高中几何定理大全
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理和一条线段5. 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48定理四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分6. 线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l×h
83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／
(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）
95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且7. 距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线l和⊙o相交d＜r
②直线l和⊙o相切d=r
③直线l和⊙o相离d＞r
122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离d＞r+r ②两圆外切d=r+r
③两圆相交r-r＜d＜r+r(r＞r)
④两圆内切d=r-r(r＞r) ⑤两圆内含d＜r-r(r＞r)
136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：l=nπr／180
145扇形面积公式：s扇形=nπr2／360=lr／2
146内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)
147等腰三角形的两个底脚相等
148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合149如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等150三条边都相等的三角形叫做等边三角形
常用几何公式大全
常用几何公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
平面几何60条著名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，
高中化学定律公式
高中化学定律和公式 一、物质的量的单位——摩尔 物质的量实际上表示含有一定数目粒子的集体。它的符号是n 。 我们把含有×1023个粒子的任何粒子集体计量为1摩尔，摩尔简称摩，符号mol 。 物质的量（n ）、粒子个数（N ）和阿伏加德罗常数（A N ）三者之间的关系用符号表示：n= A N N （1）定义：单位物质的量的物质所具有的质量叫做摩尔质量。符号M 。 物质的量（n ）、物质的质量(m)和摩尔质量（M ）三者间的关系: 3.物质的量（mol ）= 1()()g g mol 物质的质量摩尔质量 符号表示：n=M m 在相同条件下(同温、同压)物质的量相同的气体，具有相同的体积。在标准状况下(0 ℃、101 kPa)1 mol 任何气体的体积都约是 L 。 1.气体摩尔体积 单位物质的量的气体所占的体积叫气体摩尔体积。符号为m V m V V n (V 为标准状况下气体的体积，n 为气体的物质的量) 单位：L/mol 或(L·mol -1) m 3/mol 或(m 3·mol -1)
定义：以单位体积溶液里所含溶质B 的物质的量来表示的溶液组成的物理量，叫做溶质B 的物质的量浓度。用符号B C 表示，单位mol·L -1（或mol/L ）。表达式：B B n C V =
c(浓溶液)·V(浓溶液)=c(稀溶液)·V(稀溶液) 1、 原子核的构成 原子是由原子中心的原子核和核外电子组成，而核外电子是由质子和中子组成。 1个电子带一个单位负电荷；中子不带电；1个质子带一个单位正电荷 核电荷数(Z) == 核内质子数 == 核外电子数 == 原子序数 2、质量数 将原子核内所有的质子和中子的相对质量取近似整数值加起来，所得的数值，叫质量数。 质量数（A ）= 质子数（Z ）+ 中子数（N ）==近似原子量 X A Z ——元素符号 质量数——核电荷数——（核内质子数）表示原子组成的一种方法 a ——代表质量数； b ——代表质子数既核 电荷数； c ——代表离子的所带电荷数； d ——代表化合价 e ——代表原子个数 请看下列表示 a b +d X c+e 3、 阳离子 aW m+ ：核电荷数＝质子数>核外电子数，核外电子数＝a －m 阴离子 b Y n-：核电荷数＝质子数<核外电子数，核外电子数＝b ＋n
初中几何定理大全之欧阳歌谷创编
初中几何概念、定理 欧阳歌谷（2021.02.01） 平面几何 1.两点之间的所有连线中，线段最短。 2.两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。 3.经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 4.将一个角分成相等的两部分的射线叫做这个角的角平分线。 5.如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。简称 互余，其中的一个角叫做另一个角的余角。 6.如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角。简称 互补，其中的一个角叫做另一个角的补角。 7.同角（或等角）的余角相等。 8.同角（或等角）的补角相等。 9.对顶角相等。 10.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 11.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互 平行。 13.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。互 相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 14.当两条直线互相处置时，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线。 15.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 16.直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最 短。 17.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 距离。 18.同位角相等，两直线平行。 19.内错角相等，两直线平行。 20.同旁内角互补，两直线平行。 21.两直线平行，同位角相等。 22.两直线平行，内错角相等。 23.两直线平行，同旁内角互补。 24.在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这 样的图形运动叫做图形的平移。平移不改变图形的形状、大小。 25.如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到 另一直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
