第11章 恒定电流的磁场

第十一章 恒定电流的磁场

11.1 选择题

(1) 有两条长直导线各载有5A 的电流, 分别沿x 、y 轴正向流动. 在(40, 20, 0)(cm)处的B 是(真空磁导率μ0 = 4π × 10-7N/A 2) [C] (A) 2.5×10-6 T 且沿z 轴负向 (B) 3.5×10-6 T 且沿z 轴负向 (C) 2.5×10-6 T 且沿z 轴正向 (D) 3.5×10-6 T 且沿z 轴正向

k y I B πμ2101=,k x

I B πμ2202-=

k T k x y I k x I k y I B B B 6

020*******.211222-?=???

? ??-=-=+=πμπμπμ (2) 半径为1a 的圆形载流线圈与边长为2a 的方形载流线圈, 通有相同的电流, 若两线圈中心1O 和2O 的磁感应强度大小相同, 则半径与边长之比21:a a 为[D] (A) 1:1 (B) π212:1 (C) π212:4 (D) π212:8

1012a I

B μ=

;

()2

102cos cos 44θθπμ-?=a I

B 20202243cos 4cos 2

144a I a I πμπππμ=??? ??-?= 21B B =,

201

0222a I a I

πμμ=

, 8221π

=

a a

(3) 无限长空心圆柱导体的内、外半径分别为a 和b , 电流在导体截面上均匀分布, 则在空间各处B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系, 定性地分析如图

[B]

(A) (B) (C) (D)

解析：∑?=?内

0i L

I l d B μ

(4) 氢原子处于基态(正常状态)时, 它的电子(e = 1.6×10-19C)可看做是在半径为a = 0.53 × 10-8cm 的轨道做匀速圆周运动, 速率为2.2 × 108cm/s, 那么在轨道中心B 的大小为(真空磁导率μ0 = 4π×10-7N/A 2)[B] (A)8.5×10-8T (B)13T (C)8.5×10-4T

R

I

B 20μ=

,a R =,T e I =

,v a

T π2=,可得204a

ev B πμ=, 数据带入即可.

(6) 载流i 的方形线框, 处在匀强磁场B 中, 如图所示, 线框受到的磁力矩是 (A) 向上 (B) 向下 (C) 由纸面向外 (D) 由纸面向内

B p M m ?=;n IS p m =

m p 的方向与n 的方向相同, n

的方向是载流线圈的正法线方向(由右手螺旋法则

确定), 正法线方向垂直向外, 磁场的方向水平向右, 那么磁力矩M

的方向竖直向上.

i

B

题11.1(6)图

a e

O

题11.1(4)图

11.2 填空题

(1) 一平面内有互相垂直的导线L 1和L 2, L 1为无限长直导线, L 2为长为2a 的载流直导线, 位置如图所示. 若L 1和L 2同时通以电流I ,那么作用在L 2上的力对于O 点的磁力矩为 .

()13ln 220-πμa

I

建立如图坐标系, 距直导线L 1为x 远处取电流元l Id

, 其在产生的磁场中受到的安培力为d d F I l B =?，方向向上.2

300=d d ln 322a

a

I I F F I x x x

μμππ==?? 该力对O 点的磁力矩为d d M r F =?

()2004d d 4d 1d 22I I a M rIB x a x I x x x x μμππ??

==-=-

???

2304=d 1d 2a a

I a M M x x μπ??=-

???

??

()()22

2330004=d d 2ln 32ln 312a a a a I I

I a a x x a a x μμμπππ??-=-=- ???

??

(2) 矩形截面的螺绕环尺寸见图, 则在截面中点处的磁感应强度为 ; 通过截面S 的磁通量为 .

r

NI πμ20;21

0ln 2D D NIh πμ L 2 L 1

a

2a

a

I I O

题11.2(1)图

沿以环心为圆心, 以r 为半径的圆周为积分路径, 应用安培环路定理 NI r B l d B L

02μπ=?=?? ; r

NI

B πμ20=; 对于截面中点处, ()121

4

r D D =+

通过截面S 的磁通量为

???=ΦS m S B ?

???==22

00

1

2121

2D D S hdr r

NI dS r NI

π

μπ

μ2100

ln 2ln 212

D D NIh r NIh D

D πμπμ== (3)每单位长度的质量为0.009kg/m 的导线, 取东西走向放置在赤道的正上方, 如图. 在导线所在的地点的地磁是水平朝北, 大小为5310T -?, 问要使磁力正好支撑导线的重量, 导线中的电流应为 .

2940A

(5)

0d L

B l I μ?=∑?

内

; ∑?=?ins

i L

I l d H

;

NI l d H L

=??

; A I 3=;

11.4 将一无限长直导线弯成图示的形状, 其上载有电流I , 计算圆心O 点处B 的大小.

解：可分为三部分电流, 两侧的半无限长直导线和中间的圆弧, 在O 点产生的磁感应强度均为垂直向里.

半无限长导线, 由P53已知结果可知()

210cos cos 4θθπμ-=a

I

B 左侧：3cos

π

r a =, 01=θ, 62π

θ=

右侧：3cos πr a =, 651π

θ=

,

πθ=2 圆弧部分导线, 由P54已知结果可知

R I B π?μ40=

, 式中r R =, 32π

?=

以上三部分求和, 可得总磁感应强度r I

r I B 623100μπμ+???? ??-=, 垂直向里.

11.9电缆由导体圆柱和一同轴的导体圆筒构成, 使用时电流I 从导体流出, 从另一导体流回, 电流均匀分布在横截面上, 如图所示. 设圆柱体的半径为r 1, 圆筒的内、外半径分别为r 2和r 3, 若场点到轴线的距离为r , 求r 从0→∞范围内各处磁感应强度的大小.

