2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)

2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集{2U =-，1-，1，2}，2{|20}A x x x =--=，则(U A =e ) A ．{2-，1}

B ．{1-，2}-

C ．{2-，1-，1，2}

D ．{2-，2}

2．（5分）设43z i =-，则在复平面内1

z

对应的点位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元)统计图．以下结论中不正确的是( )

A ．205l 年2018-年中国居民人均可支配收入与年份成正相关

B ．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍

C ．2015年2018-年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元

D ．2015年2018-年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍

4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于10钱）( )

A．乙分8两，丙分8两，丁分8两

B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱

C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱

D．乙分9两，丙分8两，丁分7两

5．（5分）如图，ABC

?和DEF

?是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为()

A．1

2

B．

2

3

C．

3

4

D．

5

8

6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）f+（6）(=)

A．45B．35C．147D．75

7．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为()

A ．128

B ．104

C ．80

D ．56

8．（5分）已知函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，(12)1,2()(1),2a x x g x f x x -+

…在(,)-∞+∞上是减函数，那么a 的取值范围是( )

A ．1(,1)2

B ．(0,1)

C ．13(,]24

D ．3[,1)4

9．（5分）已知双曲线22

1222:1(0,0),,x y E a b F F a b

-=>>分别为E 的左，右焦点，1A ，2A 分别

为E 的左，右顶点，且1222||||A A A F …．点M 在双曲线右支上，若121||2||MF a MF -的最大值为1

4，

则E 的焦距的取值范围是( ) A ．3

(1,]2

B ．[2，3]

C ．(1，2]

D ．(1，3]

10．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512

π

个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是( ) ①函数()y f x '=的图象关于直线6

x π

=-

对称；

②函数()y f x '=的图象关于点(,0)3π

对称；

③函数()y f x '=的图象在区间(,)66

ππ

-上单调递减；

④函数()y f x '=的图象在区间2(,)63

ππ

上单调递增．

A ．①④

B ．②③

C ．①③

D ．②(④

11．（5分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，准线交x 轴于K ，若||

||

AF AK 最小，则||||(AK BK += )

A ．4

B ．8

C ．

D ．12．（5分）已知函数()f x 对x R ?∈均有1

()2()2

f x f x mx +-=-，若()f x lnx …恒成立，则实

数m 的取值范围是( )

A ．[1，]e

B ．56

(,]e --∞-

C ．(-∞

D ．)+∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知(3,1)a =r ，2

(4,23)b t =-+r ，若9a b =r r g ，则t = ．

14．（5分）若1sin()63πα+=-，(0,)απ∈，则2cos(2)3

πα-= ．

15．（5分）函数()f x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a 的取值范围是 ．

16．（5分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11a =，2211122n n

n n n n n n a a a a a a ++++=+，

则n a = ；{}n a 的前10项和10S = ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，

//CD AB ，2AD CD BC ===，4AB =．

（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；

（Ⅱ）若三棱锥C PBD -PB 的长．

18．（12分）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1

1,1a c b c a ac

=+=-．

（Ⅰ）求角B ；

（Ⅱ）若ABC ?的周长为126+ABC ?的面积．

19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由； （Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60)内定义为“不合格”． ①请将下面的22?列联表补充完整：

合格 不合格 合计 男生 26 女生 6 合计

②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率． 附：

20()P K k …

0.100 0.050 0.010 0.001 0k

2.706

3.841

6.635

10.828

2

2

(

)()()()()

n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++g ．

20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，离心率为1

2，直线0mx y m +-=恒过E 的

一个焦点F ．

（Ⅰ）求E 的标准方程；

（Ⅱ）设O 为坐标原点，四边形ABCD 的顶点均在E 上，AC ，BD 交于F ，且0AC BD =u u u r u u u r

g ，2OA OC OM +=u u u r u u u r u u u u r ，2OB OD ON +=u u u r u u u r u u u r ，若直线AC 5，求直线MN 与x

轴交点的坐标．

21．（12分）已知函数2

1()()42

alnx f x x a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设4a =，且(0,)6x π∈cos241

tan x e e x

<．

(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为1,1(1t x t

t t y t -+?

=??+??=?+?