初中几何定理大全：初中数学几何121个定理总结
初中几何定理大全:初中数学几何121个定理总结1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9同位角相等,两直线平行 10内错角相等,两直线平行 11同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13两直线平行,内错角相等 14两直线平行,同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1直角三角形的两个锐角互余 19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
平面几何中几个重要定理的证明
1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /
第十九讲平面几何中的几个著名定理
第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得
同理 将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
十大高中平面几何几何定理汇总及证明
高中平面几何定理汇总及证明 1.共边比例定理 有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM. 证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证 S△PAB=(S△PAM-S△PMB) =(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB =(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比） 同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB 所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比） 定理得证！ 特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。 2.正弦定理 在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径） 证明： 现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边 AB。设AB长度为c。 若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。 ∵（特殊角正弦函数值） ∴ 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A， 显然BC'= 2r=R。 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧， 此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等） ∴在Rt△ABC'中有 若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。 考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得 。
在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD， 则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。 证明： S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1) S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………(1.2) 由1.1式和1.2式得 BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) 4.张角定理 在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么∠∠∠。 证明： 设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD 由分角定理， S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC) → (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1) S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC) → (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2) (1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5.帕普斯定理 直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，则G,I,H共线。
重点高中化学定律公式
高中化学定律和公式 、物质的量的单位——摩尔 物质的量实际上表示含有一定数目粒子的集体。它的符号是 n 23 我们把含有 6.02 ×10 个粒子的任何粒子集体计 量为 物质的量（ n ）、粒子个数（ N ）和阿伏加德罗常数（ N A ）三者之间的关系 用符号表示： 1）定义：单位物质的量的物质所具有的质量叫做摩尔质量。符号 M 物质的量（ n ）、物质的质量 （m ）和摩尔质量（ M ）三者间的关系 : 在相同条件下 （同温、同压）物质的量相同的气体，具有相同的体积。在标准状况下 （0 ℃、101kPa ）1mol 任何气体的体积都约是 22.4L 。 1. 气体摩尔体积 单位物质的量的气体所占的体积叫气体摩尔体积。符号为 V m V m V （V 为标准状况下气体的体积， n -1 3 3 -1 n 为气体的物质的量 ）单位： L/mol 或（L ·mol -1）m 3/mol 或（m 3· mol -1） 定义： 以单位体积溶液里所含溶质 B 的物质的量来表示的溶液组成的物理量，叫做溶质 B 的 物质 的量浓度。用符号 C B 表示，单位 mol · L -1（或 mol/L ）。C B n B 1 摩尔，摩尔简称摩，符号 mol N n= N A 3.物质的量（ mol ）= 摩尔物质质量 的质（g 量·m （g ol ）-1）符号表示 n= m
