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二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
22 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题
(3)
k=0
k=0
k=0
其中的展开系数 pk 和 qk 是已知的，而 ak 是未知的．将这些展开式代入方程 (1)，合并同 幂项，将左边整理成一个幂级数，由于右边为零，故所有 (x − x0)k 的系数均必须为零，由
§2 Legendre 方程及其本征值问题
3
此可得 ak 间的一系列代数方程．求解这些代数方程即可用 a0 和 a1 表出 a2, a3, · · · ，从而 得到级数解．容易看出，a0 = c0，a1 = c1．如果不给定初始条件，则级数解中含有两个任意 常数 a0 和 a1，所以是方程 (1) 的通解．
下面补充讨论两个有关问题．它们与级数解法无关，也与常点或奇点无关．
首先，如果我们已经求得方程 (1) 的一个解 y1(x)（不管用什么方法），则第二解就可以用积分表出． 事实上，令 y2(x) = C(x)y1(x)，其中 C(x) 是未知函数．代入方程 (1)，容易得到 y1C +(2y1 +py1)C = 0，这是 C (x) 的一阶线性方程，容易求出 C (x)，再积分一次即得 C(x)，最后得到
y(x0) = c0, y (x0) = c1.
(2)
如果不附加初始条件，则通解中含有两个任意常数．
显然，方程 (1) 的解的行为取决于系数的行为．我们假定在复平面的某区域 D 内，p(x)
和 q(x) 除有限个孤立奇点外是单值解析的．级数解法就是在 D 内某点 x0 的邻域或去心邻 域内将 y(x) 展开为幂级数，即 Taylor 级数、Laurent 级数或更一般的幂级数（见后）．展开
∞
y(x) = akxk.
k=0
容易得到下列各式：
∞
∞
二阶线性常微分方程的级数解法
◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2
由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ：
ζ
ζ
2 - a1
因为这时对应于 ：P(ζ) =
- a2 - a3 ζ + ⋯,
b2 b3 Q(ζ) = + + ⋯
在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析 。
ζ
ζ2 ζ
☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0
正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。
◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 / ζ，则方程 (1.9) 化为
1
1
若 p 和 q 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。
ζ
ζ
1
1
若 p 和 q 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。
ζ
ζ
1
1
p = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯,
通常人们并不需要在整个复平面内求解方程更感兴趣的是求解某点z0邻域的解邻域可大可小因此若要在某点z0的邻域求解微分方程系数函数pz和qz在z0的性质就显得特别重要为此做以下定义
第7章 线性常微分方程的级数解法
y x ck x k
k 0
比较xk项的系数： k 2 k 1 ck 2 k k 1 ck 2kck ck 0,
5
ck 2
k k 1 2k
k 2 k 1
2k
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
若z0点是p (z)、q (z)的常点（解析点），解可表成泰勒级数：
y x ck x xo
k 0 k
若z0点是p (z)、q (z)的奇点，解可表成罗朗级数： §7.1 常点邻域的级数解法
" 例1、在x0 = 0邻域上求解 y y 0.
解：p x 0, q x 1, x 0 z 0 是方程的解析点.
2 1
4 3
k
c0
22 3 1 4!
c0 ,
21 3 3 1 1 c6 c4 2 c0 , 65 6!
3 1 1 3 2k 5 c2 k 2 c0 , 2k !
ck
k 2 k 1
k k 1
ck
y1 c2 k x ,
k 0
y2 c2 k 1 x 2 k 1
k 0
y x y1 x y2 x .
可以证明y1(x)、y2(x)在x = 1时，级数发散. （证明从略） 对于本征值问题：
二阶常微分方程的级数解法 本征值问题3-1精品PPT课件
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解： 这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
二阶线性常微分方程的级数解法解析课件
fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法PPT课件
好等于方程的阶数时称为方程的通解。
常微方程的通解多数都能囊括方程的 所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有
dy dx
2x C 2y
2 xy Cy 2 y2
2 xy x2 y2 2y2
2 xy x2 y2
例外）。不被通解囊括的以及通解中的 可见，给定的表达式是给定方程的解；
任意常数取特定值后所得出的对应解称 由于表达式中仅含一个任意常数，个数
为方程的特解。
明显与方程的阶数（一阶）相等，故此
解是方程的通解。
证毕。
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*例2-1 求一阶非线性微分方程
的通解。 解
dy 2xy dx x2 y2
dy dx
2 xy x2 y2
,
( x2 y2 )dy 2xydx ,
2xydx x2dy y2dy ,
x2 d( ) dy ;
任何含自变量与因变量的表达式，若 能由之恒等地推出给定的常微方程时， 都称为该常微方程的解；解若含有任意
例1-1 解
验证方程
dy 2xy dx x2 y2
是 x2 y2 Cy .
