江西省景德镇2020-2021学年高三第一次质检试题数学理科试题

江西省景德镇2020-2021学年高三第一次质检试题数学理科

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}40log 1A x x =<<，{}21x B x e

-=≤，则A B =（ ） A ．(),4-∞ B ．()1,4 C ．()1,2 D ．(]1,2 2．已知i 为虚数单位，若

()2,1a bi a b R i =+∈+，则20192020a b +=（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3 3．在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有1个红球，2个蓝球，3个黄球，4个绿球，现从中任取一球后（不放回），再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为（ ）

A ．13

B ．310

C ．130

D ．3100 4．已知5cos 13α=，(),2αππ∈，则cos 6πα??+= ??

?（ ） A

．526+ B

．526- C

．1226+ D

．1226

5．如果用,m n 表示不同直线，,,αβγ表示不同平面，下列叙述正确的是（ ） A ．若//m α，//m n ，则//n α

B ．若//m n ，m α?，n β?，则//αβ

C ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ

D ．若m α⊥，n α⊥，则//m n

6．若变量,x y 满足约束条件20300x y x y x -≤??+-≤??≥?

，则()221x y -+的最小值为（ ）

A ．1

B ．45 C

D

7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

8．某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（ ）

A ．8π

B ．16π

C ．163π

D ．283

π 9．已知(),0,a b ∈+∞，且不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈恒成立，则

）

A ．2

B ．

C ．4

D ．

10．已知椭圆()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线()22

222222

10,0x y a b a b -=>>有公共焦点12F F 、，它们的一个交点为P ，1260F PF ∠=?，则12F F =（ ）

A B C D 11．函数()()2sin 06f x x πωω??=+

> ???在区间,44ππ??- ???内有最大值无最小值，则ω的取值范围是（ ）

A ．48,33?? ???

B ．48,33?? ???

C ．416,33?? ???

D ．416,33?? ???

12．设函数()()22sin 10cos 1

a a x f x a a a x -+=≠-+的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（ ）

A ．存在实数a ，使()() 2.5M a m a +=

B ．存在实数a ，使()() 2.5M a m a +=-

C ．对任意实数a ，有()()3M a m a +≥

D ．对任意实数a ，有()()2M a m a +=

二、填空题

13．在5

2x

? ?

的展开式中，含2x 的系数为______. 14．已知12,F F 分别为椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆上的一点，O

为坐标原点，且120

PF PF ?=，123PF PF =，则该椭圆的离心率为__________． 15．在ABC ?中，1AB =，2AC =，点D 为BC 中点.若点M 为ABC ?的外心，则AD AM ?=__________．

16．已知函数()42230.5x x f x

x -+=+，则不等式()3135log log 2f x f x ??≥- ???的解集为__________．

三、解答题

17．数列{}n a 满足：123a a a +++

()1312n n a +=- （1）求{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足3n n a b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .

18．如图所示，在四棱锥A BCDE -中，ABE ?是正三角形，四边形BCDE 为直角梯形，点M 为CD 中点，且//BC DE ，BC BE ⊥，2AB BC ==，

4DE =，AM =

（1）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；

（2）求二面角B AM E --的余弦值.

19．2021年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，某企业为响应国家号召，组织员工参与学习、答题，答题环节包括“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”和“挑战答题”.

（1）参与一轮“每日答题”环节，该环节共5题，全答对获2分；若答对2到4题获1分；若只答对1题或全没答对不得分.已知员工甲每题答对的概率均为23

，且每道题答对与否互不影响，求其参与一轮“每日答题”

答题后获得分数X 的分布列和期望；

（2）随着学习的深入进行，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况：

依照线性回归方程拟合数据，估计甲第9天的总得分.

参考数据：521135i i x

==∑；52191050i i y ==∑；5

13505i i i x y =?=∑ 参考公式：12

1()n

i i

i n i

i x y nx y b x x ==?-?=-∑∑；a y bx =- 20．抛物线()2

20x py p =>的焦点为F ，,C D 是抛物线上关于y 轴对称的两点，点E 是抛物线准线l 与y 轴的交点，ECD ?是面积为4的直角三角形.

（1）求抛物线的方程；

（2）点()00,A x y 在抛物线上，,P Q 是直线2y x =-上不同的两点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上，试用0x 表示PQ .

21．已知函数()11ln ax ax f x x

a

++=（0x >）. （1）证明：当1a ≥时，()f x 在()0,∞+上是增函数；

（2）是否存在实数k ，只有唯一正数a ，对任意正数x ，使不等式()1f x k x a ??≤+

???

恒成立？若存在，求出这样的a ；若不存在，请说明理由.

