【奥赛】小学数学竞赛：数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版解题技巧 培优 易错 难
5-2-2.数的整除之四大判断法
综合运用（二）
教学目标
1.了解整除的性质；
2.运用整除的性质解题；
3.整除性质的综合运用.
知识点拨
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11
或13整除.
5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个
数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；
模块一、11系列
【例 1】 以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能
否被11整除.
【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】142857110000041000021000810051071=?+?+?+?+?+?
110000114199992100118199511171=?-+?++?-+?++?-+?()()()()() 11000014999921001899511418275=?+?+?+?+?+-+-+-()()
因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被11整除，只需判断418275487125-+-+-=++-++()()能否被11整除，因此结论得到说明.
【例 2】 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反
序数为6321，它们的和7557是11的倍数．
【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】设原序数为abcd ，则反序数为dcba ，则
abcd ＋dcba 100010010100010010a b c d d c b a =+++++++()() 10011101101001a b c d =+++
1191101091a b c d =+++()，因为等式的右边能被11整除，所以abcd + dcba 能被11整除
【例 3】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【考点】整除之11系列 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设这个4位数是abcd ，则新的4位数是bcda .两个数的和为
1001110011011abcd bcda a b c d +=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867．
【答案】9867
模块二、7、11、13系列
【例 4】 以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律. 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=?+?+?+
142(10000000011)857(9999991)314(10011)275
=?-+?++?-+ 14210000000011428579999998573141001314275
=?-+?++?-+ (14210000000018579999993141001)(857142275314)=?+?+?+-+-
因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.
【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？ 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7-□□，7□是13的倍数，□是8的时候是13倍数，所以知道
方格中填1。
【答案】1
例题精讲
【例 6】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写2008次成为：20095555ab
ab ab ab L L 1442
443个.如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？ 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 因为91713=?，所以20095555ab
ab ab ab L L 1442
443个也是7和13的倍数，因为能被7和13整除的特点是末三位和前面数字的差是7和13的倍数，由此可知20085200755555555000ab
ab
ab ab ab ab ab ab ab -=L L L L 14424431442
443个个也是7和13的倍数，即20075555ab
ab ab ab L L 1442443个也是7和13的倍数，依次类推可知20075555ab
ab ab ab L L 1442
443个末三位和前面数字的差即为：20065200555555555000ab
ab
ab ab ab ab ab ab ab -=L L L L 14424431442443个个也是7和13的倍数，即20055555ab
ab ab ab L L 1442
443个也是7和13的倍数，由此可知5ab 也是7和13的倍数，百位是5能被7和13即91整除的数是：916546?=，
所以46ab =. 【答案】546
【例 7】 已知四十一位数555999L L □（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多
少？
【考点】整除之7、11、13系列 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 我们知道abcabc 这样的六位数一定能被7、11、13整除。原41位数中从高位数起共有20个5，从
低位数起共有20个9，那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即：555555×10…00(35个0)+555555×10…00(29个0)+…+55□99+999999×10…00(12个0)+…+999999.这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数，唯独剩余55□99待定，那么只要令55□99是7的倍数即可，即只要□44是7的倍数即可，□应为6。
【答案】6
【巩固】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数5050666?555L L 12312
3个6
个5
可被7整除？ 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 由于1111111111001=?可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对
7的整除性，于是还剩下“6655？”．从中减去63035，并除以10，即得“32 ？”可被7整除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？处应填2或9.
