四边形的存在性(讲义)

四边形的存在性（讲义）

?课前预习

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为(3，4)，若B为x轴上一点，且

恰好使得以A，O，B为顶点的三角形是等腰三角形，则点B的坐标为_____________．

提示：两定点一动点的等腰三角形存在性问题，考虑两圆一线．

2.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=8，动点E从点B出发，以每秒1

个单位长度沿BA方向向终点A运动；同时动点D从点A出发，以每秒1个单位长度沿AC方向向终点C运动，当点D到达终点时，两点同时停止运动．设点D的运动时间为t秒，当△ADE是等腰三角形时，t的值为_______．

提示：夹角固定两点动的等腰三角形存在性问题，列方程求解时要充分考虑夹角、等腰三角形三线合一的使用．

C B

?知识点睛

1.存在性问题的处理思路

①分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素

（判定等）考虑分类．

②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．

③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

2.菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化探究思想来分析，将复杂、

陌生问题转化为简单、熟悉问题解决．如：

①菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解

决．

②矩形存在性问题通常转化为直角三角形存在性处理．

③正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理．

?精讲精练

1.如图，已知二次函数的解析式为y=x2+6x+8，抛物线与x轴交于A，B两点，

点C(-1，n)在抛物线上；若点P在直线AC上，点Q在坐标系内，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为_____________________．

2.如图，已知抛物线y=x2-x-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

（1）若点P在对称轴右侧的抛物线上，使得△PAC为直角三角形，则点P 的坐标为_____________________；

（2）将△OAC补成矩形，使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，且第三个顶点落在矩形这一边的对边上，则矩形未知顶点的坐标为_________________．

3. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是

抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 与x 轴交于点

E ，连接BD ．已知点P 为BD 的中点，过点P 作P

F ⊥x 轴于点F ，点

G 为抛物线上一动点，点M 为x 轴上一动点，点N 为直线PF 上一动点，若以点F ，M ，N ，G 为顶点的四边形是正方形，则点M 的坐标为__________________ ____________________．

4.如图，在平面直角坐标系中，直线

y x

=-与抛物线2

y x bx c

=-++交于

A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P 作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

5.如图，已知直线

y x

=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点

O顺时针旋转90°后得到△COD．

（1）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式．

（2）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（1）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．

(0)

B，，B2(-5，0)，B3(5，0)，B4(6，0)

2.4或12-4

?精讲精练

(2(2

Q Q

，，Q3(-4，2)，Q4(-3，-1)

2.（1）

5735

()()

2424

P P-

，，，；

（2）第一种情况：未知点D(-1，-2)；

第二种情况：未知点4812

()()5555

E F --，，，

3. 10)M ，20)M ，30)M ，40)M

4. （1）2135

442y x x =--+；

（2）①231848

82555l x x x =--+-<<（），最大值为15；

②1(

2)P ，22)P ，3P 5. （1）27

y x x =-+；

（2）存在，菱形周长为8或．

平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题【真题典藏】 1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x y 2 - =交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值．（2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、 C ，如点 D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．图1 图2 2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2， 0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322 -=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形；（2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标；（4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标． 3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数3 34 y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数3 2 y x = 的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；

中考数学解题策略专题02 平行四边形的存在性问题

中考数学解题策略专题02 平行四边形的存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例?如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1 例?如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1

例? 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点D ，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．图 3-1 例? 如图4-1，已知抛物线241633 y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1 例?如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B

二次函数中特殊四边形的存在性问题

网课：二次函数中特殊四边形的存在性问题学习目标： 1、通过二次函数中的特殊四边形存在性问题的探究、学习，获取解决这类问题的基本方法；经历解决二次函数中的特殊四边形存在性问题的探索过程，培养学生的理解能力，抽象能力，能正确认识问题的本质，提高知识迁移能力，积累解决问题的经验，感受数学知识对解决问题的价值； 2、通过函数中的特殊四边形存在性问题的解决，渗透“转化”、“分类”、“方程”、“数形结合”等数学思想，并在问题解决中体验成功的快乐，感受数学的魅力. 学习重点：利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 学习难点：从复杂的函数背景中提炼问题的本质，利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 背景问题：如图，抛物线中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， OC=3，点D是直线AC与抛物线的交点。问题一：在平面内是否存在一点B，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出B点的坐标；若不存在，请说明理由。归纳：_________________________________________________ 问题二：若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2）归纳： _____________________________________________________________________________

