各种有趣的分形
各种有趣得分形
我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。
但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么？”这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西。可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问
图中得风景图片又就是说明分形得另
一很好得例子。这张美丽得图片就是利
用分形技术生成得。在生成自然真实得
景物中,分形具有独特得优势,因为分形
可以很好地构建自然景物得模型、
这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发
现,它得每个枝杈都在外形上与整体相
同,仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈得
枝杈也与整体相同,只就是变得更加小
了。
Siｅrpinski三角形具有严格得自相似
特性
Koｈn雪花具有严格得自相似特性
分维及分形得定义
分维概念得提出
对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得、曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念、分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵、整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得。特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。
维数与测量有密切关系、如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l2得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l３去测这块面
积,结果就就是零。这就表明,用n维得标准体ｌｎ去测量一个几何对象,只当n与拓扑维数d一致时,才能得出有限得数值。如果n〈d,就会得到无穷大;如果ｎ〉d,则结果为零。分数维也就是按照这个要求来定义得。由于分形得复杂性有多种不同类型,所以可以提出不同定义得分维概念,从不同得角度表示分形得不规则性。通常用得就是“容量维"。简单地说,分维所表示得不规整程度,相当于一个物体占领空间得本领。一条光滑得一维直线,完全不能占领空间;但就是“科赫曲线”却有无穷得长度,比光滑得直线有更多得折皱,拥挤在一个有限得面积里,得确占领了空间,它已不同于一条直线,但又小于一个平面、所以它大于一维,又小于二维,它得容量维为1.261８,这瞧来就是理所当然得。海岸线得分维数通常在１、１5到1。２５之间、曼德尔布罗特指出,对于各种分形来说,即使在不同得尺度上,用分维表示得不规整程度却就是一个常量。这真就是一个令人惊奇得性质,也表明“分维”概念得客观现实特性。分维所表征得正就是大自然得规则得不规则性、一个分形得曲线意味着一种有组织得结构,这个结构隐藏在奇特怪异得形状之中。
分数维概念
我们知道0维就
是点,一维就是线,二
维就是面,三维就是
空间。那么,谁能告诉
我１、5维就是什么？一条直线段就是一维得,由四条这样得直线段组成得正方形就是二维得。六个这样得正方形组成得正方体就是三维得。直线得长度数值,正方形得面积数值与立方体得体积数值都与我们测量得单位有关。测量得单位也往往就是我们所能分辨得最小单位。假设我们得分辨能力增加了一倍,因此我们把直线段长度单位减小到原单位得一半,直线段长度得计量值就变为原来得两倍,正方形面积就变为原来得四倍,体积则变为原来得八倍。我们有下式:
ｌog4/loｇ2=２ log8/ｌog ２=3
这里得二与三不就是巧合,这就是另一种维数得定义:测度维得概念、为了定量地描述客观事物得“非规则"程度,1919年,数学家从测度得角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而
突破了一般拓扑集维数为整数得界限、
如果某图形就是由把原图缩小为１/λ得相似得b个图形所组成,有:λ^D=ｋ
D即维数D=logｋ/logλ
其中得λ为线度得放大倍数,Ｋ为“体积"得放大倍数。
回到海岸线长度得问题。当用直线段来近似曲线时,长度单位减为原来得一半往往意味着我们可以用长度为原来得二分之一得直线段来近似曲线、这时,海岸线长度增加程度近似于一个固定得倍数、对于英国海岸线来说,其值约为2。7,而lｏg２。7/ｌｏg2＝1。41,１。41就就是英国海岸线得维数。1.41由于就是一个分式所得出得比值,因此人们称之为分数维、还有其她一些分数维得定义方法,但得出得结果都比较近似、分数维就是衡量分形得基本参数之一。
自然界得山,其分形维数在2.2维左右,但从2。1维到2、5维画出来得都有一定得山得效果。
下面详细介绍分维及计算
1)新得维数(全维数:整数维+分维)
a.由欧氏几何得"整数维”引出得非欧几何--—-分维:
a).欧氏几何得"整数维"
欧氏几何学就是一门具有200０多年历史得数学分支,她就是以规整几何图形为其研究对象得。有线性与曲线两大类。这些规整几何图形得点,直线,平面图形(曲线),空间图形得维数(欧氏维数)都就是整数维,分别为０,1,2,3、对规整几何图形得几何测量就是指长度,面积与体积得测量。则上述两类几何图形得测量结果,可以归纳简化表述为如下两点: i。长度=l,面积＝l2 ,体积＝ｌ3
ｉｉ。长度(半径)=ｒ1,面积=πr２,(球)体积=(４/３)πｒ３上述各种关系得量纲分别就是长度单位l得1,２,3次方,即这些方次恰与该几何图形得欧氏维数相等,并且就是整数。
归结上述两点,各类几何图形得测量都就是以长度l为基础得.所以,欧氏几何中对规整几何图形得测量,可以概括表述为
长度＝l面积A=ａl2体积V=ｂl３
式中ａ与ｂ为常数,称为几何因子,她与具体得几何图形得形状有关、如圆a=π;球b=４π／3、以上都就是欧几里得几何规则图形得整数维.而对于不规则得非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即
欧几里得测度-—－—长度,宽度,厚度——－—不能抓住不规则形状得本质,于就是曼德勃罗特转向新得想法,即关于维数得新想法.