【答案】2或9
【例 8】 88888ab ab ab ab ab 是77的倍数，则ab 最大为_________? 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第9题
【解析】
8888881001001001001ab ab ab ab ab ab =? 1001001001001既不是7的倍数，也不是11的倍数
所以8ab 是7和11的倍数
7710770?=，77077847+=，84777924+=
所以47ab = 【答案】47
【例 9】 一个19位数997777044444??????1424314243
个
个
能被13整除，求О内的数字． 【考点】整除之7、11、13系列 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 ∵13|997777044444??????1424314243个
个
，∴13|9
77770444???14243
，∴13|7777770000000+7770444 ∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13|7770444，∴13|7770-444
∵44413432÷=L ，∴13|7770-2，∴设7770=7770 7770135979÷=L ，∴013(92)6=--=
【答案】6
【例 10】 称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一
个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数”是 。（写出所有可能）
【考点】整除之7、11、13系列 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第9题，10分 【解析】 去掉头尾后的两位数必为1001的约数。1001的两位数的约数有11，13，77，91，所有可能的数为
1111，1131，1771，1911。
【答案】所有可能的数为1111，1131，1771，1911
模块三、特殊的数字系列
【例 11】 学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就
是我的年龄。”老师今年 岁。
【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第10题，12分 【解析】 方法一：操作找规律，当这个三位数为111时，111(111)37÷++=，当这个三位数为222时，
222(222)37÷++=，所以老师今年37岁。 方法二，设而不求设这个三位数为aaa 时，根据题意列出式子整理得到：111()37a a a a ?÷++=。
【答案】37
【例 12】 已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，试说明：六位数abcdef 也能被37整除． 【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略 【答案】1000999()abcdef abc def abc abc def =?+=?++，因为999能被37整除，所以999abc ?能被37整
除，而()abc def +也能被37整除，所以其和也能被37整除，即abcdef 能被37整除．
【例 13】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端
构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 设这个4位数是abcd ，则最新的4位数是cdab .两个数的和为
10101011010101abcd cdab a b c d +=+++,是101的倍数.在所给的5个数中只有9696是101的倍数，故正确的答案为9696.
【答案】9696
【例 14】 一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是________？ 【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第11题 【解析】 各个数字不同的六位数最小是123456，123456177262÷= (2)
726317123471?=，12347117123488+=，12348817123505+=，123505+17=123522， 12352217123539+=，12353917123556+=，12355617123573+=，12357317123590+= 最小是123590 【答案】123590
【例 15】 王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679()?=□□□□□□□□□,然后说道:“只要同学
们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一定全由你喜欢的数字组成。”小明抢着说：“我喜欢3。”王老师填上乘数“27”结果积就出现九个3；
12345679(27)333333333?=小宇举手说：
“我喜欢7。”只见王老师填上乘数“63”，积久出现九个7：12345679(63)777777777?=，小丽说：“我喜欢8。”那么算式中应填上的乘数是 .
【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 实际上有123456799111111111?=，因此12345679乘以9n （n 为1,2,3,4,5,6,7,8,9）得到的积就能出现9
个n ，所以要想得到9个8应该乘以72
【答案】72
模块四、综合系列
【例 16】 有四个非零自然数,,,a b c d ，其中c a b =+， d b c =+.如果a 能被2整除， b 能被3整除， c 能
被5整除， d 能被7整除，那么d 最小是 ．
【考点】整除之综合系列 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复赛，6题 【解析】 令2,3a k b l ==，则62d l k =+，因为d 能被7整除，最小14，此时c 取不到5的倍数；若28d =，
则4,2l k ==，所以d 最小是28．
【答案】28
【例 17】 若四位数98a a 能被15整除，则a 代表的数字是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第4题，6分
【解析】 因为15是3和5的倍数，所以98a a 既能被3整除，也能被5整除．能被5整除的数的个位数字是0
或5，能被3整除的数的各位数字的和是3的倍数．当0a =时，9817a a +++=，不是3的倍数；当5a =时，9817a a +++=，是3的倍数．所以，a 代表的数字是5
【答案】5
【例 18】 在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，使得该数能被15整除，这样的六位数中最小的
是______.
【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第13题，5分 【解析】 15=5×3，最小数为302010 【答案】302010
【例 19】 0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个是（ ）。 【考点】整除之综合系列 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题 【解析】 如果组成的7位数是55的倍数，55115=?说明这个数既是5的倍数也是11的倍数。能被5整除个
位为5或者0，能被11整除说明这7位数的奇数位与偶数位的差是11的倍数，为0、11、22……，012345621++++++=，拆成的两组数的差分别为：5和16，5014023=++=++，
1665326541=+++=+++，
又因为组成的数要最大为：6431205或者6342105，所以答案为6431205 【答案】6431205
【例 20】 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B . 【考点】整除之综合系列 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 考虑到7289=?，而275A 是奇数，所以275B 必为8的倍数，因此可得2B =；四位数2752各位数
字之和为275216+++=不是3的倍数也不是9的倍数，因此275A 必须是9的倍数，其各位数字之和27514A A +++=+能被9整除，所以4A =.
【答案】4A =，2B =
【例 21】 一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去
两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.
【考点】整除之综合系列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 把□67.9□元作为整数□679□分.既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为
7289
=?，(8，9) 1
=.所以8|□679□，9|□679□.8|□679□，根据能被8整除的数的特征，8 |79□，通过计算个位的□2
++++)，显然前面的
=.又9|□6792，根据能被9整除的数的特征，9|(□6792□应是3.所以这笔帐笔记本的单价是：367.9272 5.11
÷=(元).