解：

0d 2L

B l rB I πμ?==∑?

内

当1r r <时, 2

021d 2r B l rB I r ππμπ?==?，2102r Ir B πμ=

当21r r r <<时,

0d 2B l rB I πμ?==?, 02I B r

μπ=

当32r r r <<时, ()()22202232d 21r r B l rB I r r ππμπ??-???==--????

?，(

)()

22232

2302r r r r r I B --=πμ

当3r r >时,

d 0B l I I ?=-=?, 0=B

11.10如图所示, 一根半无限长的圆柱形导体, 半径为R 1, 其内有一半径为R 2的无限长圆柱形空腔, 它们的轴线相互平行, 距离为a (R 2 < a < R 1－R 2), I 沿导体轴线方向流动, 且均匀地分布在横截面积上. 求： (1) 圆柱体轴线上B 的大小; (2) 空腔部分轴线上B 的大小;

(3) 设R 1 = 10mm, R 2 = 0.5mm, a = 5.0mm, I = 20A, 分别计算上述两处B 的大小.

()()2122212122211R R R I R R R I I -=-=

ππ，

()()

2

22

2212222212R R R I R R R I I -=-=ππ 21R R o B B B +=

()

2

2

212

2022R R a IR B B R o -=

=πμT 6102-?=

21o o o B B B '''+=

()22

21012R R a Ia

B o -=

'πμT 4102-?=

11.13如图所示, 一半径为R 的无限长半圆柱面导体, 其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值、反向, 电流I 在半圆柱面上均匀分布. 求： (1) 轴线上导线单位长度所受的力;

(2) 若将另一无限长直导线(通有方向与半圆柱面相同的电流I )代替圆柱面, 产生同样的作用力, 该导线放在何处？

题11.13图

(1)R I

i π=

, 0000d d d d d 2222I i l iR i B R R R μμμθμθππππ

====，

0d d cos 22x i B μθπθπ?

?=

- ??

? 00

d =d cos 22x x i B B π

μθπθπ?

?=- ???

??()000020cos 222i i i I R πμμμμθππππ=-=== 0d d sin 22y i B μθπθπ??=

- ???，00d =d sin 22y y i B B πμθπθπ?

?=- ??

???, 0=y B (由对成性可知)

22

y

x B B B +=R I 20πμ=，BIl F =R

I

220πμ=(j R I F 220πμ=亦可)

(2)d

I R I πμπμ22

0220=; 2R d π=; 2R y π-=

11.14载有电流I 1的长直导线, 旁边有一个正三角形线圈, 边长为a , 电流为I 2, 它们共面, 如图所示. 三角形一边与长直导线平行, 三角形中心O 到直导线的距离为b, 求I 1对该三角形的作用力.

解：

AB 段：

???

? ??-=

a b I B 6321

01πμ, ???

? ??-=

=a b a

I I a B I F 632210121πμ, 方向沿x 负向;

BC 段：

选择电流元dl x

I I dl B I dF πμ2210222==;

6

cos πdx

dl =

I 1

I 1

?

?+

-

=

=33332

10226

cos

2b b x dx I I dF F ππμ?????

?

??-+=323ln 3210a b a b I

I πμ ?????? ??-+==323ln 323cos 21022a b a b I I F F x πμπ; ?????

?

?

?-+

==323ln 23sin 2102

2a b a b I I F F y πμπ 同理可得AC 段受力

?????

?

?

?

-+

=323ln 32103a b a b I I F πμ ??????

??-+

==323ln 323cos 21033a

b a b I I F F x πμπ; ?????

?

?

?

-+

==323ln 23sin 21033a b a b I I F F y πμπ y y F F 23=, 方向相反, 抵消.

合力, 方向沿x 正向，x x F F F F 321++-=

11.18盘面与均匀磁场B 成φ角的带正电圆盘, 半径为R, 电荷量Q 均匀分布在表面上. 圆盘已角速度ω绕通过盘心, 与盘面垂直的轴转动. 求此带电旋转圆盘在磁场中所受的磁力矩.

解：dS dq σ=()rdr πσ2=, 由于圆盘以ω旋转, 故圆环中电流

T dq dI =

πω2dq =rdr σω=, 式中2R

Q πσ= dr r dIS dp m 3σπω==

??==R m m dr r dp p 03σπω2244

1

41QR R ωσπω==

??? ??-=?π2sin B p M m ?ωcos 41

2B QR =

方向满足B p M m

?=

11.25螺绕环平均周长l =10cm, 环上线圈N=200, 线圈中电流I =100mA. 试求： (1)管内B 和H 的大小;

(2)若管内充满相对磁导率μr =4200的磁介质, 管内B 的大小. 解：

(1)∑?=?0I l d H

; 02NI r H =π

r

NI H π20

=

, 000nI B μ=, 可知H =200A/m, B 0=2.5×10－4T (2)H H B r μμμ0==, 可知B =1.05T

常见载流体的磁感应强度

无限长载流直导线外距离导线r 处，0=

2I

B r

μπ，

圆电流轴上距离圆心x 处，

()

20

32

22

=

2

R IN

B x

R

μ+ (N 是线圈匝数)

无限长密绕直螺线管内部，0=B nI μ (n 是单位长度上的线圈匝数)

圆电流圆心处，0=

2I

B R

μ

无限大均匀载流平面外，01

=2

B i μ(i 是流过单位长度的电流)

一段载流圆弧导线在圆心处，0=

4I B R

μ?

(φ以弧度为单位)

O

I

B

I

0B =；00=224I I B R R μμππ=

?；000121211+=+444I I I B R R R R μμμ??= ???；002=22

8I I B R R

μμππ=

?

O

I