b)、非欧几何得"分维＂
欧氏几何中得空间就是3维得,平面就是2维得,直线就是1维得,而点就是0维得.那末,一个线团得维数如何呢？这与观察方法有关.远瞧,她就是一个点,就是0维;近些瞧,象球,有空间3维感;再近瞧,就瞧到了绳子,又成为１维得了。引发人们注意到几何中也具有"相对关系＂,以及维数得多样性.曼德勃罗特"越过"了０,1,2,3,、..、.。得"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了瞧起来象就是不可能得”分数维数”,分维出现了、从概念上说,这就是一场走钢丝表演,就是冒险。对于非数学家,＂外行”,(年轻得)新手,生手,即开拓创新者(或所谓得"半瓶子醋”),她要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路、而对数学家或该行业保守得专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破。而事实证明前者得方法与策略就是极为强劲有力得成就大功者。
分维与古典得欧几里得维数就是有联系得、将欧氏维数统一扩展成
M=l d
则由对数定义可知,指数d可以表示为以ｌ为底得,M得对数,即d=ｌog lＭ
经用换底公式换底,就可以得到关于维数得解析通式,
分维中广泛使用得关系式d=lnM/lｎl
她可以被瞧成就是各种维数得综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)得由来或基准式、分维就是一种测度,就是用其它方法不能明确定义得一些性质-－——一个对象粗糙,破碎或不规则程度----得手段。即对某种特征性得粗糙度得量度.就是有规则得不规则性得反映、此法得关键要点就就是使在不同得尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)得程度保持恒定.
2)。拓扑维与豪斯道夫维——维数得定义
连续空间得概念,空间维数就是连续得,不就是间断离散得.对数,换底,
拓扑维数就是比分形维数更基本得量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换得基础上就是不变得,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样得集合得拓扑维数就是０,而可转换成直线那样得集合得拓扑维数就是１.所以,拓扑维数就就是几何对象得经典维数Dｔ=ｄ。拓扑维数就是不随几何对象形状得变化而变化得整数维数、对于任何一个有确定维数得几何体,若用与它相同维数得"尺r＂去度量,则可得到一确定得数值N;若用低于它维数得”尺＂去量它,结果为无穷大;若用高于它维数得"尺"去量它,结果为零、其数学表达式为:N(r)～r－Dh.上式两边取自然对数,整理后可得
Dh=lｎN(ｒ)/ln(１／r) 或Dｈ=ｌiｍ[ｌnＮ(σ)/ln(1/σ)］σ→0
式中得Dh就称为豪斯道夫维数,它可以就是整数,也可以就是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其Ｄ值就是整数。人们常把豪斯道夫维数就是分数得物体称为分形,把此时得Dｈ值称为该分形得分形维数,简称分维、也有人把该维数称为分数维数、当然还必须瞧其就是否具有自相似性与标度不变性、
维数得其它定义
(1)信息维数Di = lim(∑Pil nPｉ/lnσ) σ→0
(2) 关联维数Dg = ｌim (lｎC(σ)/lｎ(１/σ))σ→０
(3) 相似维数Ds = lnN／ln(1／ｒ)
(4)容量维数Dc = ｌim (lｎN(ε)/lｎ(１/ε)) σ→0
Dc≥Ｄh
(５) 谱维数D (分形子维数)--就是研究具有自相似分布得随机过程,如随机行走得粒子得统计性质,可用渗流模型来描述得多孔介质,高聚物凝胶(经络得通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中”得问题。
(６) 填充维数Ｄp-—由半径不同得互不相交得小球尽可能稠密得填充定义得维数称之为填充维数(Packing Diｍeｎsiｏn)、
(7) 分配维数Dd——可以瞧成就是利用两脚间隔距离为σ得两脚规测量曲线C所得得＂长度＂、即定义为
Ｄ d = lim (lnMσ(C)／(—lnσ))σ→0
曲线得分配维数至少等于盒维数。
(8)李雅普诺夫(Lyaｐunov)维数Ｄl——就是作为混沌得吸引子维数,她就是利用Lyapunov指数来定义得。奇怪吸引子得断面图总就是呈分形构造得(经络得断面切片),因此就可以测定其分形维数、分形维数得测量
1、基本方法
分形维数得定义有很多,但适合所有事物得定义还没出现。每个维数得测定对象常就是不同得,所以要区别对待,物适其用、
实际得测定分形维数得方法,大致可以分成如下五类:
(1)改变观察尺度求维数:就是用圆与球,线段与正方形,立方体等具有特征长度得基本图形去近似分形图形。
(2)根据测度关系求维数:这个方法就是利用分形具有非整数维数得测度来定义维数得、
(3)根据相关函数求维数;C(r)∝ｒ－a,a＝d—D
(4)根据分布函数求维数;ｐ(r)∝ｐ(λr) p(r)∝ｒ—D
(5)根据频谱求维数。
2.盒维数(计盒维数,Kolmｏgoroｖ熵,熵维数,度量维数,对崐数密度等)
3。函数图得维数
４、码尺与分形维数得关系----分形维数得不确定性对实际分形体而言,测量得分形维数值随码尺而变化,?也就就是说,对同一分形体由于选取得码尺不同,会得到不同得分维值。原因就是,结构层次不同,自相似得程度不同、测量时要注意。
分形定义
分形难下确切得定义。分形得原意就是“不规则得,分数得,支离破碎得”,故又可称为＂碎形”。分形就是研究自然与社会中广泛存在得零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射与标度不变性得复杂系统,图形,构造,功能,性质与复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后得,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系得,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外得不规则”病态”,不可微得事体,形体、在尺度变换(放大,缩小)下具有”自相似性＂与”标度不变性(无特征长度) "得,从有限认识无限得特殊规律得科学、即其组成部分(局部)以某种方式(结构,?信息,功能等广义分形)与整体相似得形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸,其局部与整体得整个精细结构,形态,性质等不因此而发生改变(统计)得形体,体系、分形就是整体与局部在某种意义下:大小尺度之间得对称性与统一性得集合,就是非线性变换下得不变性,就是整体观(统一观),共性观,非二分法得产物,就是有规则得不规则性。分形就是没有特征长度,但具有一定意义(广义)下得自相似图形,结构,性质与形态得总称。
