2019学年第二学期名校协作体数学参考答案 (1)
2019学年第二学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学学科
命题学校:春晖中学 审题学校:桐乡高级中学
一、选择题:1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.B 8.A 9.C 10.D
二、填空题:11.i 21+-;5 12.6;135 13.10;558 14.)(332,23;61 15.18 16.]322,322[+- 17.2 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.解:(Ⅰ)3)32sin(22sin )12(cos 3)(-++
=++-=m x m x x x f π--------------3分 点)
(2,12π
代入得3=m ------------------7分 (Ⅱ)由以上可知)32sin(2)(π+=x x f ,由已知4
1)3sin(=+πα,--------------9分 又),0(πα∈,故4
15)3cos(-=+π
α,--------------11分 3
sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos π
παππαππαα+++=-+=所以 8153234121415-=?+?-=
-------------14分
19.解:(Ⅰ)证明:取PA 中点N ,连MN BN ,,
因为N M ,分别为PA PD ,中点,
所以AD MN 21//,又AD BC 2
1//, 所以四边形BCMN 为平行四边形,
所以BN CM //,
又因为?CM 平面PAB ,?BN 平面PAB ,
所以PAB CM 平面//-------------6分
(Ⅱ)取AB 中点G ,AD 中点H ,连GH PH PG ,,,因为PAB ?为正三角形,
所以AB GP ⊥,又根据已知条件可知AB BD ⊥,所以AB GH ⊥,
所以PGH ∠为二面角C AB P --的平面角,所以3
3cos =∠PGH ,------------9分
在PGH ?中,26=PG ,22=GH ,根据余弦定理,1=PH ,所以H 为AD 中点, PAD ?为等腰直角三角形, 由上可知⊥AB 平面PGH ,所以平面⊥PAB 平面PGH
过H 作HO 垂直PG ,垂足为O ,连AO ,
可知⊥HO 平面PAB ,
则HAO ∠即为直线AD 与平面PBD 所成角,-----------12分
在PGH ?中,可求3
3=HO , 在HAO RT ?,又因为1=AH ,所以33sin =
∠HAO , 所以直线AD 与平面PBD 的正弦值为3
3.------------15分 20.解:(I )由已知11---=-n n n n S S S S ,
111,1111
1=--=-∴--n n n n S S S S 即,------------------2分 ?
?????∴n S 1是首项111=S ,公差为1的等差数列, n S n =∴1,故n
S n 1=,------------------4分 )2()
1(1≥--=∴n n n a n , ?????≥--==∴2,)
1(11,1n n n n a n ------------------7分
(II )由已知)
1(121+-=+n n S a n n ,------------------8分 因为),2))1(1)1(1(21)1()1(1)1(121*+∈≥+---=+-->+-=N n n n n n n n n n n n S a n n (
------------------11分
所以++?-?+?-?--
>++++=+ 431321321211[21211342312n n n S a S a S a S a T
)
1(2143))1(1211(2121])1(1)11++-=+-?--=+--n n n n n n n n (------------------15分 21.解:(I )解法一:∵(1,0)E
,∴(1,2A
,(1,2
B --
由221
{22x x y =++=
可得:21010y +-=
∴7(,
510P
∴PA k =------------------6分 解法二:设11(,)P x y ,00(,)A x y ,00(,)B x y --,则2200221122{22
x y x y +=+=得:2210221012y y x x -=-- ∴2210221012PA PB
y y k k x x -?==--,∵(1,0)E
,∴(1,2A
,(1,2B --
∴4PB EB k k ==
∴PA k =------------------6分
(II )设11(,)P x y ,00(,)A x y ,00(,)B x y --,则1000101()2ABE APE S S S x y y x x ??=+=+
- ∵11(,)P x y 在直线BE :0002x x y x y =
+上,∴01000100010212x S x y y y x y x y y =+?=+ ∴12000101001222
S S x y x y x y x y -=+-??= ∵22102210
12PA PB y y k k x x -?==-- ∴000
011222PA PB x k y k y x --===-------------------10分 ∴直线PA :0000
()x y y x x y -=-- ∴2000(,0)y M x x + ∴2000
(0,)x N y y + ∴2222200003000000()1()()22y x x y S x y x y x y +=?+?+=------------------12分 ∴22000012222220030000
221()42
2x y x y S S x y S x y x y -=≤=+.------------------15分 22.解:(I )当1a =时, ()(ln )x
x a f x a xe a e x xe e x --=+-+=-+,
则()(1)1(1)1x x x f x e xe e x ---'=+?-+=-+,------------------2分
设()()f x g x '=,则()(1)(1)(2)x x x g x e x e e x ---'=--+?-=-,------------------4分
当2x <时,()0g x '<,()g x 递减,
当2x >时,()0g x '>,()g x 递增, 所以21()()(2)10f x g x g e
'=≥=->,所以()f x 在R 上递增.------------------7分 (II )由()ln f x a x ≥,则 (ln )ln x
a a xe
a e x a x -+-+≥, 于是 ln ln x a x xe
a e x a -+-+≥,即 ln 0x a x x xe e a a --+-≥, 设0x t a
=>,则ln 0t ate e t t --+-≥, 分离后得ln t t e t a te -+-≥,设ln ()t
t e t F t te -+-=,------------------9分 则2221(1)(ln )()(1)(1ln )()t t t t t te t e t e te t t t e t F t t e t e
-------+---+--'==, 设()1ln G t t t e =+--,因为11()1t G t t t
-'=-=,------------------11分 则()G t 在(0,1)内递减,在(1,)+∞内递增,
又(1)20G e =-<,2211(
)30G e e e =-+>,()0G e =, 所以存在021(,1)t e
∈使得0()0G t =. 从而当0(0,)t t ∈时,()0F t '>,0(,1)t t ∈时,()0F t '<,
(1,)t e ∈时,()0F t '>,(,)t e ∈+∞时,()0F t '<.
则()F t 在0(0,)t 上递增,在0(,1)t 上递减,在(1,)e 上递增,在(,)e +∞上递减.-------13分
所以{}max 0()max (),()F t F t F e =. 且11()e e
F e e e e --==?,00000ln ()t t e t F t t e -+-=,因为0()0
G t =,即001ln 0t t e +--=, 则0000ln 1
10000000
ln 1()t t e e t t t e t e e F t e t e t e t t +----+-=====. 综上,1e a e -≥.------------------15分