【答案】5.11
【巩固】小红为班里买了33个笔记本。班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到93
□□元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过95元，她实际用了元。
【考点】整除之综合系列【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，5分
【解析】9a.b3元是33个本的总金额，那一定是33的倍数。因为33=3×11，所以9a.b3一定是11和3的倍数，即9+3+a+b=3的倍数，也就是a+b=3的倍数；同时9+a-（3+b）=11，也就是6+b-a=11;总上可知a=2,b=7.s 所以她实际用了92.73元。
【答案】92.73
初中数学竞赛常用解题方法(代数)
初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组
123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=
小学数学奥数习题-整除 通用版
整除 整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质 性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）. 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）. 性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。 例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24. 性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定 能被m和n的最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36. 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的. 例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72 能被3与4的乘积12整除. 性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2. 性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互 质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除. 能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题. 2.数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征： 如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除. （2）能被5整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征： 如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
数的整除练习题及答案
数的整除练习题及答案 1. 在自然数里，最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（），最小的自然数是（）。 2. 在1，2，9这三个数中，（）既是质数又是偶数，（）既是合数又是奇数，（）既不是质数也不是合数。 3. 10能被0.5（），10能被5（）。 4. a÷b=4（a，b都是非0自然数），a是b的（）数，b是a的（）数。 5. 自然数a的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。 6. 20以内不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。 7. 同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（），最大三位数是（）。 8. 18和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 9. 102分解质因数是（）。 10. 数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。 11. 在1到10之间的十个数中，（）和（）这两个数既是合数又是互质数；（）和（）这两个数既是奇数又是互质数；（）和（）这两个数既是质数又是互质数；（）和（）这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。 12. 在6，9，15，32，45，60这六个数中，3的倍数的数是（）；含有因数5的数是（）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（）；同时是3和5的倍数的数是（）。 13. 28的因数有（），50以内13的倍数有（）。 14. 一位数中，最大的两个互质合数的最小公倍数是（）。 15. 在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（），最小的合数与最小的自然数的差是（）。 16. 256 的分数单位是（），它减少（）个这样的分数单位是最小的质数，增加（）个这样的分数单位是最小的合数。 17. 493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数。 18. 把4.87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后，这个数是（）。 19. 一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简真分数是（）。 20. A=2×2×3×7，B=2×2×2×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 21. 一个数的最大因数是36，这个数是（），把它分解质因数是（ ）。 22. 三个质数的最小公倍数是231，这三个质数是（），（），（）。 23. 从0，2，3，6，8和5这六个数中选四个数，组成的同时是2，3，5的倍数的最大四位数是（）。
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一)
- 1 - 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一） 安徽省巢湖市教学研究室 张永超 (本讲适合初中) 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 一、知识要点 1.形如 方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。 2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关 知识。 ⑴若 ，则它有一个实数根＝1；若 ，则它有一个实数根＝－1。 ⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数 (≠0)的图象结合 起来考虑是常用方法。 3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。 4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。 二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例1.已知 ，且方程 的两个实数根都是整数，则其最大的根是 。 解：设方程的两个实数根 为 、 ， 则 ，所 以 。因为 、都是整数，且97是质数，若设 ＜ ，则 ， ，或 ， ，因此最大的根是98。 评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：