分形就是一种具有自相似特性得现象、图象或者物理过程、也就就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上与整体相似。
除了自相似性以外,分形具有得另一个普遍特征就是具有无限得细致性。即无论放大多少倍,图象得复杂性依然丝毫不会减少。但就是每次放大得图形却并不与原来得图形完全相似。这告诉我们:其实,分形并不要求具有完全得自相似特性。
分形得数学定义
定义１如果一个集合在欧氏空间中得豪斯道夫维数Ｄh恒大于其拓扑维数Dt,
即Ｄh＞Dt
则称该集合为分形集,简称为分形。(Dh≥Dt)
这个定义就是由曼德勃罗特在1９82年提出得,四年后她又提出了一个实用得定义。
定义2 组成部分以某种方式与整体相似得形体叫分形。
它突出了分形得自相似性,反映了自然界中广泛存在得一类”事物"得基本属性:局部与局部,?局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上得自相似性。它与欧氏几何中得"相似”不同。上述定义还不就是严密,精确得定义、
要完整地理解分形还必需知道它得一些特性、
分形得特征与产生机制
分形特征
大自然中得山、树、云、海岸线都可以瞧成就是分形。一般地说,分形具有以下一些特征:该集合具有精细得结构,即有任意小比例得细节(无限可分性);该集合整体与局部间有某种自相似性;分形集合得分形维数一般不就是整数,而就是分数,且一般大于它得拓扑维数;分形集合就是如此得不规则,以至它得整体与局部都不能用传统得几何语言来描述;在大多数情况下,分形集合可以以非常简单得方法来定义,可能由迭代产生;通常有某种自相似得形式,可能就是近似得或就是统计得、。具体得说有下面几个特征。
1)１)自相似性
就是复杂系统得总体与部分,这部分与那部分之间得精细结构或性质所具有得相似性,或者说从整体中取出得局部(局域)能够体现整体得基本特征。即几何或非线性变换下得不变性:?在不同放大倍数上得性状相似、包括几何结构与形态,过程,信息,功能,?性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性得广义分形。自相似性得数学表示为:f(λr)=λαｆ(r),或ｆ(r)～ｒα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构得空间性质。函数f(ｒ)就是面积,体积,质量等占有数,量等性质得测度。
一个系统得自相似性就是指某种结构或过程得特征从不同得空间尺度或时间尺度来瞧都就是相似得,?或者某系统或结构得局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂得表现形式,而不就是局域放大一定倍数以后简单地与整体完全重合.但就是,表征自相似系统或结构得定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化［这一点被称为伸缩对称性］,所改变得只就是其外部得表现形式。自相似性通常只与非线性复杂系统得动力学特征有关。
人们在观察与研究自然得过程中,认识到自相似性可以存在于物理,
化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统得多个层次上,?她就是物质运动,发展得一种普遍得表现形式,即就是自然界得普遍规律之一.但就是科学工作者真正把自相似性作为自然界得本质特性来进行研究还只就是近一,二十年得事。
2)2)标度不变性(无特征长度)
一个具有自相似性得物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度。标度不变性就是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它得形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.
标度不变性(无特征长度):具有自相似性得系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度—-没长短,面积,体积等。特征长度就是指所考虑得对象中最具代表性得尺度,?如空间得长,宽,高,及时间得分,秒,时等。标度不变性就是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还就是缩小,它得结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或就是统计性得),故标度不变性又称为伸缩对称性。此空间称无标度空间,其内就是分形,范围以外就不就是分形了,它有有限与无限之分、
对于实际得分形体来说,这种标度不变性只在一定得范围内适用、人们通常把标度不变性适用得空间称为该分形体得无标度空间、在此范围以外,就不就是分形了。
3)3)层次性,递归性
自相似性就是不同尺度上得对称,就是跨层次得共性观(分形元,不变性)－－同样形态在不同尺度,不同层次上得相同,或相似结构得重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性与递归性。
4)4)自仿射性
自相似系统就是局部与整体在不同方向上得缩放,拉伸得拷贝,其比例都就是同一得,就是常数.而自仿射系统,其在各方向上得伸缩,拉放拷贝得比例不同、
5)5)分形元－初始元—生成元
就是构成分形整体,相对独立得,放大与缩小均不改变,及共同相似得基本部分,即相似单元,相似单位,或就是变换中不变性(共性)得共同得,最基本得,简单得结构,性质得单位或单元,就是整体与局部共性得统一体、分形性就就是分形性质得统合,如自相似性与标度不变性,分数维性等。
6)分形元－支(枝,肢),岔(叉,杈)
如五行得“金,木,水,火,土”就就是五行分形元得五个分形元支,五杈;阴阳有两个分形元支等。
分形图形一般都比较复杂,其复杂程度可用分形维数去定量描述。现在有不少维数得定义,其中最容易理解得且与分形维数有密切关系得就是相似维数。一般地说,如果某图形就是由把全体缩小为1／a得a D 个相似图形构成得,那么此指数D就具有维数得意义。此维数被称之为相似维数。相似维数只对具有严格自相似性得有规分形才适用,使用范围有限。所以定义对所有集都适用得维数就是很有必要得。Hausdorff 维数就就是这样一个最有代表性得维数,它适用于包括随机图形在内得任意图形、如测定某集得测度得单位半径为r,则测定得结果N(r)将满足下式:Ｎ(r)＝Cr－ＤH∝r-D H式中得Ｃ为常数,则该集得维数为ＤH,该维数称为Hausdoｒfｆ维数。不过,Hausdorｆｆ维数在许多情况下难以用计算得方法来计算或估计。因此,在实际应用中较少采用Hausｄｏrff 维数,而采用便于计算得相似维数等。
分形原理
(1)自相似原理
(2)积与原理: 对S1∩S2=0得分形子集Df=Ｄ1+D2、
(3)加与原理: 如果分形子集S1∩S2=Ｓ,则Dｆ＝Ｄ1+D2—ｄ。
(4)合并原理: 分形集S＝Sa+Sｂ,Ｄa＞Dｂ,则Ds=Dａ、
(5)匹配原理: 若想S1∪S２→S,需D1＝D２(=Ｄｓ)、
(6)级差原理: Ｓi∈S,ｉ就是级次(层次).
