高数第二章习题

习题2-1

1. 设212s gt =

，求

2

d d t s

t =. 解：

d d s gt t =，故2

d 2d t s g t ==. 2. 下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.

(1) 000()()

lim ;x f x x f x A x

?→-?-=?

解：0000000()()()()

lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x

?→?→-?--?-'=-=-?-?

故0()A f x '=- (2) 0

00()

()0,lim

;x x f x f x A x x

→==- 解：0

0000()()

lim

lim ()x x x x f x f x f x x x x x

→→'=-=---

故0()A f x '=- 解：

0000000

0000000000()()()()()()lim

lim ()()()()

lim lim

()()2()

h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x →→→→+--+---??

=-????

+---=+-'''=+= 故02().A f x '= 3. (1) 设1

()f x x

=

，求00()(0);f x x '≠

解：0

021()().x x f x f x x =''==-

(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--?

?-求(0).f '

解：

00()(0)

(0)lim

lim(1)(2)()

0(1)!

x x n f x f f x x x n x n →→-'==--?

?--=-

4.

讨论函数y =0x =点处的连续性和可导性.

解：00(0)x f →==,故函数在0x =处连续.

又2300

lim

lim 0x x x x -→→-==∞-,故函数在0x =处不可导. 5. 设函数2,1,

(),

1.

x x f x ax b x ?≤=?

+>? 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？

解：因2

1

1

lim ()lim 1(1)x x f x x f --

→→=== 11

lim ()lim()x x f x ax b a b +

+

→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=

又211()(1)1

(1)lim

lim 2,1

1x x f x f x f x x ---→→--'===-- 1

11(1)lim lim ,1

1x x ax b ax a

f a x x +

++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，

即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导. 6. 试求过点(3，8)且与曲线2

y x =相切的直线方程.

解：曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为2k x =.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：

82(3)y x x -=-，且与曲线的交点可由方程组解得2

82(3)

y x x y x

-=-??=? 为(2，4)，(4，16)即为切点. 故切线方程为：44(2),168(4).y x y x -=--=-

7. 求下列函数的导数:

(1) y =

(2) y =

(3) y =

;

解：

(1)y '=

(2)5

323

y x -'=-

(3)251232

6

y x

x +-==

5

61.6

y x -'=

8. 设12()()()

()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明：

1212()

()()

()()()()

()

n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++

证明：

1212121212()1

[()()()()()()()()

()]

()()

()()()

.()()

()

n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x

f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=++

+

习题2-2

1.

求下列函数的导数：

(1) 3e x

y =; (2) 2

arctan y x =; (3) y = (4) 2(1)ln(y x x =+?;

(5) 221sin

y x x =?； (6) 23

cos y ax =（a 为常数）； (7) 1arccos y x =； (8) 2

(arcsin )2

x y =；

解： ⑴ 33e x

y '=;

⑵ 4

21x

y x '=

+;

⑶

2y '==

⑷

2

2ln((1)(1y x x x '=?+++

2ln(x x =;

⑸ 2

2231122sin

cos ()y x x x x x '=+?- 22121

2sin cos x x x x

=-；

⑹ 3

3

2

2cos (sin )3y ax ax ax '=?-?23

3sin 2ax ax =-；

⑺

21

()y x '=

-

= ⑻

12arcsin

2

2

x y '=

2arcsin

x

=；

2.

3arccos

3x y -=-求3

x y ='.

解：

2

1(6)

3x x y x ---'=- 3

1

3

x y ='

= 3.

试求曲线e x

y -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.

解：231

e e (1)3

x

x

y x ---'=-?+

1

2

. 3

x x y y ==-'

'

=-=∞

故在点（0，1）处的切线方程为：

2

1(0)3

y x -=-

-，即2330x y +-= 法线方程为：2

1(0)3

y x -=-，即3220x y -+=

在点（－1，0）处的切线方程为：1x =-

法线方程为：0y =

4. 求函数11ln

21x

y x

+=

-的反函数()x y ?=的导数. 解：

2

1

[ln(1)ln(1)]

2

d 1111()d 2111y x x y x x x x =+--=+=

+--

故反函数的导数为：

2d 11d d d x x y

y x

==- 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数

d d y x

： （1） cos sin ,

sin cos ,x a bt b at y a bt b at =+??

=-? (,a b 为常数)； （2）

(1sin ),

cos .x y θθθθ=-??

