导数在研究函数中的应用教案

第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)30～32页

)

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1. (选修22P28例1改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________．

答案：(－1，11)

解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．

2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________．

答案：e

解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e.

3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________．

答案：[0，2π]

解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．

4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函

数，则b 的取值范围是________．

答案：(－∞，4]

解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[2，

＋∞)上恒成立．

5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大．

答案：10

解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0

V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当00；当10

1. 函数的单调性与导数

在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数；

如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数．

2. 函数的极值与导数

(1) 函数极值的定义

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的极小值．

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值．

(2) 求函数极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值．

②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值．

3. 函数的最值

(1) 最大值与最小值的概念

如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．

(2) 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

②将函数y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值．

4. 生活中的优化问题

解决优化问题的基本思路是：

优化问题?

?用导数解决数学问题?优化问题答案

题型1导数与函数的单调性

例1已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；

(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

解：(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，

∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．

(2) f′(x)＝3x 2－a.

∵ f(x)在实数集R 上单调递增，

∴ f ′(x)≥0恒成立，即3x 2－a ≥0恒成立，∴ a ≤(3x 2)min . ∵ 3x 2的最小值为0，∴ a ≤0.

(3) 假设存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，

∴ f ′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a ≥3x 2.

又3x 2∈[0，3)，∴ a ≥3.

∴ 存在实数a 使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a ≥3.

备选变式（教师专享）

(1) 已知函数 f(x)＝12x 2－mlnx ＋(m －1)x ，当 m ≤0 时，试讨论

函数 f(x) 的单调性；

(2) 若函数f(x)＝－12()x －22＋blnx 在(1，＋∞)上是减函数，求

实数b 的取值范围．

解：(1)函数的定义域为(

)0，＋∞，f ′(x)＝x －m x ＋(m －1)＝x 2＋（m －1）x －m x ＝（x －1）（x ＋m ）x

. ①当－10，得01，

令f′(x)<0，得－m

∴ 函数 f(x)的单调递增区间是()0，－m 和()1，＋∞，单调递减

区间是()－m ，1；

②当m ≤－1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是()0，1和()－m ，＋∞，单调递减区间是()1，－m .

(2)由f(x)＝－12()x －22＋blnx ，得f′(x)＝－(x －2)＋b x ，

由题意，知f′(x)≤0即－()x －2＋b x ≤0在()1，＋∞上恒成立，

∴ b ≤[]x ()x －2min ，

当x ∈()1，＋∞时，[]x ()x －2∈()1，＋∞，∴ b ≤1.

题型2 导数与函数的极值、最值

例2 设函数f(x)＝(x 2＋ax ＋b)e x (x ∈R )．

(1) 若a ＝2，b ＝－2，求函数f(x)的极大值；

(2) 若x ＝1是函数f(x)的一个极值点．

① 试用a 表示b ；

② 设a ＞0，函数g(x)＝(a 2＋14)e x ＋4.若ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a 的取值范围．

解：(1) ∵ f′(x)＝(2x ＋a)e x ＋(x 2＋ax ＋b)e x ＝[x 2＋(2＋a)x ＋(a ＋b)]e x ，

当a ＝2，b ＝－2时，f(x)＝(x 2＋2x －2)e x ，

则f′(x)＝(x 2＋4x)e x ，

令f′(x)＝0得(x 2＋4x)e x ＝0，

∵ e x ≠0, ∴ x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4或x ＝0，

列表如下：

Z]Z

∴当x＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝6 e4.

(2) ①由(1)知f′(x)＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]e x.

∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，

即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a.

②由①知f′(x)＝e x[x2＋(2＋a)x＋(－3－a)]

＝e x(x－1)[x＋(3＋a)]，

当a＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增，

∴函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a＋2)e.

∵f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e4＞0，

∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，

即[－(a＋2)e，(2a＋13)e4]．

又g(x)＝(a2＋14)e x＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a2＋14)e4，(a2＋14)e8]，

∴(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＝(a2－2a＋1)e4＝(a－1)2e4≥0，

∴存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只须(a2＋14)e4

－(2a＋13)e4＜1T(a－1)2e4＜1T(a－1)2＜1

e4T1－

1

e2＜a＜1＋

1

e 2.

备选变式（教师专享）

已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x(a 、b ∈R )在点x ＝－1处取得极大值为2.

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤c ，求实数c 的最小值．

解：(1) f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.