(7)自仿射原理
＊(8)互补原理:S∪S’=U＝１,S∩S'=０,S与S＇互补。
分形几何与解析几何得关系(经络定位)
分形几何与欧氏几何类似,就是研究或考察物体形状得几何学,不象解析几何可以通过坐标A(ｘ,y,z)进行定位、不过将来得”解析分形几何”应该可以有双重作用、
生命现象与社会现象都就是复杂现象,具有复杂现象得系统成为复杂系统。如生命繁殖过程就是一个复杂得过程,生命系统就是一个复杂系统。所有复杂系统都存在三个基本特征:?1、复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成。?２、每个细胞得状态只有极少数几种。
３、每个细胞得状态随时间得演变只随其邻居得细胞状态决定。
例如:雪花得生成过程由其邻居得冰象与汽象决定根据这三个特征,通过各细胞得局部相互作用,整体上可以显示出多种多样得复杂形态。生命繁殖过程也不例外,在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程。在繁衍过程中产生大量得艺术图案。
产生分形得物理机制
一般认为非线性,随机性,以及耗散性就是出现分形结构得必要物理条件、非线性就是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间
轨迹)发生分支,就是混沌得根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动与混沌,它们反映了系统得内在随机性。而随机性系统未必就就是完全无序得.耗散性强调开放性,研究熵变得过程与机制,即传统得无序熵增过程,及未来得有序熵减过程,宇宙得"有序与无序,物质与能量与信息得相互转换得两大循环＂、
系统产生分形结构得充分条件就是”吸引子(Aｔｔracｔor)",不严格地说, 一个吸引子就就是一个集合,并且使得附近得所有轨道都收敛到这个集合上、非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统得无规运动,最终会成为趋向吸引子得无规运动,而无规运动得吸引子(结果)便就是相间得分形结构、奇怪吸引子得产生必须以系统发生得失稳为前提,如对称破缺等。涨落形成波动,具有周期性得波动,单个周期就是简单有序,周期3便就是混乱(混沌)。
分形与混沌关系
分形与混沌动力学之间得联系很快就被发现了。混沌得奇怪吸引子都就是分形。结构得复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体,也使确定性动力学体系出现无规性。奇怪吸引子都有层次得自相似性。无穷相似结构互相套叠起来,就相当于没有规则结构,所以“无穷嵌套得自相似结构”呈现出总体得混沌、非线性动力学系统一旦进入混沌吸引子区域,就会随机地在吸引子内部四处游荡,但又不能充满整个区域,区域内存在着无穷多得随机空隙,从而使整个混沌区出现维数上得“空洞”,呈现分数维数、洛仑兹吸引子就就是三维背景空间中得一张分形曲面,其容量维等于2、０６;若斯勒吸引子也就是三维背景空间中得一张分形曲面。所以,“分形几何学”与“分维”概念已经成为混沌学研究得重要工具。
分形与混沌理论得关系密切,多就是以自组织系统为其研究对象得,而含义又各不相同。自组织现象,常常就是时空有序得结构,就是复杂得系统, 用传统得简化方法无法解决.所以,要依靠新得研究复杂性得方法来处理,混沌与分形就首当其冲。混沌中有时包容有分形, 而分形中有时又孕育着混沌。分形更注重形态或几何特性,图形得描述、混沌更偏重数理得动力学及动力学与图形结合得多方位得描述与研究、分形更瞧中有自相似性得系统,而混沌涉及面似乎更广,对所有得有序与无序,有序与有序现象都感兴趣.特别就是混沌中得分叉, 分支现象与分形关系最密切、而有些混沌系统自相似性未必特别显眼,分形恐怕就难涉足了。分形可以就是混沌研究中一种手段或方法等等。总之,目前要较详细与系统地阐明分形与混沌得关系及差异, 还比较困难,还有待混沌与分形理论进一步得深入拓展,完善与趋细。
几个分形的matlab实现
几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koｃh曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4 ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式 q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线:
分形维数算法
分形维数算法． 分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，
如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近 似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维 D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的[26]。点 集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法（1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系
-D（2-21） N～λ上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： 1-D（2-22）L=Nλ～λ 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈[27]。。这说明挪威的海岸线更曲折一些1.3． ）小岛法（2面积如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。则与λ的而面积A对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比， 二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：1/2 (2-23) AP∝对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下Mandelbrot 述关系式：21/??D??1/1/D2）（2-24)]?(?)]?[a?AP[(?)][??a(1?D)/DA(?00的P）式），使1（周长光滑时D=1，上式转化成为（2.23这里的分维D大于??的数1变化减缓，a是和岛的形状有关的常数，为小于是测量尺寸，一般取0/D）（1-D??减小而增大。作随测