=?

.

解：（1）

d d cos sin d d d sin cos d cos sin cos sin y y ab bt ab at

t x x ab bt ab at

t

bt at

at bt +==

-++=

-

（2）d d cos sin cos sin d d d 1sin (cos )1sin cos d y y x x θθθθθθθθθθθθθθ

--===

-+---

6. 已知e sin ,

e cos ,

t

t

x t y t ?=??=??求当π3t =时d d y x 的值. 解：

d d

e cos e sin cos sin d d d e sin e cos sin cos d t t t t y

y t t t t

t x x t t t t

t

--===

++

π3

ππcos sin

d 332ππd sin cos 33

t y x

=

-=

=+.

7. 求下列隐函数的导数：

(1) 3

3

30x y axy +-=； (2) ln()x y xy =；

(3) e e 10y

x

x y -=； (4) 22

ln()2arctan

y x y x

+=； (5) e

x y

xy +=

解：(1) 两边求导，得：

2

2

33330x y y ay axy ''+?--=

解得 2

2ay x y y ax

-'=-.

(2) 两边求导，得：

1

1ln()()y xy y y xy xy

''=+?

+ 解得 (ln ln 1)

x y

y x x y -'=

++.

(3) 两边求导，得： e e e e 0y

y

x

x

x y y y ''+?++=

解得 e e =e e y x

y x

y y x +'-+.

(4) 两边求导，得：

222

211(22)21()y x y

x yy y x y x x

'-'?+=??++ 解得 =

x y

y x y

+'-. (5) 两边求导，得：

e (1)x y y xy y +''+=+

解得 e =e x y x y

y

y x ++-'-.

8. 利用对数求导法，求下列函数的导数： (1)

45

(3);(1)x y x -=

+ (2) cos (sin );x

y x = (3)

2x y = 解：(1)1

(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2

y y y y x x x '''=?=?++--+

145

[]2(2)31

x x x =--+-+

(2)

2cos (ln )(cos ln sin )1

[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )

(sin ln sin )sin x

y y y y x x y x x x x x

x x x x x

'''==?=-+??=-

(3)

211

(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22

111 ].

32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''

==++-+--=+--++-

习题2-3

1. 求自由落体运动2

1()2

s t gt =

的加速度. 解：()s t gt '=

()[()]s t s t g ''''==即为加速度. 2. 求n 次多项式11

01n n n n y a x a x a x a --=++

++的n 阶导数.

解： 1()

()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n y

a x a x a x a a x a n --=++

++?

3.设*

n N ∈，且2n ≥，()ln f x x x =，求()

()n f

x .

4. 验证：函数e sin x

y x =满足关系式220y y y '''-+=

证明：e (sin cos )x

y x x '=+

e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=?

故222cos e e (2sin 2cos )2e sin 0x

x

x

y y y x x x x '''-+=?-++= 5. 求下列函数在指定点的高阶导数：

(1)()f x =

求(0)f ''； (2)21()e ,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；

(3)6

()(10),f x x =+求(5)

(0)f

，(6)(0)f .

解：

(1) 3

22()(1)f x x -'=

=- 52

23()(1)22

f x x x -''=--?

故(0)0f ''=.

(2) 21

()2e

x f x -'=

2121

()4e ()8e

x x f x f x --''='''=

故4(0)e f ''=

，8(0)e

f '''=. (3) 5

()6(10)f x x '=+

43

(4)

2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720

f x x f x x f

x x f x x f x ''=+'''=+=+=+=

故(5)

(0)720107200f

=?=，(6)(0)720f =

6. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d y

x

：

(1) 2

2

2

2

22

b x a y a b +=； (2) 1e y

y x =+； (3) tan()y x y =+； (4) 2

4

2ln y y x +=.