证
x2 y2 Cy ,
2xdx 2 ydy Cdy ,
的通
常数、且不能合并的任意常数的个数恰
(C 2 y)dy 2xdx ,
y e p( [ x)dx e p( x)dxQ( x)dx C] . 但应强调指出的是，其中的不定积分 p( x)dx 仅用以特指 P ( x ) 的某一 而非全体原函数。 类似地，不定积分 e p(x)dxQ( x)dx 也仅用以特指被
积函数的某个原函数而非全体原函数。
显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述
08-06_二阶线性常微分方程的级数解法
a1 a1 a1
(3−l （ −l )( l + 2)( l + 4) )1 5！
(5−l )(3−l （ −l )( l + 2)( l + 4)( l + 6) )1 7！
a2k+1 =
（ k−1−l (l+2k) 2 ） (2k+1)⋅(2k) 2k−1
a
=
(2k−1−l ) （−l)(l+2) (l+2k) 1 1 (2k+1)！
前几阶勒让德多项式为： 1 1 2 P0 ( x) = 1； P ( x) = x； P2 ( x) = (3 x − 1)； P3 ( x) = (5 x3 − 3 x) 1 2 2
方程正则奇点邻域内的解
如果 z0 是二阶线性常微分方程
w ' '+ p( z ) w '+ q( z ) w = 0
w ( z0 ) = C 0 , w' ( z0 ) = C1
的常点，则在其邻域—z- z0 —< R内，存在唯一 解析解(定理) ：
w = ∑ k = 0 a k ( z − z0 ) k
∞
其中系数 ak 可以用C0 和C1表示。
例：勒让德方程的级数解
l 阶勒让德方程为： (1 − x 2 ) y "− 2 xy '+ l (l + 1) y = 0
a2 = a4 =
( 2 − l （− l )( l +1)( l + 3) ) 4！
( 4 − l )( 2 − l （− l )( l +1)( l + 3)( l + 5 ) ) 6！
6.数学物理方法讲义课件-第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
0
标准形式为
d2 dt
w
2
2 t
1 t2
p
1 t
dw dt
1 t4
q
1 t
w
0
若 t = 0 是常点/奇点，则 z = ∞ 就是常点/奇点。
t = 0 ( z = ∞ )为方程常点的条件
2 t
1 t2
p
1 t
和
1 t4
q
1 t
不含
t
负幂项
p
1 t
2t
a2t
2
a3t
3
q
1 t
dt
dt t 2 dz
t
dw dw dt t 2 dw
dz dt dz
dt
d 2w
dz2
d dz
dw dz
d dz
t2
dw dt
d dz
t2
dw dt
t2
d dw dz dt
d
dz
t2
d dz
1 z2
2 z3
2t 3
d dw
dz dt
k0
k0
k0
ck2 (k 2)(k 1)z k ck2 (k 2)(k 1)z k2 2ck1(k 1) z k1 l(l 1)ck z k 0
k0
zk 同次幂合并后，得 ck2 (k 2)(k 1) ck k(k 1) 2ck k l(l 1)ck z k 0 k0
解 z = 0 为常点，有 w(z) ck zk , z 1 k0
代入方程得
(1 z 2 ) ck k(k 1)z k2 2z ck k z k1 l(l 1) ck z k 0
北京大学数学物理方法(上)课件_6 二阶线性常微分方程的幂级数解法
∞
w1(z) = (z − z0)ρ1
ck(z −gw1(z) ln(z − z0)
∞
+ (z − z0)ρ2
dk(z − z0)k
k=−∞
(10) (11)
其中 ρ1, ρ2 和 g 为复常数.
Proof 为简单起见, 假设奇点为 z0 = 0. 方程的两个线性无关的解为 w1(z), w2(z). 不失一般性, 设解为多值函数, z0 = 0 为枝点. 沿正实轴方向作割线, 规定割线上岸的辐角值为 arg z = 0.