c（浓溶液）· V（浓溶液）=c（稀溶液）·V（稀溶液） 1、原子核的构成 原子是由原子中心的原子核和核外电子组成，而核外电子是由质子和中子组成。 1 个电子带一个单位负电荷；中子不带电；1 个质子带一个单位正电荷 核电荷数（Z）== 核内质子数==核外电子数==原子序数 2、质量数 将原子核内所有的质子和中子的相对质量取近似整数值加起来，所得的数值，叫质量数质量数（A）=质子数（Z）+中子数（N）==近似原子量 m+ 3、阳离子a W ：核电荷数＝质子数＞核外电子数，核外电子数＝a－m n- 阴离子b Y ：核电荷数＝质子数＜核外电子数，核外电子数＝b＋n 元素主要化合价变化规律性 二、电子式 在元素符号的周围用小黑点（或×）来表示原子最外层电子的式子叫电子式。如Na、Mg、
苏科版教材初中数学几何定理定义公式大全
苏科版初中数学几何定理定义公式大全 班级学号姓名以下标注真命题的条目，解答题时要先证明，再使用。未标注的定理、定义、公式可以直接使用。 第一部分相交线、平行线 1、直线公理：经过两点有且只有一条直线（两点确定一直线）。 2 、线段公理：两点之间线段最短。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等。 5、垂线的性质： ①经过一点 ．．有且只有一条直线和已知直线垂直。 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。（简写为：垂线段最短。） 6、平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线。 7、在同一平面中两条直线的位置关系有两种，相交和平行。 在空间几何中两条直线的位置关系有三种，相交、平行和异面。 8、平行公理：经过直线外一点 ．．．．．，有且只有一条直线与这条直线平行。 7、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 9、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 10、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。 10、三视图（略） 第二部分三角形 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫作三角形。 2、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
4、三角形的高：经过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。 5、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 6、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 7、推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 8、真命题：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 9、多边形的内角和公式：N=（n-2)180° 10、任意多边的外角和等于360°。 11、连接多边形的不相邻顶点的直线叫作对角线。从n 边形（n ≥3）的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n 边形（n ≥3）一共有)3(2 1 n n 条对角线。 12、能够完全重合的两个图形叫作全等形。 13、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。全等三角形的对应边、对应角相等 。 14、全等三角形的判定： ①边角边(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 ②角边角( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 。 ③角角边(AAS) ：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ④边边边(SSS) ：有三边对应相等的两个三角形全等。 ⑤斜边、直角边(HL) ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 第三部分 轴对称图形 1、轴对称：如果把一个图形沿着一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于直线成轴对称。 2、轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形。 3、轴对称的性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 ③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 ④真命题：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
立体几何定理大全
立体几何公式大全 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行
也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直
高中化学定律公式
高中化学定律公式Revised on November 25, 2020
高中化学定律和公式 一、物质的量的单位——摩尔 物质的量实际上表示含有一定数目粒子的集体。它的符号是n 。 我们把含有×1023 个粒子的任何粒子集体计量为1摩尔，摩尔简称摩，符号mol 。 物质的量（n ）、粒子个数（N ）和阿伏加德罗常数（A N ）三者之间的关系用符号表示：n= A N N （1）定义：单位物质的量的物质所具有的质量叫做摩尔质量。符号M 。 物质的量（n ）、物质的质量(m)和摩尔质量（M ）三者间的关系: 3.物质的量（mol ）= 1 ()()g g mol 物质的质量摩尔质量 符号表示：n=M m 在相同条件下(同温、同压)物质的量相同的气体，具有相同的体积。在标准状况下(0 ℃、101 kPa)1 mol 任何气体的体积都约是 L 。 1.气体摩尔体积 单位物质的量的气体所占的体积叫气体摩尔体积。符号为m V m V V n = (V 为标准状况下气体的体积，n 为气体的物质的量) 单位：L/mol 或(L·mol -1 ) m 3 /mol 或(m 3 ·mol -1 ) 定义：以单位体积溶液里所含溶质B 的物质的量来表示的溶液组成的物理量，叫做溶质B 的物质的量浓度。用符号B C 表示，单位mol·L -1（或mol/L ）。表达式：B B n C =