为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22

12

3sin ρθ

=

+． （Ⅰ）求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C 上的点到l 距离的最大值及该点坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数()||2|1|f x x a x =--+．

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若()f x 的最大值为3，求a 的值．

2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集{2U =-，1-，1，2}，2{|20}A x x x =--=，则(U A =e ) A ．{2-，1}

B ．{1-，2}-

C ．{2-，1-，1，2}

D ．{2-，2}

【解答】解：{2U =-Q ，1-，1，2}，{1A =-，2}，

{2U A ∴=-e，1

}． 故选：A ．

2．（5分）设43z i =-，则在复平面内1

z

对应的点位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解答】解：由题意得43z i =-， 所以114343(43)(43)

i

z i i i +==

-+-， 4325

i

+=

， 因此在复平面内1z 对应的点43

(,)2525

位于第一象限， 故选：A ．

3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元)统计图．以下结论中不正确的是( )

A．205l年2018

-年中国居民人均可支配收入与年份成正相关

B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍

C．2015年2018

-年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元

D．2015年2018

-年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍

【解答】解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；

对于B，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.0549.7568

÷≈倍，所以选项B 正确；

对于C，2015年2018

-年中国居民人均可支配收入平均数为

1

(21966.1923820.9825973.7928228.05)24997.25

+++≈（元)，所以选项C正确；

4

对于D，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.1949.7442

÷≈倍，所以选项D错误，

故选：D．

4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注:1两等于10钱）()

A．乙分8两，丙分8两，丁分8两

B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱

C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱

D．乙分9两，丙分8两，丁分7两

【解答】解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{}n a ，设公差为d ，则110.4a =，5 5.6a =，

所以514 5.6a a d =+=，即10.44 5.6d +=， 解得 1.2d =-，可得2110.4 1.29.2a a d =+=-=； 31210.4 1.228a a d =+=-?=； 41310.4 1.23 6.8a a d =+=-?=，

所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱， 故选：C ．

5．（5分）如图，ABC ?和DEF ?是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为( )

A ．

1

2

B ．

23

C ．

34 D ．58

【解答】解：根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形． 设一个小三角形面积为S ，则该图形的面积为12S ，阴影部分的面积为6S ， 所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率61

122

S P S ==， 故选：A ．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f （3）f +（6）(= )

A ．45

B ．35

C ．147

D ．75

【解答】解：由题得25,6,

()(2),6,x x f x f x x ?-=?+

…

所以f （3）f +（6）f =（7）f +（6）227565443175=-+-=+=， 故选：D ．

7．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为( )

A ．128

B ．104

C ．80

D ．56

【解答】解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，

其体积可看作三个长方体的体积之和，

则该吊柜的体积442423443104V =??+??+??=， 故选：B ．

8．（5分）已知函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，(12)1,2()(1),2a x x g x f x x -+

…在(,)-∞+∞上是减函数，那么a 的取值范围是( )

A ．1(,1)2

B ．(0,1)

C ．13(,]24

D ．3[,1)4

【解答】解：因为函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称， 所以()log a f x x =．因为(12)1,2()(1),2a x x g x f x x -+

所以01

1202(12)1(21)a a a a log <

-

…解得1324a

故选：C ．

9．（5分）已知双曲线22

1222:1(0,0),,x y E a b F F a b

-=>>分别为E 的左，右焦点，1A ，2A 分别

为E 的左，右顶点，且1222||||A A A F …．点M 在双曲线右支上，若121||2||MF a MF -的最大值为1

4，

则E 的焦距的取值范围是( ) A ．3

(1,]2

B ．[2，3]

C ．(1，2]

D ．(1，3]