- 2 - 类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数 根，则－等于( ) A.1； B.2； C.±1； D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以 ，由，为整 数得 ，或 ，或 ，或 ， 所以－=± 1。 例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数 有______个。 解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。 ①当时， ，符合题意； ②当 时，原方程是一元二次方程，易知 是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根， 由一元二次方程根与系数的关系得。因为 是整数，所以 ±1，或±2，∴ =－1，0，2， 3。 结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。 评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于 时方程解的讨论方法具有一般性， 即由 是整数判断得 ±1，或±2。 延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如： (2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满 足的关系式。 解：原方程组可化 为 ，所 以 ，显然方程中≠－1，因 此 。因为、是整数，所以 ，即=0，或－2。 当=0时，=0，此时、满足的关系式是=0(为任意实数)； 当=－2时，=8，此时、满足的关系式。 例3.(2004年全国联赛)已知方程 的根都是整数，求整数的值。
最新小学奥数之数的整除性(题目+答案)
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
六年级奥数6、整除及数字整除特征
6、整除及数字整除特征 【数字整除特征】 例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。 设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。 又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。 所以a-b=3。 又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。 从而很容易求出商为427284÷99=4316。 例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。 （1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。 而1993000÷2520=790余2200。 于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。 例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。 要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。 则有 b-a=8，或者a-b=3。 ①当 b-a=8时，b可取9、8； ②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
小学数学竞赛一几种解题方法
一几种解题方法 1．28分。提示：按从多到少顺序枚举。如果小军是两个1角硬币，那么小红的三枚硬币不可能是18分；当小军是一个1角一个5分时，小红是一个1角，一个2分，一个1分。 2．5种。 3．495。解：因为93＞700，所以只有下面三种可能： 13+33+53=153 13+33+73=371， 33+53+73=495，其中只有495是11的倍数。 4．286。解：此数是13的偶数倍，必能被26整除。由260依次往小试验，260－26=234，234－26=208，都不符合题意。再由260往大试验，260+26=286符合题意。 5．15。解：1与不小于4的任何自然数都不满足题意，所以四个数中没有1。取2，3，4，a，前三个数满足条件，a=5不满足条件，a=6满足条件。所求数为2+3+4+6=15。 6．8种。解：将四个瓶子依次记为A，B，C，D，将四张标签依次记为a，b，c，d。假设A贴对了，其余的都贴错了，有两种情况： ①Aa，Bc，Cd，Db；②Aa，Bd，Cb，Dc。 同理B，C，D贴对了，其余的都贴错了，也各有两种情况。共8种。 7．10种。提示：有0，0，3；0，1，2；0，2，1；0，3，0；1，0，2；1，1，1；1，2，0；2，0，1；2，1，0；3，0，0十种方法。 8．7。解：不拆盒可买的节数有3，5，8，9，10，…因为超过10的数都可以由8，9，10中的某个数加3的倍数形成，而8，9，10都可以不拆盒，所以买7节以上（不含7）都不必拆盒。 9．11。提示：与第8题类似。 10．18支、10支、6支、4支。提示：因为总的铅笔数不多，故可依次假设丁有2支、3支、4支……铅笔。 11．21个。 提示：乙的红球、白球都是偶数。因为甲的红球数是乙的白球数的2倍，并且不超过10，所以乙的白球数只能是2或4。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 (2)
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析(2).DOC 数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5;63÷7=9 一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。 如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）; 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。 例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。 即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。 例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
六年级奥数第一讲数的整除
第一讲数的整除 学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段 核心容数的整除课型一对一教学目标 1.熟记2、5、3的倍数的特征。 2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。 3.综合运用所学知识灵活解决问题。 重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。 【课首沟通】 了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况； 适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征； 引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。 【知识导图】 精准诊查
【课首小测】 1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答） 2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。（有几个写几个） 奇数： （ ） 偶数：（ ） 2的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 既是2又是3的倍数：（ ） 【知识梳理】 能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。 能被5整除的数：个位数是0或5。 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数 导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。 （1）两个奇数的和不一定是偶数。（ ） （2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。（ ） 2.填一填。 （1）2的倍数中最小的三位数是（ ）；最大的三位数是（ ）。 （2）5的倍数中最小的两位数是（ ）；最大的两位数是（ ）。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（ ）。 奇数＋奇数＝ 偶数＋偶数＝ 奇数－奇数＝ 奇数＋偶数＝ 奇数×奇数＝ 奇数×偶数＝ 3.选择题 （1）能被5整除的数，个位上是（ ）。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.