问题三：若点E（2,3）在抛物线上，点F、P在直线AC上，当EF所在直线与x轴垂直时，平面内是否存在一点Q，使得以点E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2）归纳： ______________________________________________________________________________ 问题四：点是直线AC上一点，若点N是平面内一点，M是抛物线对称轴上的一点，是否存在一点M使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．归纳： _______________________________________________________________________

二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，

(完整版)一次函数与特殊四边形存在性问题(培优拓展)

一次函数与特殊四边形的存在性问题（培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．（1）试说明CE平分∠BED；（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．（1）当OA=时，求点C的坐标．（2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积．（3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数与四边形存在性问题

一次函数与四边形综合专题 1．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t） ①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） ②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由． 2．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F．（1）求直线AB的解析式；（2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A （，0）、B（，2），∠CAO=30°．（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；（3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若点A、B、O与平面点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．（1）当点P移动到点D时，t=秒；

ZBP平行四边形存在性问题之两定两动.doc

学习必备欢迎下载问题 1：存在性问题的处理框架是什么？问题 2：两定两动的平行四边形存在性问题的分类标准是什么？ 1. 如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，OA=8， OC=12，直线与x 轴交于点D，与 y 轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点 O 恰好落在AB 边上的点 F 处，M 是直线 DE 上的一个动点，直线DF 上是否存在点N，使以点 C，D，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？则符合题意的点N 的坐标是？ 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x 轴分别交于点 B 和点 C， D 是直线 AC上一动点， E 是直线AB 上一动点．若以O， D， A，E 为顶点的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为？反思与总结：问题 1：平行四边形存在性问题的处理框架中第一步：研究背景图形，需要研究哪些内容？问题 2：画出对应图形后求解点坐标的套路是什么？

练习 1.如图，直线与 x 轴、 y 轴分别交于A， B 两点，直线BC x 轴交于点C，且与 ∠ABC=60°，若点 D 在直线AB 上运动，点E在直线 BC 上运动，且以O， B， D，E 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标为 ( ) 2..如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ ACO=30°，把矩形沿直线 DE 翻折，使点 C 落在点 A 处， DE 与 AC 相交于点 F，若点 M 是直线 DE上一动点，点N 是直线 AC 上一动点，且以O，F，M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，则点N 的坐标为 () 3.如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点 C，交 AB 于点 D．若在平面内存在点 E，使得以点 A，C，D，E 为顶点的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为

中考数学压轴题：特殊四边形存在性问题

?? ?? 探究特殊四边形存在性问题 1．如图，抛物线y＝x2－2x－3经过点A（2，－3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB. (1)求点B，C的坐标； (2)若点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标； (3)若点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)令x＝0得y＝－3， ∴C(0，－3)， ∴OC＝3， ∵OC＝3OB， ∴OB＝1， ∴B(－1，0)，把A(2，－3)，B(－1，0)分别代入y＝ax2＋bx－3得： ?a－b－3＝0?a＝1 ?，解得?， ?4a＋2b－3＝－3?b＝－2 ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3； (2)如解图①，过点B作BE⊥AC，交AC延长线于点E. 第1题解图① ∵C(0，－3)，A(2，－3)， ∴AC∥x轴， ∴BE＝3，又∵OB＝1， ∴AE＝3，∴AE＝BE，

∴∠BAE＝45°， ∵∠BDO＝∠BAC＝45°， ∴OB＝OD， ∴D点的坐标为(0，1)或(0，－1)， (3)存在．如解图②. 第2题解图② 当AB∥MN时，由AB＝MN＝32，可知点M与对称轴的距离为3，由y＝x2－2x－3可得对称轴为直线x＝1， ∴点M的横坐标为4或－2，把x＝4和－2分别代入y＝x2－2x－3可得点M坐标，把x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝4＋4－3＝5， (－2，5)． ∴M 1 把x＝4代入y＝x2－2x－3得y＝16－8－3＝5， (4，5)， ∴M 2 当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC＝BN＝2，可知点M与点C重合，∴点M3坐标为(0，－3)， ∴M的坐标为(－2，5)或(0，－3)或(4，5)． 2．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B. (1)求抛物线的解析式； (2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标； (3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．第2题图解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x－1)2＋4(a≠0)． ∵抛物线过点C(0，3)， ∴a＋4＝3，∴a＝－1. ∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3； (2)由(1)得，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，

平行四边形之存在性问题

中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1 【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33 右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33 由于C(0, 3)33 下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33 下，左D2(－4, 1)．由于P(－1, 4)11 右，下D 3(－2, －1)．右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2