即
正是我们要证的形式. 下面来构造 w(z), 设
b1, b2 为待定系数. 则
∞
w(z) = zρ
cnzn
n=−∞
w = b1w1 + b2w2
w(ze2πi) = b1w1(ze2πi) + b2w2(ze2πi) = (b1a11 + b2a21)w1(z) + (b1a12 + b2a22)w2(z) = λw(z) = λb1w1(z) + λb2w2(z)
=0
如果 z0 是方程的奇点, 则 z0 点可能是方程的解的奇点: 可能为解的极点, 本性奇点; 如果解为多值函数, 还 可以是解的枝点.
Theorem 6.3. 如果 z0 是二阶线性微分方程的孤立奇点, p(z), q(z) 在区域 0 < |z − z0| < R 内解析, 则在 环形区域 0 < |z − z0| < R 内, 方程有两个线性无关的解.
w1(ze2πi) = a11w1(z) + a12w2(z) w2(ze2πi) = a21w1(z) + a22w2(z)
2.2 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题
xy (x) =
k=0 ∞
kak xk ,
∞
x2 y (x) =
k=0 k −2
k (k − 1)ak xk ,
∞
(11a) (11b)
y (x) =
k=0
k (k − 1)ak x
k −2
=
k=2
k (k − 1)ak x
=
k=0
(k + 2)(k + 1)ak+2 xk ,
代入方程并整理得
C2 (x) 是未知函数，满足附加条件 y1 C1 + y2 C2 = 0,
代入非齐次方程 (5)，利用附加条件以及 y1 (x) 和 y2 (x) 满足齐次方程的事实，易得
(6a)
y1 C1 + y2 C2 = f.
(6b)
由于 y1 (x) 和 y2 (x) 线性无关，故 ∆ ≡ y1 y2 − y2 y1 = 0 （否则可以证明 y1 (x) ∝ y2 (x)，则 y1 (x) 与
∗
c 1992–2004 林琼桂
本讲义是中山大学物理系学生学习数学物理方法课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人复 制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．
1
§1 常点邻域的级数解法2 Nhomakorabea对偏微分方程分离变量后，马上需要解决的就是常微分方程及其本征值问题的求解． 本书遇到的都是二阶线性常微分方程， 因为它们来源于二阶线性偏微分方程． 虽然常微分方 程比偏微分方程简单， 但也并不存在什么普遍有效的解析求解的程式． 我们知道， 一阶线性 常微分方程的解可以用系数和非齐次项的积分表出， 尽管这些积分不一定能积出来 （即其原 函数不一定是初等函数） ． 但对于二阶线性常微分方程， 并不存在类似的结果． 除了常系数 情况和少数特殊类型 （比如 Euler 方程） 可以用初等函数求解之外， 级数解法可能就是最好 的选择了． 级数解法可以算是比较系统的一种方法， 因为对于那些能够用初等函数求解的简 单情况， 级数解法通常也一样有效． 不过， 应该指出， 能够用级数解法求解的方程也是非常 有限的， 这取决于方程的系数的性质， 通过具体问题的研究，可以逐步看清这一点．
二阶常微分方程级数解法
( d ) E ( d )[( d ) d dz]
( d ) ( ) [E ( d ) ( d ) E ( ) ] d dz
( E ) d d dz ( E ) d d dz ( E ) dV
同理
( d ) ( ) 1 E d d dz 1 E dV
2u
2u
2
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
推导
空间中某一点电场的散 度代表该点附近单位体 积
中电通量的净流出量 .
E
1
(E )
1
E
E z z
E
u
eˆ
u
eˆ
1
u
eˆz
u z
(I) (推导见下页 ） (II)
(II)代入(I)式得
u
u
1
( u ) 1
(1
u
)
2u z 2
1
(
u )
(r2 Er ) sin dr d d
r
1 r2
(r2 Er ) r
r 2sin
dr d
d
1 r2
(r2 Er ) r
dV
5
同理
( d ) ( ) 1 E r2 sin dr d d r sin
1 E dV
r sin
( d ) ( ) 1 (E sin ) r2 sin dr d d r sin
0
D2 D l(l 1) 0
[D (l 1)][D l] 0
R(r) C el t D e(l1)t
C el ln r D e(l1) ln r
C rl D r(l1)
14
ii）球函 数方程：
第九章二阶线性常微分方程级数解法
a1
得到l 阶勒让德方程解：
y
a2k x2k
a x2k1 2k 1
a0y0 ( x) Nhomakorabeaa1 y1( x)
y0
(x)
1
(l)(l 1) 2!
x2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
x4
...