22．在直角坐标系中，曲线221:20C x y y +-=，222:0C x y +-=，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，直线:l θα=（0ρ≠，0απ≤≤）.

（1）写出曲线1C 和2C 的极坐标方程；

（2）若直线l 与曲线1C 和2C 分别相交于,A B ，求AB 的最大值.

23．已知函数()211a f x x x a

+=-+-（0a >），()41g x x =-- （1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]0,1，求a 的取值范围.

参考答案

1．A

【分析】

分别化简集合,A B ,再求并集即可

【详解】

{}{}40log 1=14A x x x x =<<<<

{}

{}21=2x B x e x x -=≤≤，则A B =(),4-∞

故选：A

【点睛】

本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题

2．C

【解析】

【分析】

首先进行复数的除法运算，得a,b 值，再进行乘方运算即可

【详解】 ()()()

21211,1,111i i a b i i i -==-∴==-++-20192020a b +=2 故选：C

【点睛】

本题考查复数的运算，本题解题的关键是把复数整理成复数的代数形式的标准形式，得到实部和虚部．

3．A

【分析】

设第一次取出的是红球为事件A ，第二次取到黄球为事件B ，求出()P A ，()P AB ，然后利用条件概率公式进行计算即可．

【详解】

解：设第一次取出的是红球为事件A ，第二次取到黄球为事件B ． 则由题意知，(),()11311010930

P A P AB ?=?==，

已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为()1(|)()1

3013

10

P AB P B A P A ===． 故选A ．

【点睛】 本题主要考查条件概率的求法，要求熟练掌握条件概率的概率公式：()(|)()

P AB P B A P A =． 4．C

【解析】

【分析】

结合sin 2α+cos 2α＝1，计算出sin α,再利用两角和与差的余弦公式进行化简即可．

【详解】 5cos 13

α= (),2αππ∈可知，cos α＞0，sin α<0 ∵sin 2α+cos 2α＝1,故 sin 12α13=-

∵cos （α6π+

）＝cos αα66cos sin sin ππ-

=1226

+ 故选：C ．

【点睛】 此题考查了两角和与差公式以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解题的关键． 5．D

【分析】

根据线面关系，面面关系逐项检验即可求解

【详解】

选项A 中还有直线n 在平面α内的情况，故A 不正确，

选项B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B 不正确，

选项C 中还有,αβ相交，故C 不正确，

故选：D ．

【点睛】

本题考查平面的基本性质及推论，本题解题的关键是在推导这种线面位置关系的问题时，注意容易忽略的细节问题．

6．B

【分析】

画出可行域，由()221x y -+的几何意义是可行域内点与（1,0）的距离的平方，从而解得．

【详解】

结合题意作平面区域如下，而()221x y -+的几何意义是可行域内的点与（1,0）的距离的平方，又（1,0）到直线2=0x y -

故()221x y -+的最小值为

45

故选：B

【点睛】

本题考查了线性规划问题的变形应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题． 7．C

【分析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：

131212212112

n n ??- ?-???=--，解出即可得出． 【详解】

由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为

1

1

1

3,12

2

n

n n n

a b

-

-

??

=?=?

?

??

据题意得：

1

31

21

2

2

121

1

2

n

n

??

-

?-

??

?=

-

-

，解得2n＝12，

∴n

12

2

lg

lg

==2

3

2

lg

lg

+≈4．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．D

【分析】

由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【详解】

根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，

设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，

则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，

在直角三角形EDA1中，EA1

2

260

sin

=

?

，

在直角三角形ODA1中，OE

2

1

2

==，由勾股定理R＝OA

1=，

∴球的表面积为S＝4π?

77

44

123

π

?=?=

28

3

π

．

故选：D．【点睛】

本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．

9．C

【分析】

利用二次函数配方得226m m -+的最小值，再由基本不等式得到关于ab 的范围，将所求平方即可代入求解

【详解】

由题意不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈恒成立

又()[]2226=156,9m m m -+-+∈∴a +b ≤6则2

92a b ab +??≤≤ ??? 当且仅当3a b == 成立

2

=226+2+8=16a b a b ++++++故

4≤ 故选：C

【点睛】

本题主要考查不等式恒成立问题，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成立的问题一般与最值有关．

10．B

【分析】

设P 为第一象限的交点，12,PF m PF n ==，运用椭圆和双曲线的定义，求得

1212,m a a n a a =+=-，再结合余弦定理可得结果.

