112 C . 43 D .3
4
4.由曲线y =
2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )
A .4
B .6
C .103
D .16
3
5.
=( )
A .2π
B .π
C .2π
D .4
π 6.下列积分值等于1的是( )
A .
?
1
xdx B .22
(cos )x dx π
π--? C
.1
-?
D .
1
1e
dx x
?
7.若2
211
S x dx =
?
,2
21
1
S dx x
=?
,231x S e dx =?,则123,,S S S 的大小关系为( )
A .S 1
B .S 2
C .S 2
D .S 3
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )
A .
12 B .1 C
9.如图,阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形,则该阴影区域的面积是 .
10.函数()2cos 02y x x π=≤≤和2y =的图像围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为____________________.
11.曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 .
12.设2
lg 0()30
a
x x f x x t dt x >??=?+???…若((1))1f f =,则a = .
13.定义F(x,y)=(1+x)y
,x,y ∈(0,+∞).令函数f(x)=F(1,log 2(x 2
-4x+9))的图象为曲线C 1,曲线C 1与y 轴交
于点A(0,m),过坐标原点O 向曲线C 1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C 1在点A,B 之间的曲线段与线段OA,OB 所围成图形的面积为S,求S 的值.