解：(1) 两边对x 求导，得 2

2

220b x a yy '+=

224

222

23b x b y xy b y y a y a y a y

'-'''?=-?=-?=-. (2) 两边对x 求导，得 e e y

y

y x y ''=+

223

e e (2)e ()e (3)

2(2)(2)

y y y y y y y y y y y y y ''----'''?=?==---. (3) 两边对x 求导，得 2

sec ()(1)y x y y ''=++

2321cot ()

2cot()cot()csc()(1)2cot ()csc ().

y x y y x y x y x y y y x y x y '?=--+'''?=+?+?+?+''?=-+?+

(4) 两边对x 求导，得 32

24yy y x y

''+

?= 3

2

322322

2224223

21(223)(1)22(1)2[3(1)2(1)]

.(1)yx y y y x y x y yx yy y y x y y x y y '?=

+''

+?+-?''?=+++-=+

7. 已知()f x ''存在，求22d d y

x

：

(1) 2

()y f x =； (2) ln ()y f x =. 解：(1) 2

2()y xf x ''=

222

2

2

2()22() 2()4()

y f x x xf x f x x f x '''''=+?'''=+

(2) ()

()

f x y f x ''=

2

2()()[()]()

f x f x f x y f x '''-''=

8. 求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d y

x

：

⑴ (sin ),

(1cos ),

x a t t y a t =-??

=-? (a 为常数)；

⑵ (),()(),x f t y tf t f t '=??'=-?设()f t ''存在且不为零.

解：⑴ d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t t

t x x a t t t

===

-- 2222

d d sin d sin 1

()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1

=(1-cos )(1cos )1

=.

(1cos )y t t x

x x t t t t

t t t t t a t a t ==?--??---

⑵ d d ()()()d d d ()

d y y f t tf t f t t t x x f t t

''''+-===''

22d d d 111

()()1d d d d ()()d y t t x x x t f t f t t

==?=?=''''.

习题2-4

1. 在括号内填入适当的函数，使等式成立：

⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=; ⑶ 1

d( )d 1x x

=

+； ⑷ 2d( )e d x x -=;

⑸ d( )x

=

; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1

d( )ln d x x

x =; ⑻ d( )x =

. 解： ⑴

(sint)cos t '=

d(sin )cos d t C t t ∴+=. ⑵

1

1

(cos )(sin )sin x x x ωωωω

ω

'-

=-

?-=

1

d(cos )sin d x C x x ωωω

∴-+=.

⑶

1

[ln(1)]1x x

'+=

+ 1

d[ln(1)]d 1x C x x

∴++=

+. ⑷

22211

(e )(2)e =e 22x x x ---'-=-?- 221

d(e )e d 2

x x C x --∴-+=.

⑸

(2)2

x '=

)C x

∴=

. ⑹

2211

(tan3)sec 33sec 333x x x '=??= 2

1d(tan3)sec 3d 3x C x x ∴+=.

⑺ 21111

(ln )2ln ln 22x x x x x '=??=

211

d(ln )ln d 2x C x x x

∴+=.

⑻

(1(2)x x '--=-=

d()C x ∴=

.

2. 根据下面所给的值，求函数2

1y x =+的,d y y ?及d y y ?-：

⑴ 当1,0.1x x =?=时； 解：

2222()1(1)2210.10.10.21

d 2210.10.2d 0.210.20.01.

y x x x x x x y x x y y ?=+?+-+=?+?=??+==??=??=?-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =?=时. 解：

222210.010.010.0201

d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.

y x x x y x x y y ?=?+?=??+==??=??=?-=-= 3. 求下列函数的微分：

⑴ e x

y x =； ⑵ ln x y x

=

； ⑶

y = ⑷ ln tan 5x

y =；

⑸ 286e x x

y x =-； ⑹

2(arctan )y x =.

解：

⑴ d (e )d e (1)d x

x

y x x x x '==+；

⑵ 22

1

ln ln 1ln d ()d ()d d x x

x x

x y x x x x x x ?--'===；

⑶

d d (sin

y x x x '==-=；

⑷ ln tan ln tan 21

d (5

)d (ln 55sec )d tan x

x y x x x x

'==??

? ln tan 1

2ln 55

d sin 2x

x x

=??

； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d x

x

x

x

y x x x x x '=-=+-； ⑹

221

d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==?+； 4. 求由下列方程确定的隐函数()y y x =的微分d y ：

⑴ 1e y

y x =+； ⑵ 22

221x y a b

+=；

⑶ 1

sin 2

y x y =+

； ⑷ 2arccos y x y -=. 解：⑴ 对等式两端微分，得 d e d d(e )y

y

y x x =+ 即d e d e d y

y

y x x y =+

于是e d d .1e y

y

y x x =

- ⑵ 对等式两端微分，得

22112d 2d 0x x y y a b

?+?= 得22d d .b x y x a y

=-

⑶ 对等式两端微分，得 1

d d cos d 2

y x y y =+ 解得2

d d .2cos y x y

=

-

⑷ 对等式两端微分，得

2d d y y x y -=

解得d .y x =

5. 利用微分求下列各数的近似值：

⑴

⑵ ln 0.99；

⑶ arctan1.02.