【详解】

解：设P 为第一象限的交点，12,PF m PF n ==，

由椭圆的定义可得，12m n a +=，

由双曲线的定义可得，22m n a -=，

解得1212,m a a n a a =+=-，

在12F PF ?中，由余弦定理可得

2221241cos 22

m n mn F c F P +-∠==， 即为2224m n mn c +-=，

即()()()()22

2121212124a a a a a a a a c ++--+-=，

整理得：2221234a a c +=，

122c F F ∴== 故选B.

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的定义，考查利用余弦定理解焦点三角形问题，属于中档题． 11．A

【分析】

利用代入排除法，先代入5ω=，如果满足题意，就排除AB ，再代入163ω=

验证，如果不满足题意，就排除CD ，再代入83ω=

验证. 【详解】

解：当5ω=时， 令52()62x k k Z π

π

π+=+∈，解得2()155

k x k Z π

π=+∈， 当0k =时，,4415x πππ?=

∈?- ???可取最大值， 令52()62x k k Z π

π

π+=-+∈，解得22()155

k x k Z ππ=-+∈， 当0k =时，,42541x πππ=??- ??-?

∈可取最小值， 与函数()f x 在区间,44ππ??-

???内有最大值无最小值矛盾，故5ω≠，排除CD ； 当83ω=

时， 令82()362x k k Z πππ+=+∈，解得3()84

k x k Z ππ=+∈，

当0k =时，,448x πππ??- ??=?

∈可取最大值， 令82()362x k k Z πππ+=-+∈，解得3()44

k x k Z ππ=-+∈， 不存在k Z ∈，使,44x ππ??∈-

???， 故83ω=时，函数()f x 在区间,44ππ??- ???

内有最大值无最小值， 故选A.

【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上的最值问题，利用排除法可快速得到答案，是中档题. 12．A

【解析】

【分析】

将函数整理为a （sin x ﹣y cos x ）＝（a 2+1）（1﹣y ），，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理及基本不等式，即可得到答案．

【详解】 y 2211

a asinx a acosx -+=-+（x ∈R ）， 即有a （sin x ﹣y cos x ）＝（a 2+1）（1﹣y ），

即为（x ﹣θ）＝（a 2+1）（1﹣y ），θ为辅助角．

由x ∈R ，|sin （x ﹣θ）|≤1，

可得|（a 2+1）（1﹣y ）|≤|a ，

即有（a 2+1）2?（y ﹣1）2≤a 2?（1+y 2），

化简可得（a 4+a 2+1）y 2﹣2（a 4+3a 2+1）y +（a 4+a 2+1）≤0，

由于a 4+a 2+1＞0恒成立，

判别式4（a 4+3a 2+1）2﹣4（a 4+a 2+1）2＞0恒成立，

即有不等式的解集为[m （a ），M （a ）]，

由韦达定理可得?a ∈R ，m （a ）?M （a ）＝1，且m （a ）+M （a ）>,故m （a ），M （a ）同正，

则m （a ）+M （a ）>2=,故存在实数a ，使()() 2.5M a m a +=

故选：A ．

【点睛】

本题考查三角函数的值域，主要考查辅助角公式的运用和正弦函数的值域，考查运算能力，准确利用函数有界性结合判别式求最值是关键，属于难题．

13．80

【分析】 先求得二项式5(2x

-

的展开式的通项公式，再令x 的次数为2，进而可求出答案. 【详解】 二项式5(2x

的展开式的通项公式为()

()35552

1552C 21C r r r r r r r r T x x ---+?==?-? ?， 令3522r -=，解得2r ，

所以2x 的系数为：()232521C 80??-=.

故答案为：80.

【点睛】

本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

14 【分析】 由123PF PF =可将1PF ，2PF 均用a 表示出来，又由12

0PF PF ?=得到12F PF ?为直角三角形，利用勾股定理可求得椭圆的离心率.

【详解】 解：123PF PF =，又122PF PF a +=，

22

a PF ∴=，132a PF =，

120PF PF ?=，

12PF PF ∴⊥，即12F PF ?为直角三角形，

21222

12PF F PF F ∴+=

()2223222a a c ????∴+= ? ?????，

解得：c e a ==

【点睛】

本题考查椭圆的离心率，灵活利用椭圆的定义以及焦点三角形中边的的关系可快速求解，是基础题.

15．54

【分析】

将AD AM ?变形为

1122

AB AM AC AM ?+?，利用数量积的几何意义进行计算即可. 【详解】

画出ABC ?和外接圆如图：作MF AC ⊥交AC 于点F ，作ME AB ⊥交AB 于点E ，

111()222

AD AM AB AC AM AB AM AC AM ?=+?=?+? 1122AB AE AC AF =?+? 1115121=2224

=??+??

故答案为：

54

【点睛】 本题考查平面向量数量积的几何意义，是中档题.