常见四边形的存在性

常见四边形的存在性专题一、平行四边形的存在性问题一、技巧提炼模型：平行四边形模型探究如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算例1．（2015?贵阳）如图，经过点C （0，﹣4）的抛物线y=ax 2 +bx+c （a≠0）与x 轴相交于A （﹣2，0），B 两点．（1）a ＞ 0，b 2 ﹣4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断；（2）由抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；（3）存在，理由为：假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，分别求出E坐标即可．【解答】解：（1）a＞0，b2﹣4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（﹣2，0）， ∴B（6，0）， ∵点C（0，﹣4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，

一次函数之平行四边形存在性问题

一次函数与平行四边形 1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为（2,22121y y x x ++）例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________. 2.线段的平移平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________. 例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等方法二：利用中点公式总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4

类型一：三定一动例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决. 说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________

四边形之存在性问题(讲义及答案)

四边形之存在性问题（讲义）课前预习一般悄况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究 ____________ 、 ______ 究 ___________ 、 ____________ 、 ______ （2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例： ① 等腰三角形（两定一动）以定线段作为 ________ 或者— _______________ 确定点的位 ② 置.等腰直角三角形（两定一动）以知识点睛存在性问题处理框架： ① 研究背景图形. ② 根据不变特征，确定分类标准. ③ 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解. ④ 结果验证. 平行四边形存在性问题特征举例：分析定点、动点. ① 三定一动，连接定点出现三条定线段.定线段分别作为平行四边形的 _________ ,利用 _____________ 确定点坐标. ② 两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的 ________ ,则通过 ___________ 确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的 ___________ ，则定线段绕 __________ 旋转，利用 _______________ 确定点的坐标. 结合图形进行验证. ;儿何图形研或者来分类，利用来分类，然后借助确定点的位置. （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证 2. (1) (2)

3.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. ②正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45。角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. 2如图，在平面直角坐标系中，直线y = -?x + 3与X轴、＞' 4 轴分别交于点A, 点C的坐标为（0, -2 ）.若点D在直线 AB上运动，点E在直线AC±运动，当以0, 4, D, E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标.

平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．针对训练 1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M． ①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)． ①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．

二次函数中的平行四边形存在性问题

二次函数中的平行四边形存在性问题目标：1、通过本节课的学习，提高学生分析问题，解决问题的能力。 2、能总结出解决平行四边形存在性问题的一般方法和思路。重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。难点：根据条件求平行四边形的顶点坐标。过程：一、复习 1、平行四边形的性质角：边；对角线： 2、二次函数的相关知识点表达式、顶点坐标、对称轴、增减性二、探索新知 1、単动点（知3点求1点）（1）已知平面上有不在同一条直线上的三点A、B、C，点D是平面上任一点，若此四点能构成平行四边形则符合条件的D点有几个？（）

学生画图说明思考：如何找第四点？找第四点的方法？ (2)类题（1）已知抛物线与坐标轴分别交于A（-1、0）、B （3、0）、C （0、3）三点，能否在平面内在找一点D使得它们四点围成的四边形为平行四边形？学生分析总结规律、思路。 ①、根据平行四边形的边、对角线的性质（对边平行且相等，对角线互相平分）我们可以选择一种情况作为画图的依据。 ②、在求点的坐标时（以边为例）我们先满足对边平行再用对边相等求出要求的点的坐标。

2、双动点（知2点求2点）（1）学生再次画图说明（给出两点画出另外两点）（2）类题如图，抛物线y= 13 x 2-mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0．-1）．且对称轴x=l ． ① 求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标； ② 点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标。

点A，点B是定点点P，点Q是动点分两种情况：AB为边，AB为对角线 3、小结 4、布置作业 5、

四边形之存在性问题(二)(讲义及答案)

四边形之存在性问题（二）（讲义）课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究、；几何图形研究、、．（2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动）以定线段作为或者来分类，利用确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动）以来分类，然后借助或者确定点的位置．（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．

精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l：y = 2x - 4 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标．（2）若P 是直线x =-2 上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快. 三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点，利用横纵坐标的平移变化得出结论。四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便。（辅助手段~三角形全等，等积法，中点坐标公式）例1.已知抛物线 b ax ax y ++-=22 与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．例2、如图，抛物线：y= x 2﹣x ﹣ 与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧），A （﹣1，0）、B （3，0），顶点为C （1，﹣2）（1）求过A 、B 、C 三点的圆的半径．（2）在抛物线上找点P ，在y 轴上找点E ，使以A 、B 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 、E 的坐标．例 3．已知，如图抛物线

23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例4.已知抛物线：x x y 22 12 1+- = （1）求抛物线1y 的顶点坐标. （2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式. （3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、 N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由. 例5．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理 x y y 12 3 4 5 6 7 8 9 54321 -1-2-3-4 1 y 2 -1