(2k 2 l)(2k 4 l)
(l)(l 1)(l 3) (2k )！
程在点 z0的邻域 z z0 R 内的解可以表示成泰勒级数的
形式:
w(z) an (z z0 )n，
n0
a0 , a1 , …ak , … 待定系数
级数展开式中的待定系数由边界条件或初始条件确定。
初始条件： w(z0 ) C0, w '(z0 ) C1.（C0 , C1为任意复常数）
d
d
d 2
得到两个常微分方程：
d 2
d 2
0
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0
d
d
解常微分方程：
d 2
d 2
0
自然周期边界条件： ( 2 ) ()
得其通解为： () Am cos m Bm sin m
sin
sin2 2
球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d (r2 dR ) l(l 1)R 0, dr dr
r2
d 2R dr2
2r
dR dr
l(l
1) R
数学物理方法_第3章 二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题
y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系 数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1
n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0
可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0
y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0
n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!
9. 二阶常微分方程级数解法
第九章二阶常微分方程级数解法•§9.1 特殊函数常微分方程•§9.2 常点邻域上的级数解法•§9.3 正则奇点邻域上的级数解法•§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题•前面讨论的都是两个自变量的偏微分方程，涉及到的本征函数都是三角函数，除了圆形泊松问题外，大多是反射对称的问题；•从现在开始，我们要讨论三维的定解问题。
实际的边界问题可能具有其它对称性，比如球或柱对称边界，这时的本征函数采用三角函数就不方便了，我们将发现新的本征函数和本征值，并且用它们做级数展开来求解偏微分方程。
•本章主要讨论拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在球坐标系、柱坐标系满足的常微分方程及其定解。
我们依然采用分离变量法。
§9.2 常点邻域上的级数解法•前面我们通过分离变量法得到了一些特殊的二阶常微分方程，本节讨论这些方程在特定的边界条件下的定解问题。
•这些二阶常微分方程大多不能用通常的方法，比如直接积分的方法求解；•通常采用幂级数解法，即在某一选定的点的邻域上将待求的解表示成系数待定的级数，得到系数之间的递推关系，然后利用边界条件确定所有系数的值。
•级数求解问题的关键在于收敛性。
•考虑一般的复变函数w(z)的线性二阶常微分方程：w’’+p(z)w’+q(z)w=0, w(z 0)=C 0, w’(z 0)=C 1. 其中z 为复变数，z 0为选定的点。
•（一）方程的常点和奇点：在z 0邻域，如果p(z)和q(z)是解析的，则z 0称作方程的常点；如果p(z)和q(z)是奇异的，则z 0称作方程的奇点。
•（二）常点邻域上的级数解：如果线性二阶常微分方程的系数p(z)和q(z)在点z 0的邻域|z-z 0|<R 是解析函数，则方程在这个圆中存在满足初值条件的唯一解析解。
•因此可以把解表示成此邻域上的泰勒级数形式：•后面的任务就是确定这些级数解的系数a k ，通常会得到它们之间的一些递推关系。
3.0二阶线性常微分方程的幂级数解法
e rx [c′′ + (2r + p)c′ + (r 2 + pr + q)c] = 0.