c(浓溶液)·V(浓溶液)=c(稀溶液)·V(稀溶液) 1、原子核的构成 原子是由原子中心的原子核和核外电子组成，而核外电子是由质子和中子组成。 1个电子带一个单位负电荷；中子不带电；1个质子带一个单位正电荷 核电荷数(Z) == 核内质子数 == 核外电子数 == 原子序数 2、质量数 将原子核内所有的质子和中子的相对质量取近似整数值加起来，所得的数值，叫质量数。 质量数（A）= 质子数（Z）+ 中子数（N）==近似原子量 3、阳离子a W m+：核电荷数＝质子数>核外电子数，核外电子数＝a－m 阴离子b Y n- ：核电荷数＝质子数<核外电子数，核外电子数＝b＋n
初中数学几何定理大全
初中数学公理和定理 一、公理（不需证明） 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理：两点之间，线段最短。 8、直线公理：过两点有且只有一条直线。 9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行 10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条 直线与已知直线垂直 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类： 一、直线与角 1、两点之间，线段最短。 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 10、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转） 11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 15、轴对称的性质： （1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）对应线段相等、对应角相等。 16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称： (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度(2)对应点到旋转中心的距离相等； (3)对应线段相等、对应角相等 18、中心对称： （1）具有旋转对称的所有性质： （2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对 称中心平分 四、三角形： （一）一般性质 19、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 20、三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； ③三角形的外角和等于360° 21、三边关系： （1）两边之和大于第三边； （2）两边之差小于第三边 22、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 23、三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心），这点 到三个顶点的距离（外接圆半径）相等。 24、三角形的三条角平分线交于一点（内心），这点到三 边的距离（内切圆半径）相等。 （二）特殊性质： 25、等腰三角形、等边三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等．（简写成“等角对等边”） （3）“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线和底边上的高互相重合 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等 于60°． （5）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 26、直角三角形： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方； （3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半. （6）三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直 角三角形。 五、四边形 27、多边形中的有关公理、定理： （1）四边形的内角和为360° （2）N边形的内角和：（ n－2）×180°. （3）任意多边形的外角和都为360° 28、平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。
高中化学常用计算公式
1. 有关物质的量（mol ）的计算公式 （1）物质的量（mol 即n= M m ；M 数值上等于该物质的相对分子（或原子）质量 （2）物质的量（mol ）= ）（个微粒数（个）mol /1002.623 ? 即n=A N N N A 为常数6.02×1023，应谨记 （3）气体物质的量（mol 即n= m g V V 标， V m 为常数22.4L ·mol -1，应谨记 （4）溶质的物质的量（mol ）＝物质的量浓度（mol/L ）×溶液体积（L ）即n B =C B V aq （5）物质的量（mol ）=）反应热的绝对值（）量（反应中放出或吸收的热mol KJ KJ / 即n=H Q ? 2. 有关溶液的计算公式 （1）基本公式 ①溶液密度（g/mL 即ρ = aq V m 液 ②溶质的质量分数=%100) g g ?+溶剂质量）（（溶质质量）溶质质量（=) ) g g 溶液质量（溶质质量（×100% 即w= 100%?液质m m =剂质质m m m +×100% ③物质的量浓度（mol/L 即C B=aq B V n （2）溶质的质量分数、溶质的物质的量浓度及溶液密度之间的关系： ①溶质的质量分数100%(g/mL) 1000(mL)(g/mol) 1(L)(mol/L)????= 溶液密度溶质的摩尔质量物质的量浓度 即C B = B M ρω 1000 ρ单位：g/ml （3）溶液的稀释与浓缩（各种物理量的单位必须一致）： 原则：稀释或浓缩前后溶质的质量或物质的量不变！ ①浓溶液的质量×浓溶液溶质的质量分数＝稀溶液的质量×稀溶液溶质的质量分数 即浓m 稀稀浓ωωm =
一些有名的几何定理