四边形存在性问题解析

四边形存在性问题解析 1.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，，点C 的坐标为（－18，0）。（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直线 DE 的解析式；（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、 Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF ，求出BF 、CF 的长度，即可求出B 点坐标。（2）已知E 点坐标，欲求直线DE 的解析式，需要求出D 点的坐标．构造△ODG ∽△OBA ，由线段比例关系求出D 点坐标，从而可以求出直线DE 的解析式。（3）如图所示，符合题意的点Q 有4个：设直线y=－x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，。 ①菱形OEP 1Q 1，此时OE 为菱形一边。则有P 1E=P 1Q 1=OE=4，P 1F=EF －P 1－4。易知△P 1NF 为等腰直角三角形， ∴P 12 1F=4－设P 1Q 1交x 轴于点N ，则NQ 1=P 1Q 1－P 1N=4－（4－）。

又ON=OF－，∴Q1（，－）。 ②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－ 2）。 ③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。 ④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或y轴对称，∴Q4（－2，2）。综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为： Q1（），Q2（－），Q3（4，4），Q4（－2，2）。 2.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴、y轴上，且OA、OB的长满足方程x2﹣16x+64=0．（1）求点A、B的坐标；（2）将点A翻折落在线段OB的中点C处，折痕交OA于点D，交斜边于点E，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内，是否存在点F使点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，?ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动，两点均运动到点D停止．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）在相遇前，是否存在过点M和N的直线将?ABCD的面积平分？若存在，请求出所需时间；

若不存在，请说明理由．（3）若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 3．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图，已知折痕与边BC交于点E，连结AP、EP、EA．求证：△ECP∽△PDA；（2）若△ECP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（3）在（2）的条件下以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，问在坐标平面内是否存在点M，使得以点A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．

四边形存在性问题

一、平行四边形存在性问题姓名： 1．（4月8日作业）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，2），B（b，0），且a，b满足+b2﹣8b+16＝0．（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC是以线段AB为底的等腰三角形？若存在，试求出点C的坐标：若不存在，试说明理由．（3）点A关于点（0，﹣1）对称的点D坐标为；是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点P、Q的坐标；若不存在，试说明理由．

2．（4月9日作业）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，若A点的纵坐标为﹣2．（1）求反比例函数的解析式和点B坐标；（2）根据图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若C是双曲线上的动点，D是x轴上的动点，是否存在这样的点C和点D，使以A、B、CD为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出C、D坐标；若不存在，请说明理由．

3．（4月9日作业）如图，把矩形纸片AOCD置于直角坐标系中，O为坐标原点，，把矩形纸片沿直线AF折叠，使得点D与OC上的点E重合，这时AE平分∠OAF．（1）填空：∠DAF∠EAF（填“＞”、“＜”或“＝”）；（2）求出直线AE的解析式及点F的坐标；（3）设点M是直线AE上的一个动点，过点M作AD的平行线，交y轴于点N，是否存在点M，使得以M、N、D、A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（4月9日作业）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB 的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．

四边形的存在性(习题及答案).

四边形的存在性(习题) I如图，在平面直角坐标系中，直线y =- j+2与兀轴交于点 2 A,与y轴交于点B,抛物线y =-丄加+c经过A, S两 2 点且与x轴的负半轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线ABh方抛物线上的一个动点，当ZABD=2ZBAC 时，求点D的坐标； (3)已知E, F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B, 0, E, F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标. 备用图 V* D C() A X X

2 如图，在平面直角坐标系中，RtA/\BC的边BC在X轴上， ZABC=90。，以A为顶点的抛物线）=-x2+/x+c经过点c（3, 0）,交y轴于点E（0, 3）,动点P在对称轴上. <1）求抛物线解析式. （2）若点M是平面内的任意一点，在X轴上方是否存在点P, 使得以点P，M, E, C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理山.

3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x\hx+c的图象与X 轴交于A, B两点，4点在原点的左侧，S点的坐标为(4, 0), 与y 轴交于C点(0, -4),点P是直线BC下方的抛物线上一动点. <1)求这个二次函数的表达式. (2)连接PO, PC,并把△POC■沿CO翻折，得到四边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理山.

4如图，在平面直角坐标系M乃中，直线/经过原点O,且与X 轴正半轴的夹角为30。，点M在X轴上，OM的半径为2, OM与直线/相交于A, B两点，点N是坐标系平面内任一点.若A, B, M, N所组成的四边形为正方形，则点M的坐标为.