浅谈_围城_的幽默与讽刺艺术
大 众 文 艺 63 各种艺术都有其表达意义的表现手法，不同的艺术，表现手法亦不同。经得起历史考验的优秀的作品，总会在某些方面具有鲜明的特色，显示独特的个性。《围城》即为一篇具有鲜明特色、独特个性的优秀讽刺小说。 《围城》所表现出来的学者式的幽默与讽刺，与契珂夫带着“含泪的微笑”式的辛辣幽默不同，他的幽默处处充满着智慧，比如文章中说：“一个人的缺点正象是猴子的尾巴，猴子蹲在地面的时候，尾巴是看不见的，直到他向树上爬，就把后部供大家瞻仰，可是这红臀长尾巴本来就有，并非地位爬高了的新标识”。 作者用他那看似漫不经心的笔调、灵活多样的幽默与讽刺的手法来批判现实，调侃“芸芸众生”，使人啼笑皆非，回味无穷。 正如钱钟书在该书的序中所说：“在这本书里，我想写现代中国某一部分社会、某一类人物。写这类人，我没忘记他们是人类，只是人类，具有无毛两足动物的基本根性”。而这一类人物，就是当时病态的知识分子。《围城》中就常用诙谐幽默、尖锐泼辣的笔法指向这些 “无毛两足动物”，这种笔法主要表现在以下三个方面： 一、犀利精妙的心理讽刺 一切琐庸的、可怜的、鄙陋的东西，似乎都不可能逃过一位讽刺幽默作家的眼睛。钱钟书就是一位这样的作家，他善于用犀利精妙的笔触刻画人物心理，形成强烈的幽默讽刺效果。 1、《围城》善于对人物的心理进行细腻地观察、分析和描写。 如张家大小姐矫揉造作、故作矜持的小女儿心态就被刻画得十分传神。张家仗着颇为殷实的家底，自视高贵文雅，处处摆出洋人作派。张父有中文名字却不爱用，偏喜欢别人唤他的洋名。说话还喜欢中国话里夹些无谓的英文字，让儿女觉得高深莫测。在这洋风熏陶下，小姑娘也毫无保留地接受了一切洋本领、洋习气、洋时髦、洋姿势，养就了一身娇气。她的书架上摆放着《莎士比亚全集》、《居里夫人传》等用以充门面的不朽大著，同时也有《怎样去获得丈夫而且守住他》等实用主义的作品。方鸿渐觉得好笑，不由露出笑容，却不料被她看个正着、记在心里，后来方鸿渐无论用什么办法来讨好她，都不能消除她内心的不悦。方鸿渐走后，她说“这人讨厌！你看他吃相多坏……这算什么礼貌？我们学校里教社交礼节的mis Prym瞧见了准会骂他猪猡相Piggy Wiggy！” 还有对范懿这位“女生指导”装腔作势的老处女心态的刻画也十分传神。她听说汪太太要给自己做媒，虽求之不得，却又故作矜持，经过一番自我克制，却仍掩盖不了内心的猴急。汪处厚夫妇请吃饭，她五点钟才过就到汪家。见过辛楣以后，“像画了个无形的圈子，把自己跟辛楣围在里面，谈话密切得泼水不入”。相亲回去的路上，她几次设法要把同行的方鸿渐、刘小姐支开，好留下赵辛楣和她两个人走。当方鸿渐为辛楣解围后，“范小姐对鸿渐的道谢冷淡得不应该，直到女宿舍，也再没有多话”。文中对人物心理作了细腻观察、分析和描写，幽默中含者极浓的讽刺色彩。 作者很善于挖掘人物的内心世界，揭示讽刺对象在言行举止上的虚假、灵魂的丑陋。 浅谈《围城》的幽默与讽刺艺术 （新邵教师进修学校 湖南 邵阳 422000） 廖又琳 【摘 要】《围城》是钱钟书先生在小说创作方面的代表作。这是一篇辛辣而幽默的讽刺小说，它的幽默与讽刺艺术别具一格，讽刺手法灵活多样，讽刺语言诙谐幽默，写人谈事看似漫不经心，却处处充满着智慧，能使读者掩卷深思，回味无穷，使他的讽刺小说具有了极其鲜明的独特个性。 【关键词】《围城》； 幽默；讽刺 如李梅亭的吝啬心理就写得很有讽刺意味。他在赴三闾大学就职的途中，抢着买低等船票，明明是为了自己省钱，却偏偏要撒谎骗取别人的感激、讨得别人的好感；途中遇雨，舍不得用自己的新雨衣，便找借口用别人的遮阳伞，结果被淋湿，还弄脏了衣服，弄得狼狈不堪。他带了一箱药品，准备到内地学校卖个好价钱。当孙柔嘉身体需服仁丹时，他却因为一包仁丹开封后卖不了好价钱而不惜用价钱贵但已开封过的鱼肝油代替，因为已开封的药“好比嫁过的女人，减低了市价”。这样做既行了好心，显示了自己的大方，更重要的是又不至于使自己蒙受损失。至于能不能对症下药，就不在他的考虑的范围之内了。李梅亭这个吝啬鬼的怪诞心理在一次次的心理活动中暴露出来，使人厌恶，那正人君子的假面具也被一层一层地撕下来。这种讽刺，与疾言厉色的抨击不同，它是通过客观地描绘，逐渐地揭示真相来达到幽默的效果，平淡中见谐趣，讽刺味更强。 2、钱钟书还善于制造微妙而又激烈的心理冲突。 如《围城》第三章写赵辛楣发起一次青年知识分子聚会，作者借此——刻画了赵辛楣的嫉妒以及胜利后又失望的心理、董斜川的自傲心、褚慎明的自卑敏感及看客心理。又如《围城》第六章中，写方鸿渐上门拜访三闾大学高松年那一节，因为高松年没有按当时承诺聘他为教授而“兴师问罪”，便是一场微妙而激烈的心理战。一见面，高松年尽管心里对方鸿渐的“兴师问罪”有些畏惧，认为非要费一番唇舌不可，但他表面上还是摆出一副和颜悦色、胸怀坦荡的样子。老于世故的高松年，一面撒谎、一面还能用眼大胆地平视对方，使方鸿渐给“三百瓦特的眼光射得有些不安，觉得这封信不收到是自己的过失，这次来得太冒昧了”。而高松年也为对方未收到信故作惊讶，其“假惊异的表情做得惟妙惟肖，比方鸿渐的真惊惶自然得多”。他高明地用一封子虚乌有的信表明了自己的大度与识才，使方鸿渐不得不满怀感激，从而轻易地将其打发走，解决了这个开始还以为有些棘手的难题。方鸿渐离开时“灵魂像给蒸汽碌碌滚过，一些气概也无。只觉得自己是高松年大发慈悲收下的一个弃物，满肚子又羞又恨，却没有个发泄的对象”。把讽刺对象的心理活动，由隐到显，由暗到明，猛然外化，这种手法体现了作者幽默与讽刺手法的高超。 二、漫画式的描述笔法 钱钟书常用漫画式的笔法勾勒人物形象，以其精妙的笔法，高超地概括出一副副惟妙惟肖的漫画形象。往往人物一出台亮相，行藏未见，便已可知人物的性格及作者的情感态度。 如在法国取得文学博士头衔的“女诗人”苏文纨虽号称“才貌双全”，其“得意之作”却只是一首抄袭来的德国民歌。那位自称“诗人”的曹元朗的“杰作”《拼盘姘伴》，更是令人作呕。这一男一女最后却“珠联璧合”成了“天生一对”，真是绝妙的讽刺。 又如韩学愈从美国的爱尔兰骗子那里买来子虚乌有的“克莱登大学”博士文凭，骗取了大学教授的头衔，他的白俄妻子冒充美国国籍，以便到英文系任英语教授，还可证明了自己文凭的货真价实。为了打击唯一的知情者，他勾结陆子潇，教唆学生蓄意搞垮方鸿渐，一个用心险恶的厚颜无耻之徒形象真是呼之欲出。 尤其是《围城》第七章对汪处厚的肖像描写更是绝妙，使他一出场就给人滑稽迂腐的感觉：“胡子常是两撇，汪处厚的胡 文艺评论