是特征方程的重根， 所 以 有 r + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 c(x) 满足
−p 注意到 r = 2 2
c′′( x) = 0,
则 y2 = cerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 c″(x) = 0 的一个解 c(x)= x，于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 解为
二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
1° 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次常微分方程为 y″ + py′ + qy = Pn(x),
⑥
其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式。因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的特解为 * k
考虑到 p，q 均为常数，我们可以猜想该方 程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数。 将 y′ = rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， ⑤
y * = Bx k eαx
y *′ = Bkx k −1eα x + Bα x k eα x
y*′′ = Bk (k − 1) x k − 2 eα x + 2 Bα kx k −1eα x + Bα 2 x k eα x
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二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=⋅+⋅++-+++将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，320k a +=其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：3634701[1][]2323562356(31)33434673(31)nx x x x x y a a x n nn n =+++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+⋅++-+将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到214220,1,0,,,1n n a a a a a n -====-因而567891111,0,,0,,2!63!4!a a a a a ======最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到52132!!k x x y x x k +=+++++2422(1),2!!k x x x x x xe k =+++++=这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
考虑二阶齐次线性微分方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++= 及初值条件00()y x y =及''00()y x y =的情况。
不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。
定理10 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如nn n y a x∞==∑的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。
在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。
但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=这里n 为非负常数，不一定是正整数，（22()()0d y dyp x q x y dx dx ++=）在此1()p x x=，22()1n q x x =-，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如0nn n y a x ∞==∑的特解。
但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。
定理11 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，若00a ≠，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如0nn n y xa x α∞==∑ 即n n n y a x α∞+==∑的特解，α是一个特定的常数，级数0n n n y a x α∞+==∑也以||x R <为收敛区间。
若00a =，或更一般的，0(0,1,2,1)i i m α==-，但0ma ≠，则引入记号m βα=+，k m k b a +=，则n m k k n m k k n mk k y x a x x a x x b x ααβ∞∞∞++======∑∑∑，这里00m b a =≠，而β仍为待定常数。
例7 求解n 阶贝赛尔方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=。
解 将方程改写成2222210d y dy x n y dx x dx x-++=， 易见，它满足定理11的条件（()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <），且()()2221,xp x x q x x n ==-，按展成的幂级数收敛区间为x -∞<<∞，由定理11，方程有形如a k k k y a x ∞+==∑的解，这里00a ≠，而k a 和α是待定常数，将a kk k y a x ∞+==∑代入：22222()0d y dy x x x n y dx dx ++-=中，得 221()(1)a k kk xa k a k a x∞+-=++-∑11()a k k k x a k a x ∞+-=++∑220()0a k k k x n a x ∞+=+-=∑，把x 同幂次项归在一起，上式变为220[()(1)()]0a ka k k k k k k k k n a xa x ααα∞∞+++==++-++-+=∑∑令各项的系数等于0，得一系列的代数方程220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩因为00a ≠，故从22[]0a n α-=解得α的两个值 n α=和n α=-先考虑n α=时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数k a 。
把n α=代入以上方程组，得到10a =2(2)k k a a k n k -=-+，2,3k =或按下标为奇数或偶数，我们分别有()()()212122*********k k k k a a k n k a a k n k -+--⎧=⎪+++⎪⎨-⎪=⎪+⎩1,2,k=从而求得210k a -= 1,2,k=()022211a a n =-⋅+()()()244122!12a a n n =-⋅++()()()()366123!123a a n n n =-⋅+++一般地()()()()2212!12kk ka a k n n n k =-⋅+++1,2,k =将k a 各代入a kk k y a x ∞+==∑得到方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=的一个解()()()()02102112!12knk n kk a y a x x k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑既然是求22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的特解，我们不妨令 ()0121na n =Γ+其中函数()s Γ定义如下： 当s >0时，()10s x s x e dx +∞--Γ=⎰；当s <0且非整数时，由递推公式()1()1s s sΓ=Γ+定义。
()s Γ具有性质()()1s s s Γ+=Γ; ()1!n n Γ+=n 为正整数而()()()()02102112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑变为()()()()2101!112kk nk x y k n k n n +∞=-⎛⎫= ⎪++Γ+⎝⎭∑注意到Γ函数的性质，即有()()()2101!1`2kk nn k x y J x k n k +∞=-⎛⎫=≡ ⎪Γ++⎝⎭∑()n J x 是由贝塞尔方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=定义的特殊函数，称为n 阶贝赛尔函数。
因此，对于n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解()n J x 。
为了求得另一个与()n J x 线性无关的特解，我们自然想到，求a n=-时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的形如 20n kk k y a x∞-+==∑的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n α=时的求解过程一样，我们总可以求得210k a -= 1,2,k=()()()()221,2!12kkk a a k n n n k =-⋅-+-+-+1,2,k =使之满足220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩中的一系列方程，因而()()()()02202112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑是22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解。
此时，若令 ()0121na n -=Γ-+则()()()()02202112!12knk nk k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑变为()()()2201!12k nkn k x y J x k n k -∞-=-⎛⎫=≡ ⎪Γ-++⎝⎭∑称()nJ x -为阶贝赛尔函数。