取材自维基百科-中文版. 没事的时候大家可以证着玩! 答案在这里. 1. 阿基M德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点， 随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB。 b5E2RGbCAP 2. 婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则 垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。婆罗摩笈多是印度 数学家。p1EanqFDPw 3. 凡·奥贝尔定理 分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。 5PCzVD7HxA 此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规做图无法做出三等分角。 6. 拿破仑定理，是拿破仑发现的平面几何学定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。jLBHrnAILg 同时拿破仑留下这样的名言: ''一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现他的国力强大。 ——拿破仑 7. 泰博定理是法国几何学家维克多·泰博 余弦定理性质 对于任意三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积： 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b 、a*c 就是a 乘b 、a 乘c 。a^2、b^2、c^2就是a 的平方，b 的平方，c 的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos A b^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos B c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C Cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab Cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac Cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 设⊿ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的角分别是A 、B 、C ，则 有 a ＝ b ·cosC ＋ c ·cosB ， b ＝ c ·cosA ＋a ·cosC ， c ＝a ·cosB ＋b ·cosA 。 注：以“a ＝b ·cosC ＋c ·cosB”为例，b 、c 在a 上的射影分别为b ·cosC 、 c ·cosB ，故名射影定理。 证明1：设点A 在直线BC 上的射影为点D ，则AB 、AC 在直线BC 上的射影分别为BD 、CD ，且 BD=c ·cosB ，CD=b ·cosC ，∴a=BD+CD=b ·cosC ＋c ·cosB .同理可证其余。 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA ，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a ·cosB ＋b ·cosA .同理可证其它的。 正切定理 2/)tan(2 /)tan(βαβα-+=-+b a b a 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R 在同一个三 角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） 这一定理对于任意三角形ABC ，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R 为三角形外接圆半径 切割线定理 ∵PT 切⊙O 于点T ，PBA 是⊙O 的割线 ∴PT^2=PA·PB （切割线定理） 高中化学常用公式总结 1. 有关物质的量（mol ）的计算公式 （1）物质的量（mol ）()= 物质的质量物质的摩尔质量（） g g mol / （2）物质的量（mol ）() = ?微粒数（个） 个6021023 ./mol （3）气体物质的量（mol ）= 标准状况下气体的体积() .(/) L L mol 224 （4）溶质的物质的量（mol ）＝物质的量浓度（mol/L ）×溶液体积（L ） 2. 有关溶液的计算公式 （1）基本公式 ①溶液密度（g/mL ）= 溶液质量溶液体积()() g mL ②溶质的质量分数()= ?+溶质质量溶质质量溶剂质量(g g ) () 100% ③物质的量浓度（mol/L ）= 溶质物质的量溶液体积() () mol L （2）溶质的质量分数、溶质的物质的量浓度及溶液密度之间的关系： ①溶质的质量分数= ????物质的量浓度溶质的摩尔质量溶液密度(mol /L)1(L)(g /mol) 1000(mL)(g /mL) 100% ②物质的量浓度= ???1000(mL)(g /mL)(g /mol)1(L) 溶液密度溶质的质量分数 溶质摩尔质量 （3）溶液的稀释与浓缩（各种物理量的单位必须一致）： ①浓溶液的质量×浓溶液溶质的质量分数＝稀溶液的质量×稀溶液溶质的质量分数（即溶质的质量不变） ②浓溶液的体积×浓溶液物质的量浓度＝稀溶液的体积×稀溶液物质的量浓度［即c （浓）·V （浓）＝c （稀）·V （稀）］ （4）任何一种电解质溶液中：阳离子所带的正电荷总数＝阴离子所带的负电荷总数（即整个溶液呈电中性） 3. 有关溶解度的计算公式（溶质为不含结晶水的固体） （1）基本公式： ① 溶解度饱和溶液中溶质的质量溶剂质量(g)100(g) (g) (g) = 小学几何之蝴蝶定理大全 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a = = = 2）S1∶S2 = a2 ∶A2 定理5：燕尾定理 S△ABG ∶S△AGC = S△BGE ∶S△GEC = BE∶EC S△BGA ∶S△BGC = S△AGF ∶S△GFC = AF∶FC S△AGC ∶S△BCG = S△ADG ∶S△DGB = AD∶DB 二、例题分析 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？ C F E A C B E F D A 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 例6、如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平中要的数学几何定理
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