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法 小宇宙2012-08-11 17:46:33 小宇宙 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。近来，一个分形体爱好者丹尼尔?怀特（英国一钢琴教师）提出一个大胆的方法，创造出令人称奇的3D分形影像，并将它们命名为芒德球（mandelbulb）。
分形维数算法
分形维数算法
分形维数算法 分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。 对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。分形维数 D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20） 如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。 对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。 （1）尺码法 用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系 N～λ-D（2-21） 上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为： L=Nλ～λ1-D（2-22） 他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。这说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。
基于分形几何的分形图绘制与分析
基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
初中美术课《幽默与智慧》说课稿
初中美术课《幽默与智慧》说课稿 尊敬的评委老师： 你们好！我是来自梨洲中学的邬志玮。 今天我说课的内容是《幽默与智慧》，我将围绕教什么，怎么教和为什么这样教，从教材分析、学情分析、教学目标、重点、难点、教法学法和教学过程这七方面来说明我的教学设计。 一、教材分析 本课是湘教版初中美术九年级上册第七课内容，依据美术新课程标准的理念，我明确了本课的课型是以“造型?表现”为主，并结合作品欣赏的综合课型。教材从漫画的基本知识、创作的方法等方面介绍了漫画这门艺术，目的是使学生能够通过对漫画的基本认识和了解，从浅到深、循序渐进的启发和指导学生感受漫画艺术的特殊魅力，形成多角度认识事物的思维方式，并最终能够运用漫画语言观察、思考社会生活现象。 二、学情分析 依据初中生的年龄特点和个体差异制定本课教学方法。初中生在九年级两级分化的情况已形成，个体差异明显，虽然思想已经成熟化，但技法应用与表现上还并不是很完善，因而直观性教学更贴近学生实际。 三、教学目标 我把教学目标分成三个维度来进行阐述。 知识与技能：掌握漫画的基本知识，了解其创作方法，尝试漫画创作。 过程与方法：在观察和欣赏漫画的过程中，培养学生观察、分析、创新的能力。 情感态度、价值观：通过品味学习漫画相关知识，使学生形成多角度认识事物的思维方式，并对社会、对人生进行积极的关注和思考。 四、依据教材内容和学情分析，我确定本课教学重、难点为： 教学重点：引导学生认识漫画的概念，初步掌握漫画的表现形式和创作手法
教学难点：如何使不同程度的学生都找到自己学习的空间，并通过画笔展现生活笑料或社会事件。 攻破这一难点，我将通过扩散学生思维，安排不同类型的作业内容来使学生有属于自己的能力体现。 五、教学准备 教师准备：多媒体（ppt）课件、记号笔、全K画纸、画笔等。 学生准备：美术教材、绘画工具。 六、教法学法 依据本课实际，我以先观察后问答和小组探讨合作的方式来完成本课内容，目的在于培养学生的观察能力、总结能力及团队精神。根据不同学生的学习程度，安排不同类型的作业内容。结合多媒体课件贯穿课堂，用直观而详尽的演示，来达到教学目标。另外本课设置两课时时间，第一课时为小组合作，激发联想；第二课时为个人创作，通过循序渐进的方式来引导学生学习相关知识。教学过程是师生交流、共同发展的互动过程，应关注学生的能力培养，与学生共同分析问题、解决问题，以此来点拔学生的思维，充分体现“教师主导，学生主体”的教学原则。 七、教学过程 依据美术新课程标准的理念来组织课堂教学。我的教学过程设置如下： 第一课时 导入新课——讲授新课——学生练习，师生点评——课外拓展。 1.创设情境激趣导入： 通过教师的一个笑话，导出“笑的艺术”，进而过渡到“笑话---相声—漫画”等能使人产生笑声的艺术作品引入课题。通过这一环节，让学生既能明确本课的课题内容，又能使学生在愉悦的心情中开始本课教学。 幽默：有趣或可笑而意味深长。 智慧：辨析判断、发明创造的能力。 2.讲授新课引导创作：
各种有趣的分形
各种有趣的分形 我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。 但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让 图中的风景图片又是说明分形的另一 很好的例子。这张美丽的图片是利用分 形技术生成的。在生成自然真实的景物 中，分形具有独特的优势，因为分形可 以很好地构建自然景物的模型。 这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发 现，它的每个枝杈都在外形上和整体相 同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的 枝杈也和整体相同，只是变得更加小 了。 Sierpinski三角形具有严格的自相似特 性