五年级奥数-数的整除
专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十二讲 整除问题(一)(无答案)全国通用
， 第十二讲 整除问题（一） 在学习整数除法时，我们已经知道： 被除数＝除数×商数＋余数 这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。 如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a 很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零 整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。 一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。 一、数的整除的特征 1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。 2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。 3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。 如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。 由于4｜96 能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。 由于1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是8 和125 的倍数。 如判断765432 是否能被8 整除。 因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。 能被 8 整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。 由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识
第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。 【赛题精选】 例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。 例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？ 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中 点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。
例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？ 例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。
求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？
【针对训练】
六年级下册奥数试题数的整除特征(二)全国通用(含答案)
第2讲数的整除特征（二） 知识网络 上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。 （1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。 （2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 重点·难点 同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。 学法指导 上面数的整除特征可以结合例子来理解。例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。记忆要理论联系实际。 经典例题 [例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？ 思路剖析 能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。 解答 要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。 如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。 [例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几? 思路剖析 对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555也能被7整 除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
奥数数的整除讲义及答案
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 教室：姓名：学号： 【知识要点】： 整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。 （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。 （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 （3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。 （4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。 （5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。 奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？ 解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。
初中物理竞赛中常用解题方法
第16讲初中物理竞赛中常用解题方法 一【知识梳理】 （1）等效法：把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理规律、物理过程来研究和处理的思维方法叫做等效法。 （2）极端法：根据已知的条件，把复杂的问题假设为处于理想的极端状态，站在极端的角度去分析考虑问题，从而迅速的做出正确的判断的思维方法叫极端法。 （3）整体法：一种吧具有多个物体的变化过程组合为一个整体加以研究的思维方法叫整体法。 （4）假设法：对于待求解的问题，在与原题所给的条件不违背的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解的思维方法叫假设法。 （5）逆推法：运用逆向思维的将问题倒过来思考的思维方法叫做逆推法。 （6）图像法：根据题意表达成物理图像，再将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解的思维方法叫做图像法。 （7）对称法：根据对称性分析和处理问题的方法叫做对称法。 （8）赋值法：在探究中只选择个别有代表性的数值进行讨论，然后再将讨论的结果推回到一般性问题上的思维方法叫赋值法。 ^ （9）代数法：根据条件列出数学方程式，然后再利用方程式的一些基本法则和运算方法求解方程的思维方法叫代数法。 二【例题解析】
题型一：等效法 应用等效法研究问题时，要注意并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果。例如：力学中合力与分力是等效替代、运动学中合运动与分运动的等效替代、电学中的电路是等效等。例1：某空心球，球体积为V，球强的容积是球体积的一半，当它漂浮在水面上时，有一半露出水面。如果在求腔内注满水，那么（） A 球仍然漂浮在水面上，但露出水面的部分减少 B 球仍然漂浮在水面上，露出水面的部分仍为球体积的一半 C 球可以停留在水中任意深度的位置 D 球下沉直至容器底 【解析】把空心球等效看成一个1/2的实心球和另一个不计重力的体积为1/2的空气球。因为球在水中静止，且有V/2的体积在水中，固可以看成V/2的实心球恰好悬浮，另一个V/2飞空气球则露出水面，如图16-1所示，固将空气球注满水，再投入水中，将悬浮。整个大球悬浮。 1 ~ 例2：有一水果店，所用的称是吊盘式杆秤，如图16-2所示，量程为十千克。现在有一个超大的西瓜，超过此秤的量程。店员找到另一秤砣，与此秤砣完全相同，把它和原秤砣接在一起作为秤砣经行称量。平衡时，双秤砣位于刻度处。他将此西瓜以13千克作为西瓜的质量卖给顾客。店员乙对这种称量方法表示怀疑。为了检验，他取另一个西瓜，用单秤砣正常称量得8千克，用双秤砣称量读数为3千克，乘以2得6
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)一元一次方程及汇总
第四章一元一次方程及其应用 第一节一元一次方程 例1、在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可在原方程的两边（） A、乘以同一个数 B、乘以同一个整式 C、加上同一个代数式 D、都加上同一个数 例2、方程甲3(x-4)=3x与方程乙x-4=4x同解，其根据是（） 4 A、甲方程两边都加上了同一个整式 B、甲方程两边都乘以了4/3x C、甲方程两两边都乘以了4/3 D、甲方程两边都乘以了3/4 例3、方程1?1?1?1???x-1?-1?-1?-1=2001的根x=__________。?? 2?2?2?2??? 例4、1992+1994+1996+1998＝5000- 成立，则中应当填的数是（） A、5 B、-900 C、-1900 D、-2980 例5、若P、Q都是质数，以X为未知数的方程PX＋5Q＝97的根是1。则P2－Q＝____。 例6、有理数111xz、、8恰是下列三个方程的根，则-＝________。 25yx （1）2x-110x+12x+1-=-1 （2）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3) 3124 （3） 1?1?2z-(z-1)=(z-1) ?2?2??327 例7、解方程：x-=1990 的去处时，某同学误将3.57 错写成3.57，结果与正确答案例8、在计算一个正数乘以3.57 相差1.4，求正确的乘积应是多少？ 28 29
第二节列方程解应用题 例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。若第二天剩下6个核桃。问海滩上原有多少个核桃？（20个） 例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