解：⑴ 1

13

x ≈+

，有

112(1) 2.0083380

==≈?+?=. ⑵ 利用近似公式ln(1)x x +≈，有

ln 0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-

⑶ 取()arctan f x x =，令01,0.02x x ==，

而2

1

()1f x x '=

+，则 2

1

arctan1.02arctan10.02

11 =0.7954.

≈+?+ 6. 设0a >，且b 与n

a 相比是很小的量，证明：

1

.n b a na -≈+

1

1x n

≈+

，有

11(1)n n b b a a n a na

-=≈+?=+. 7. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f 和?均为可微函数：

⑴ 3

4

(())y f x x ?=+； ⑵ (12)3sin ()y f x f x =-+. 解：⑴ 3

4

3

4

d [()]d[()]y f x x x x ??'=++ 3

4

2

3

4

=[()][34()]d f x x x x x x ??''++ ⑵ d d (12)3dsin ()y f x f x =-+

=(12)d(12)3cos ()d ()

(12)(2)d 3cos ()()d [2(12)3cos ()()]d .

f x x f x f x f x x f x f x x f x f x f x x '--+''=--+''=--+

习题二

1. 填空题

（1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 1y x =- .

（2）已知函数2

1arctan ,0,()0,0,x x f x x

x ?

≠?=??=?

则(0)f '= 2π . （3

）设()f x '=2()x

y f e =，则0

d x y

==

.

（4）设()y y x =是由方程sin 1y

e x y -+=确定的隐函数，则0d x y

==

1

2

dx .

（5）设sin sin cos x t y t t t

=??=+?，（t 为参数），则224

d d t y

x π=

2.选择题

（1）设函数2()(1)(2)

(),x

x

nx y x e e e n =---其中n 是正整数，则()(0)y A '=（12年全

国考研题第（2）题） A.1

(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1

(1)

!n n -- D.(1)!n n -

（2）设函数2

1

()sin

(0)f x x x x

=<<+∞，()g x 为其导函数，则（ C ）. A. ()g x 是x →+∞过程的无穷小量 B. ()g x 是x →+∞过程的无穷大量

C. ()g x 不是x →+∞过程的无穷小量，但在(0,)+∞内有界

D. ()g x 不是x →+∞过程的无穷大量，但在(0,)+∞内无界 （3）设函数()f x 在0x =处连续，下列结论错误的是（ A ）.

A.若0

()

lim

x f x x

→存在，则(0)0f =. B.若0

()()

lim

x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.

C.若0

()

lim

x f x x

→存在，则(0)f '存在 D.若0

()()

lim

x f x f x x

→+-存在，则(0)f '存在

（4）设函数()y f x =具有二阶导数，且()()0,0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，y ?与d y 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若x ?>0，则（ A ）.

A.0

B. 0

C.

D.

d <0y y

A.处处可导

B.恰有一个不可导点

C.恰有两个不可导点

D.至少有三个不可导点

3. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f 和?均为可微函数：

⑴ 3

4

(())y f x x ?=+； ⑵ (12)3sin ()y f x f x =-+. 解：⑴ 3

4

3

4

d [()]d[()]y f x x x x ??'=++ 3

4

2

3

4

=[()][34()]d f x x x x x x ??''++ ⑵ d d (12)3dsin ()y f x f x =-+

=(12)d(12)3cos ()d ()

(12)(2)d 3cos ()()d [2(12)3cos ()()]d .

f x x f x f x f x x f x f x x f x f x f x x '--+''=--+''=--+

4. 求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.

(1) 03

sin ,

0,0;,

0,

x x y x x x ≥?==?

0,0;1e 0,0,

x

x x y x x ?≠?==+??=?

(3) 021, 1.,

1,

x y x x x ≥==

证明：(1) 0

0()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x

f x x

+

++→→-'===- 3

00()(0)(0)lim lim 0,0

x x f x f x f x x ---→→-'===-

因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导. (2) 10

0()(0)1

(0)lim lim 0,01e x

x x f x f f x +

+

+→→-'===-+ 10

0()(0)1(0)lim lim 1,0

1e x x x f x f f x -

--→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.