由题意，得?????f （－1）＝2，f ′（－1）＝0，即?????－a ＋b ＋3＝2，3a －2b －3＝0，解得?

????a ＝1，b ＝0， 所以f(x)＝x 3－3x.

(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.

因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x ∈[－2，2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2.

则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1、x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c ≥4.

所以c 的最小值为4.

题型3 导数在实际问题中的应用

例3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.

(1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2) 某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解：(1) S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2(0

(2) V＝(2x)2

2

2(60－2x)＝22x

2(30－x)(0

所以V′＝62x(20－x)，令V′＝0，得x＝20，

当0

此时，包装盒的高与底面边长的比值为

2

2（60－2x）

2x

＝

1

2.

变式训练

某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩)．经预测，一个桥

墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x ，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1＋x)x 万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y 万元．

(1) 试写出y 关于x 的函数关系式；

(2) 当m ＝1 280米时，需要新建多少个桥墩才能使y 最小？

解：根据题意，需要建? ??

??m x ＋1个桥墩和m x 段桥面工程． (1) y ＝256? ????m x ＋1＋m x

(1＋x)x ＝m ? ????x ＋256x ＋m ＋256? ??

??x>0，m x ∈N . (2) 当m ＝1 280时，y ＝1 280? ??

??x ＋256x ＋1 536， y ′＝1 280? ??

??12x －256x 2，令y′＝0，得x ＝64， 当064时，y ′>0.

所以当x ＝64时，y 有最小值16 896，此时要建21个桥墩． 答：需要建21个桥墩才能使y 最小．

【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)

已知函数f(x)＝lnx －ax(a ∈R )．

(1) 求函数f(x)的单调区间；

(2) 当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．

审题引导： ① 知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f ′(x)<0的解区间，并注意定义域；

② 先研究f(x)在[1，2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值；

③ 由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论．

规范解答： 解：(1) f′(x)＝1x －a(x>0)．(1分)

① 当a ≤0时，f ′(x)＝1x －a ≥0，即函数f(x)的单调增区间是(0，

＋∞)．(3分)

② 当a>0时，令f′(x)＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0

＝1－ax x >0，当x>1a 时，f ′(x)＝1－ax x <0，所以函数f(x)的单调增区间

是? ????0，1a ，单调减区间是????

??1a ，＋∞.(6分) (2) ① 当1a ≤1，即a ≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，

所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)

② 当1a ≥2，即0

所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)

③ 当1<1a <2，即12

?????1，1a 上是增函数，在区间????

??1a ，2上是减函数， 又f(2)－f(1)＝ln2－a ，

所以当12

当ln2≤a<1时，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分)

综上可知，当0

当a ≥ln2时，最小值是ln2－2a.(14分)

1. (2013·新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是________．

答案：(－1，＋∞)

解析：因为2x (x －a)<1，所以a>x －12x ，令f(x)＝x －12x ，所以f′(x)

＝1＋2－x ln2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0－1＝－1，所以a 的取值范围是(－1，＋∞)．

2. (2013·大纲)若函数f(x)＝x 2

＋ax ＋1x 在? ????12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．

答案：a ≥3

解析：f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在? ??

??12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在? ????12，＋∞上恒成立．令g(x)＝1x 2－2x ，求导可得g(x)在? ????12，＋∞上的最大值为3，所以a ≥3.

3. (2013·扬州期末)已知函数f(x)＝lnx －m x (m ∈R )在区间[1，e]上

取得最小值4，则m ＝________．

答案：－3e

解析：f′(x)＝1x ＋m x 2＝x ＋m x 2，令f′(x)＝0，则x ＝－m ，且当x<－

m 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x>－m 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f(x)min ＝f(1)＝－m ≤1，不可能等于4；若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f(x)min ＝f(－m)＝ln(－m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m ＝－e 3(－e ，－1)；若－m>e ，即m<－e 时，f(x)min

＝f(e)＝1－m e ，令1－m e ＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m

＝－3e.

4. (2013·南京二模)设函数f(x)＝x 2－(a －2)x －alnx.

(1) 求函数f(x)的单调区间；

(2) 若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；

(3) 若方程f(x)＝c 有两个不相等的实数根x 1、x 2，求证：f′? ??

??x 1＋x 22>0. (1) 解：f′(x)＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－（a －2）x －a x

＝（2x －a ）（x ＋1）x

(x>0)． 当a ≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，由f′(x)>0，得x>a 2；由f′(x )<0，得0

所以函数f(x)的单调增区间为? ????a 2，＋∞，单调减区间为?