16．1[,1)

(1,3]3 【分析】

由已知可知，函数f （x ）为偶函数，且x ＞0时，f （x ）单调递减，利用单调性去掉函数符号从而得不等式求解

【详解】

∵f （x ）＝x 23-+0.542x x +，定义域为()(),00,-∞?+∞

∴f （﹣x ）＝f （x ）即函数f （x ）为偶函数，

x ＞0时，f （x ）单调递减

∵f （1）54

=， 故不等式()3135log log 2f x f x ??≥

- ???等价为()()352log =212f x f ≥ ∴f （log 3x ）54

≥

=f （1），且x ≠1 ∴|log 3x |≤1， 解不等式可得133x ≤≤且x ≠1，故不等式()3135log log 2f x f x ??≥- ???的解集为

1[,1)(1,3]3

故答案为：1[,1)

(1,3]3 【点睛】

本题主要考查了偶函数对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于知识的综合应用． 17．（1）13-=n n a ;

（2）13211()()443

n n

n T . 【分析】

（1）利用2n ≥时，1n n n a S S -=-求解；检验11a =成立即可求解

（2）由3

n n a b n a = ，得11(1)()3n n b n ，利用错位相减求和即可 【详解】

（1）令123S n n a a a a

1n =时，11a =

2n ≥时，113n n

n n a S S ，11a =满足

所以13-=n n a ；

（2）由3n n a b n a = ，11(1)()3n n b n 12

n n T b b b 2112()3311(1)()3n n ① 23111()2()333n T 11(2)()3n n 1(1)()3n n ② ①-②得 2211()333n T 111()(1)()33

n n n 111[1()]233131()3n n T 1(1)()3n n 13211()()443

n n n T 【点睛】

本题考查利用前n 项和求通项公式，考查错位相减求和，准确利用前n 项和求出通项公式是关键，是中档题

18．（1）详见解析；（2）

513

. 【分析】

（1）取BE 的中点O ，并连接OM ，先得出AOM ∠为二面角A BE M --的平面角，进而得到90AOM ∠=?，即可得平面ABE ⊥平面BCDE ；

（2）以点O 为坐标原点，分别以OA OB OM 、、为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM 的法向量和平面AEM 的法向量，利用向量的夹角公式求出两个法向量夹角的余弦值，进而可得二面角B AM E --的余弦值.

【详解】

（1）证：取BE 的中点O ，并连接OM .

则据题意可得：

中位线OM 的长为32BC DE OM +=

=， 且OM BE ⊥

又因为ABE ?是正三角形，所以AO BE ⊥

故：AOM ∠为二面角A BE M --的平面角

而AO AB ==AM =有222AO OM AM +=，即90AOM ∠=?

由定义可知：平面ABE ⊥平面BCDE

（2）解：由（1）可得：OM ⊥平面ABE ，AO BE ⊥

以点O 为坐标原点，分别以OA OB OM 、、为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系

则)

A ，()0,1,0

B ，()0,1,0E -，()0,0,3M ()AM ?=-，()0,1,3BM =-，()0,1,3EM =

设(),,m x y z =为平面ABM 的法向量， 则有33030x z y z ?-+=??-+=??

令x =()3,3,1m =；同理可得：()

3,3,1n =-⊥平面AEM cos ,m n ?<>=5

13=- 故：二面角B AM E --的余弦值为

513. 【点睛】

本题考查面面垂直的证明以及向量法求二面角，考查学生的计算能力，是中档题. 19．（1）答案见解析，88()81

E X =

；（2）232. 【分析】

（1）据题意可知：X 可取0,1,2，分别求出对应概率，列出分布列，进而求出期望； （2）求出,x y ，利用公式求出,b a ，可得回归方程，代入9x =，可得第9天的总得分的估计值.

【详解】

解：（1）据题意可知：X 可取0,1,2

有()5

23223243

P X ??=== ???； ()41

512033P X C ??==? ???51113243??+= ???； ()321111243243P X ==--200243

= 故：X 的分布列为：

()1120001243243E X =

?+?3226488224324381

+?== （2）计算平均数3456755

x ++++==； 801001351551805

y ++++=130= 350555130

25.510b -???==； 13025.55 2.5a =-?=

故：回归方程为 2.5 5.5?2y

x =+ 代入9x =，估计第9天时的总积分为232

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，以及根据给出的公式求回归方程，考查学生计算能力，是中档题.

20．（1）24x y =；（2）PQ =04x 或00x <）.

【分析】

（1）设出直线EC 的方程，于抛物线联立，求出,C ,D E 的坐标，利用ECD ?的面积为4列方程求出p 的值，进而可得抛物线的方程；