【解答】解：设双曲线E 的焦距为2c ，

因为点M 在双曲线右支上，所以12||||2MF MF a -=，12||||2MF MF a =+， 则

122222222

2

1122222||2||||||

11

4||||(||2)||4||48||4||MF a MF MF MF a MF MF MF a MF a MF a a

MF a MF -====+++++?，

当且仅当2224||||a MF MF =，即2||2MF a = 时取等号，所以11

84

a =，解得12a =．

因为122||||AA A F …，所以2a c a -… 可得3a c …， 所以1

133

所以1312

c

<

?，即123c

10．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512

π

个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是( ) ①函数()y f x '=的图象关于直线6

x π

=-

对称；

②函数()y f x '=的图象关于点(,0)3π

对称；

③函数()y f x '=的图象在区间(,)66

ππ

-上单调递减；

④函数()y f x '=的图象在区间2(,)63

ππ

上单调递增．

A ．①④

B ．②③

C ．①③

D ．②(④

【解答】解：由题意可知55()sin[2()]sin(2)sin[(2)]cos(2)126323

f x x x x x πππππ

=+=+=++=+，

令23

x k π

π+=，k Z ∈，求得,26

k x k Z ππ

=

-∈，可得 函数()f x 的图象的对称轴为直线,26

k x k Z ππ

=

-∈，故①正确； 令23

2

x k π

π

π+=+

，k Z ∈，求得212

k x ππ

=

+

，可得 函数()f x 的图象的对称中心为点(

,0)212

k ππ

+，k Z ∈，②不正确； 在区间(,)66ππ-上，22(0,)33

x ππ

+∈，函数()f x 单调性递减，故③正确；

在区间2(,)63ππ上，2(3x π+∈23

π

，5)3π，函数()f x 没有单调性，故④错误，

故选：C ．

11．（5分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，准线交x 轴于K ，若||

||

AF AK 最小，则||||(AK BK += ) A ．4

B ．8 C

．D

．【解答】解：根据题意，不妨设点A 在第一象限，过点A 作准线的垂线，垂足为1A ． 由题意可得(1,0)F ，(1,0)K -．因为1||||AF AA =，所以11||||sin ||||AA AF AKA AK AK ==∠，若

||

||

AF AK 最小，则1sin AKA ∠ 最小，即1AKA ∠ 最小，

由题知当AK 与抛物线24y x = 相切时，1AKA ∠ 最小． 设直线AK 的方程为(1)y k x =+，则0k >．

与抛物线方程联立，得2(1)

4y k x y x

=+??=?消去x 得2440ky y k -+=，

由△216160k =-=，得1k =，所以14

AKA π

∠=

，A 点坐标为(1,2)，

所以11||||||||2AF AA A K KF ====，此时四边形1AFKA 是正方形，

AB x ⊥

轴，所以||||AK BK ==

||||AK BK +=

故选：D ．

12．（5分）已知函数()f x 对x R ?∈均有1

()2()2

f x f x mx +-=-，若()f x lnx …

恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，]e

B ．56

(,]e --∞-

C

．(-∞

D

．)+∞

【解答】解：根据题意，将x -代入x ，得1()2()2

f x f x mx -+=--． 由1()2()21

()2()2

f x f x mx f x f x mx ?

+-=-????-+=--??得1()6f x mx =--，

函数1()6f x mx =--

的图象恒过点1

(0,)6

-． 设()g x lnx =，当函数1

()6

f x mx =--的图象和()

g x lnx =的图象相切时，设切点坐标为0(x ，0)y ，

由1()g x x '=，得切线斜率00001

()16()0lnx k g x x x --='==-， 解得5

6

0x e =．此时5656

1k e e

=

=-，则要使()f x lnx …

，只需56m e --…，解得56

m e --?， 所以实数m 的取值范围是5

6

(,]e -∞--， 故选：B ．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知(3,1)a =r

，2(4,23)b t =-+r ，若9a b =r r g ，则t = 3± ．

【解答】解：由9a b =r r g 得212239t -++=，解得3t =±．

故答案为：3±．

14．（5分）若1sin()63πα+=-，(0,)απ∈，则2cos(2)3πα-= 79

- ．

【解答】解：因为1

cos()cos()sin()36263

ππππααα-=+-=+=-，

所以22217

cos(2)2cos ()12()13339

ππαα-

=--=?--=-． 故答案为：7

9

-．

15．（5

分）函数()f x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a 的取值范围是 [6-，2] ． 【解答】解：根据题意，

函数()f x a =+，

其导数()f x '=+

则f '（1）1=； 即切线的斜率k f ='（1）1=；

又由f （1）a =，即切点的坐标为(1,)a ， 所以函数()f x 在1x =处切线方程为1y x a =+-，

圆22:2440C x y x y +-+-=，变形可得22(1)(2)9x y -++=，则C 的圆心为(1,2)-，半径

3r =，

则圆心到切线的距离d =

，

则有26，解可得：62a -剟， 即a 的取值范围为[6-，2]； 故答案为：[6-，2]．

16．（5分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11a =，2211122n n n n n n n n a a a a a a ++++=+，则n a =

1

2

22,2,n n

n n -?????