????0，a 2. (2) 解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点，则a>0，且f(x)的最小

值f ? ??

??a 2<0，即－a 2＋4a －4aln a 2<0. 因为a>0，所以a ＋4ln a 2－4>0.

令h(a)＝a ＋4ln a 2－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)

＝－2<0，h(3)＝4ln 32－1＝ln 8116－1>0，

所以存在a 0∈(2，3)，h(a 0)＝0.

当a>a 0时，h(a)>0；当0

所以满足条件的最小正整数a ＝3.

又当a ＝3时，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a ＝3时，f(x)有两个零点．

综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.

(3) 证明：因为x 1、x 2是方程f(x)＝c 的两个不等实根，由(1)知a>0.

不妨设0

＝c.

两式相减得x 21－(a －2)x 1－alnx 1－x 22＋(a －2)·

x 2＋alnx 2＝0， 即x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝ax 1＋alnx 1－ax 2－alnx 2＝a(x 1＋lnx 1－x 2－

lnx 2)．

所以a ＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2

. 因为f′? ????a 2＝0，当x ∈? ????0，a 2时，f ′(x)<0，当x ∈? ??

??a 2，＋∞时，f ′

(x)>0，

故只要证x 1＋x 22>a 2即可，

即证明x 1＋x 2>x 21＋2x 1－x 22－2x 2x 1＋lnx 1－x 2－lnx 2

， 即证明x 21－x 22＋(x 1＋x 2)(lnx 1－lnx 2)

即证明ln x 1x 2

<2x 1－2x 2x 1＋x 2. 设t ＝x 1x 2

(0

. 因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t ＝1时，g ′(t)＝0，

所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．

又g(1)＝0，所以当t ∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证．

1. 如果关于x 的方程ax ＋1x 2＝3在区间(0，＋∞)上有且仅有一

个解，那么实数a 的取值范围为________．

答案：a ≤0或a ＝2

解析：由ax ＋1x 2＝3，得a ＝3x －1x 3.

令t ＝1x ，则f(t)＝3t －t 3，t ∈(0，＋∞)．

用导数研究f(t)的图象，得f max (t)＝2，当x ∈(0，1)时，f(t)递增，当x ∈(1，＋∞)时，f(t)递减，所以a ≤0或a ＝2.

2. 已知函数f(x)＝lnx －a （x －1）x ＋1

，若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．

答案：a ≤2

解析：f′(x)＝x 2＋（2－2a ）x ＋1x （x ＋1）2

≥0在(0，＋∞)上恒成立，易得a ≤2.

3. 设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M 、N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________． 答案：22

解析：由题意，M(a 2，a)，N(lna ，a)，故MN 的长l ＝|a 2－lna|＝a 2－lna(a>0)，

由l′＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝

2? ????a ＋22? ????a －22a ， 令l′>0，得l ＝a 2－lna 在? ??

??22，＋∞上单调递增； 令l′<0，得l ＝a 2

－lna 在? ????0，22上单调递减，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．

4. 已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x ，其中e 是自然数的底数，a ∈R .

(1) 当a<0时，解不等式f(x)>0；

(2) 若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围；

(3) 当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f(x)＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解．

解：(1) 因为e x >0，所以不等式f(x)>0即为ax 2＋x>0.

又a<0，所以不等式可化为x ? ??

??x ＋1a <0，所以不等式f(x)>0的解集为? ??

??0，－1a . (2) f′(x)＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x)e x

＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ，

① 当a ＝0时，f ′(x)＝(x ＋1)e x ，f ′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；

② 当a ≠0时，令g(x)＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1>0，所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2，不妨设x 1>x 2，因此f(x)有极大值又有极小值．若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，故f(x)在[－1，1]上不单调．若a<0，可知x 1>0>x 2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]

上单调，因为g(0)＝1>0，必须满足?????g （1）≥0，g （－1）≥0.即?

????3a ＋2≥0，－a ≥0.所以－23≤a ≤0.综上可知，a 的取值范围是????

??－23，0. (3) 当a ＝0时， 方程即为xe x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不

是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.

令h(x)＝e x

－2x －1，因为h′(x)＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又

h(1)＝e －3<0，h(2)＝e 2－2>0，h(－3)＝e －3－13<0，h(－2)＝e －2>0，所

以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数k的所有值为{－3，1}．

1. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒为0，则参数范围确定．

2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值．

3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．

请使用课时训练(A)第12课时(见活页)．[备课札记]