(3) 1

1()(1)11(1)lim lim ,112

x x f x f f x x +

++→→-'===--

211()(1)1

(1)lim lim 2,1

1x x f x f x f x x ---→→--'===--

因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导.

5. 已知sin ,

0,(),

0,

x x f x x x

≥?求()f x '.

解：当0x <时，()cos ,f x x '=

当0x >时，()1,f x '= 当0x =时，0

sin 0(0)lim 1,0

x x f x -

-→-'==- 00

(0)lim 1,0x x f x ++→-'==-

故(0) 1.f '= 综上所述知cos ,

0,()1,

0.

x x f x x

≥?

6. 设()()f x x a x ?=-,其中a 为常数，()x ?为连续函数，讨论()f x 在x a =处的可导性.

解：

()()()()

()lim lim ()

()()()()

()lim lim ()

x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x a

f x f a a x x f a a x a x a ????+

+--+→→-→→--'===----'===---.

故当()0a ?=时，()f x 在x a =处可导，且()0f a '= 当()0a ?≠时，()f x 在x a =处不可导. 7. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x ==

解：因为0,0

lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续.

又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x

f x x

-

-

-→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x

f x x

++

+→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导.

(2) 2

1sin ,0, 0;0,

0,x x y x x

x ?≠?

==??=? 解：因为2

01

lim sin

0(0),x x y x

→==故函数在0x =处连续.

又2001sin

()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x

→→-'===-, 故函数在0x =处可导.

(3) ,

1, 1.2,1,x x y x x x ≤?==?

->?

解：因为

1111

lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++

-

-

→→→→=-===

11

lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +

-

→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1

(1)lim lim 111x x f x f x f x x -

--→→--'===--

11()(1)21

(1)lim lim 111

x x f x f x f x x +++→→---'===---

(1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.

8. 已知2

()max{,3}f x x =，求()f x '.

解：23, (), x f x x x ?≤?=?>??

当x <时，()0f x '=,

当x >时，()2f x x '=

,

2

(((0,

x x x f x f -+'===-'==

故(f '不存在.

又

2

0,

(x x x f f x -+'=='===

故f '不存在. 综上所述知

0, ()2, x f x x x ?

>??9. 若1

1

()e x x f x

+=，求()f x '.

解：令

1

t x

=，则 1()e t t

f t +=,即1()e

x x

f x +=

121()e

(1)x x

f x x

+'=-

. 10. 证明：双曲线2

xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2

2a .

证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y

则22

2

220

, , x a a a y y y x x

x =''

==-=-，

则过M 点的切线方程为：2

0020

()a y y x x x -=--

令22

0000002202x y x a y x x x x a a

=?=+=+=

得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，

令2

0000000

02x y a x y y y y x x =?=+=+=

得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ， 故 200001

2222.2

S x y x y a =

== 11. 已知()f x 在0x x =点可导，证明：

0000

()()

lim

()()h f x h f x h f x h αβαβ→+--'=+ (,αβ为常数) .

证明： 000

()()

lim

h f x h f x h h

αβ→+--

00000

0()()()()

lim

lim h h f x ah f x f x h f x h h

βαβαβ→→+---=+-

000()()

()().

f x f x f x αβαβ''=+'=+

12. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t 的关系式为：2

1()10(m),2

h t t gt =-

求： ⑴ 物体从t =1(s)到t =1.2(s)的平均速度： ⑵ 速度函数v (t )； ⑶ 物体何时到达最高.

解：(1)11112 1.4410(1.2)(1)220.78 (m s )1.210.2

g g

h h v --?-+-===-?- (2) ()()10v t h t gt '==-. (3) 令()100h t gt '=-=,得10

(s)t g =

, 即物体到达最高点的时刻为10 s.t g

=

13. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t ]内，转过角度θ，从而转角θ是t 的函数：()t θθ=.如果旋转是匀速的，那么称t

θ

ω=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确

定该物体在时刻0t 的角速度？

解：设此角速度值为ω,则

0000

()()

lim

()t t t t t t

θθωθ?→+?-'==?.

14. 设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ?

加热到C T ?所吸收的热量，当金属从C T ?升温到()C T T +??时，所需热量为()(),Q Q T T Q T ?=+?-Q ?与T ?之比称为T 到

T T +?的平均比热，试解答如下问题：

⑴ 如何定义在C T ?

时，金属的比热；