Kohn雪花具有严格的自相似特性 分维及分形的定义 分维概念的提出 对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。 维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。
分形图形与分形的产生
分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是
分形几何学
2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。
教学的幽默艺术
教学的幽默艺术 在语文教学中，我们常会遇到这种情况，教师备课仔细认真，讲课也很卖力，语言也较简洁准确，但学生就是不爱听，老师讲得口干舌燥，学生听得愁眉苦脸，课堂效果与教师的努力程度不成正比。这是为什么呢？究其原因，很重要的一点就是教师只重视了语言的科学性、规范性，却忽视了它的艺术性，忽视了教学幽默，因而事倍功半。 幽默是语言艺术的重要组成部分，它的正确使用会大大增强语言的感染力。教学幽默语言是指教师依据教学实情，根据教学内容，灵活运用的一种含蓄精练、诙谐有趣、意味深长、富有哲理，能给人启迪的语言,它是教师智慧的结晶。在课堂教学中如能运用得当，会收到意想不到的教学效果。 一、调节气氛，缩短距离。教学实践证明，教师给学生留下良好的第一印象非常重要，因为良好的开端往往是成功的一半。师生初次接触彼此陌生，教师几句幽默的开场白便能调节这种紧张的气氛，缩短师生间的心理距离，使学生的畏惧感顿消，感到教师的和蔼可亲，愿意与教师配合。如我在给七年级新生作自我介绍时说，在下姓程，程咬金的后代，喜运动，爱唱歌，乐交友，不知各位是否愿意成为我的好友？学生的兴致一下子就调起来了。 现代学生思维活跃，情感丰富，不轻信、不盲从，善于标新立异，敢于坚持己见。他们喜欢博学多才、热情开朗、平易近人又具有高超讲话艺术的教师，不喜欢正襟危“言”、不苟言笑、古板冷漠又缺乏讲话技巧的先生。特级教师钱梦龙一次去外地做示范课。开始，课堂气氛
严肃紧张。钱老师走上讲台后，微笑着说：“我请大家猜个谜：虽然发了财，夜夜想成才（财），打一人名。”此语一出，就如一块石子投入平静的湖中，它激起了学生的好奇心和探究欲，活跃了课堂气氛，缩短了师生间的距离。同学们积极思考着，一会儿，一名同学举手回答：“钱梦龙。”全班随之报以热烈的掌声。学生一下子和钱老师贴近了。学生顿时觉得这是一位风趣幽默的老师，跟这样的老师学习一定是轻松愉快的乐事。 二、创设情境，激发兴趣。幽默语言是教师睿智的思想、广博的学识借助诙谐含蓄的语言形式形象生动的再现。它的恰当使用，可以创设出一种风趣动人的情境，驱除了学习疲劳，引起学习兴趣，强化知识记忆，往往会收到令人忍俊不禁、余韵隽永的艺术效果。 三、引导思维，启迪智慧。传统教学的最大弊端是重“灌”轻“启”，因而造成学生思维僵化、肤浅。僵化表现为：思维死板呆滞，看事物想问题，只信“自古华山一条路”，不晓“条条大路通罗马”，所以常常陷于“山重水复疑无路”的困境，缺乏思维的灵活性。肤浅表现为：思维表面化，看事物想问题，浮光掠影、浅尝辄止，缺乏思维的深刻性。思维的僵化和肤浅严重制约了学生对知识的深入理解和能力的提高。这就迫切需要教师根据教学内容有目的地使用幽默语言去点燃学生智慧的火花，燃起积极思维的烈火。 幽默语言不仅可以将事物穷形尽相，而且能够入木三分，它唤醒学生的好奇心、自尊心，促进探究性、挑战性等个性心理品质的发展，从而形成良好的思维品质。
分形几何的数学基础
课程名称（中文）：分形几何的数学基础 课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry 一）课程目的和任务： 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二）预备知识：测度论，概率论 三）教材及参考书目： 教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000. 3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。 四）讲授大纲（中英文） 第一章数学基础 1）集合论基础 2）函数和极限 3）测度和质量分布 4）有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1）豪斯道夫测度 2）豪斯道夫维数 3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4）豪斯道夫维数的等价定义 5）维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1）计盒维数 2）计盒维数的性质与问题 3）修改的计盒维数 4）填充测度与维数 5）维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1）基本方法 2）有限测度子集 3）位势理论方法 4）傅立叶变换法 第五章分形的局部结构
各种有趣的分形
各种有趣得分形 我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。 但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么？”这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西。可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问 图中得风景图片又就是说明分形得另 一很好得例子。这张美丽得图片就是利 用分形技术生成得。在生成自然真实得 景物中,分形具有独特得优势,因为分形 可以很好地构建自然景物得模型、 这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发 现,它得每个枝杈都在外形上与整体相 同,仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈得 枝杈也与整体相同,只就是变得更加小 了。 Siｅrpinski三角形具有严格得自相似 特性