为奇数

为偶数 ；{}n a 的前10项和10S = ． 【解答】解：依题意，由2211122n n n n n n n n a a a a a a ++++=+，可得

11(2)()0n n n n n a a a a ++-+=．

Q 数列{}n a 的各项均为正数， 120n n n a a +∴-=，即12n n n a a +=． 11a =Q ，22a ∴=．

Q 当2n …时，有112n n n a a --=，则

1

1

2n n a a +-=． ∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项、2为公比的等比数列；

偶数项是以2为首项、2为公比的等比数列． 1

1

21122

k k k a ---∴==g ，令21k n -=，得1

2

n k +=，则当n 为奇数时，12

2

n n a -=；

1

222

2k k

k a -==g ，令2k n =，得2

n

k =，则当n 为偶数时，22n

n a =．

综上所述，可得12

22,2,n n n n a n -??=???

为奇数

为偶数．

101210S a a a ∴=++?+

1392410()()a a a a a a =++?++++?+

425(122)(222)=++?++++?+

55122(12)

1212

--=+

-- 93=．

故答案为：

1 2

2

2,

2,

n

n

n

n

-

?

?

?

?

?

为奇数

为偶数

；93．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD

-中，PD⊥平面ABCD，//

CD AB，2

AD CD BC

===，4

AB=．

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；

（Ⅱ）若三棱锥C PBD

-的体积为3，求PB的长．

【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE AB

⊥于点E．

因为//

CD AB，2

AD CD BC

===，4

AB=，

所以四边形ABCD是等腰梯形，

可得1

AE=，3

BE=，3

DE=，23

BD=

所以222

AB AD BD

=+，

所以DB AD

⊥．

又因为PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以DB PD

⊥．

因为AD PD D

=

I，PD、AD?平面PAD，

所以BD⊥平面PAD．

因为BD?平面PBD，

所以平面PAD⊥平面PDB．

（Ⅱ）1

2332

ECD S ?=??=．

因为三棱锥C PDB -的体积为3， 所以1

333

C PE

D P ECD V V PD --==??=，

解得3PD =．

在R PDB ?中，23BD =，3PD =， 所以2212921PB BD PD =+=+=．

18．（12分）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1

1,1a c b c a ac

=+=-．

（Ⅰ）求角B ；

（Ⅱ）若ABC ?的周长为126+ABC ?的面积． 【解答】解：（Ⅰ）由1

1,1a c b c a ac

=+=-得221a c ac +=-，

在ABC ?中，由余弦定理得222111

cos 222a c b ac B ac ac +---===-

又因为(0,)B π∈， 所以23

B π

=

． （Ⅱ）因为ABC ?的周长为126+， 所以126a b c ++=+，即26a c += 所以222()224a c a c ac +=++=． 又因为221a c ac +=-，

所以23c =，由（Ⅰ）知sin B =

，

所以ABC ?的面积1sin 2ABC S ac B ?==．

19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由； （Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60)内定义为“不合格”． ①请将下面的22?列联表补充完整：

②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率． 附：

2

()()()()

K n a b c d a b c d a c b d ==+++++++g ．

【解答】解：（Ⅰ）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）． 理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y ． 则

1121

(2810)(70)505002

y ?+++-?=， 解得1

7674.176

y =≈，

显然74.1775<，故该同学的测试成绩不低（或不太低）； 考生的理由如下亦可： 平均成绩1

(245855106512751085895)73.850

x =

??+?+?+?+?+?=， （或450.04550.16650.2750.24850.2950.1673.8)x =?+?+?+?+?+?= 显然73.875<，故该同学的测试成绩不低（或不太低）． （Ⅱ）①填表如下：

合格 不合格 合计 男生 26 4 30 女生 14 6 20 合计

40

10

50

②2

2.08 2.7.6()()()()30204010

K a b c d a c b d =

=≈<++++???， 故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关． （Ⅲ）从50人随机抽取5人的比例为

51

5010

=，