Koｈn雪花具有严格得自相似特性 分维及分形得定义 分维概念得提出 对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得、曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念、分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵、整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得。特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。 维数与测量有密切关系、如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l2得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l３去测这块面
桂美版八年级美术下册 幽默与智慧的艺术教案
《幽默与智慧的艺术》教案 教学目标： 1、品味讽刺幽默的传统漫画的乐趣，了解它的特点以及创作的方法，并且尝试创作。 2、培养学生从多个角度认识事物的思维方式，并引起他们对社会、对人生积极的关注和思考。 教学重难点: 重点：帮助学生了解漫画的学习方法和表现手段，掌握它的特点以及创作的方法，从中学会观察生活，风趣幽默地表达自己的思想观点。 难点：培养学生观察事物、积极思考、分析事物深刻本质的能力；通过合乎逻辑性地联想，创作讽刺幽默的传统漫画。 课前准备： 教师：多媒体课件。 教学过程： 一、引导阶段 1、教师通过讲笑话的形式，直接引出课题。 2、教师：除了刚才讲的笑话，我们还有哪些艺术形式来表现生活中幽默与智慧呢？ 学生：小品、相声、喜剧、漫画…… 教师：我们这节课就来学习漫画。 二、发展认知阶段 1、了解讽刺幽默的传统漫画的特点。 教师：请同学们欣赏以下两副漫画，说说它的特点。 学生：幽默、夸张、讽刺。 教师：拥有这些特点的漫画就是我们经常在报刊杂志上看到的：讽刺幽默的传统漫画。 2、了解讽刺幽默的传统漫画的创作方法。 教师：观察（生活的方方面面） 分析（透过现象看本质，要深刻） 联想（有逻辑性，把握分寸） 3、通过简单的图形训练学习创作的方法。
教师：通过观察分析以下图形，展开联想，这是什么？（图形难度逐步增加） 学生回答。 4、通过欣赏讽刺幽默的传统漫画，加深其创作的方法。 教师：接下来，我们来观察分析几副讽刺幽默的传统漫画，并且对漫画的未完成处进行联想。（完成漫画后说出讽刺了生活当中的哪种现象） 学生回答。 5、通过情景表演。 模拟场景：科学院（教室） 模拟人物：科学院院长（学生饰） 科学院专家、学者（众）（学生饰） 情景表演：科学院院长：公鸡会下蛋！ 科学院专家、学者（众）：我们亲眼见！ 三、课堂练习 教师：把刚才你所观察到的现象用多幅漫画的形式表现出来。 要求： 1、画2-4幅，不需要画格子，情节自己安排。 2、线条简洁流畅，构图巧妙，人物造型夸张、形象。 3、用铅笔或者圆珠笔绘制。 学生完成后在投影仪上进行展览和评论。 四、课堂小结 经过这堂课的学习，我们了解了讽刺幽默的传统漫画的特点以及创作的方法，从中提高漫画表现的技能。希望通过体验和品味漫画创作的乐趣，能培养大家乐观向上的生活态度和豁达、幽默的健康品格。
分形时间_空间
1996年10月第19卷第4期 河北师范大学学报(社会科学版) Journal of H ebei N o r m al U niversity(Social Science) O ct.1996 V o l.19N o.4 ?科学哲学? 分形时间、空间 刘和平 摘 要 本文从分形哲学角度探索时间、空间的基本特征,以及时间、空间的起源,混沌运动的时间意义,时间、空间维数演变的动力。 关键词 分形 时间 空间 一、时间、空间新观念的先声 自本世纪后期以来,新的科学革命正在悄然兴起。70年代以来,曼德尔布罗特(B.M andelbro t)分形几何学专著《分形:形状、机遇和维数》、《自然界的分形几何学》相继问世。仅仅十几年时间,在世界范围内掀起了空前仅有的分形理论的浪潮。分形理论向人类展示了,自然界事物的变化既体现出相同因素自始至终的支配作用,同时又是通过突变和分叉的途径实现的。世界的本性就在于其极不光滑、处处不可微。众多非线性学科理论和应用研究所遇到许多难题,因分形分维(Fyactal di m ensi on)方法得以迎刃而解。混沌运动奇异吸引子(Strange attracto r)自相似分形体系的揭示,众多分维计算方法应用于混沌运动相空间轨迹的解析处理,表明了分形理论强大的生命力,展示了广阔的发展前景。如果说,下一个世纪是非线性科学为带头学科的世纪,那么,分形理论将构成下一个世纪科学技术发展重要的数学支撑。 与此相对应的,哲学领域里的深刻变革亦随之兴起。“被誉为大自然的几何学的分形理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。”①1992年1月,分形理论应用于哲学研究的首门分支学科《矛盾分形学》问世。②1993年12月,世界首部分形理论哲学问题研究专著《分形理论的哲学发轫》由四川大学出版社正式出版。③书中荟集了国内外分形哲学问题研究的最新进展,为分形哲学的诞生提供了全方位探索。1994年7月,分形哲学诞生;④并且,完成了分形哲学本体论研究的前期工作(分形哲学基本原理)。如此短时期内发生在哲学领域里的研究进展表明了分形理论对于新的世界图景的潜在的刻画能力。许多被传统哲学视为截然对立的二极范畴(如偶然与必然、原因与结果、简单与复杂、原因与结果等等)在分形哲学研究背景下以动态转化的形式相容为一体。最终完成了对立二极之间的完美统一,给哲学家以耳目一新的感受。有关分形哲学探索的论文正在增长着,分形哲学显示出新兴哲学学派旺盛的青春活力。 分形的时间、空间观念探索将为建立分形哲学体系奠定理论基础。一种新的哲学思潮及流派对哲学发展所施加的影响以其对时间、空间认识的贡献为衡量尺度。分形理论的哲学探索从一开始就以对时间、空间的崭新认识顺势展开。高安秀树率先提出宇宙物质分布的分数维特征。⑤高歌随之进一步指出:空间与时间的维数都不是整数而是分数,这意味着三维空间不能被物质本身也不能被物质运动的轨迹填满。真实的空间和时间更象是充满大小不同尺度空洞的海绵。分维理论和现象破坏了时间平移对称性及空间的均匀性及旋转,时空观的这种改变势必引起自然科学与哲学的戏剧性变化。”⑥几乎同时,张一