【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】
庞加莱猜想
庞加莱猜想必定同胚于n维球面。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。
“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci 流，别人都不晓得，跟我说起。
我觉得这个东西不太容易做。
没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。
”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。
”交道。
据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。
尽管克雷数学研究所没有透露佩雷尔曼是否同意接受这个大奖，但俄罗斯媒体纷纷称，佩雷尔曼对“千禧年数学大奖”和100万美元的奖金丝毫没有兴趣。
证明，我会很高兴。
我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。
”田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。
他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。
重新做了一遍。
”至于丘成桐，佩雷尔曼说，“我不能说我被侵犯了。
还有人做得比这更糟。
当然，许多数学家多少是诚实的，可他们几乎都是和事佬。
他们容忍那些不诚实的人。
”获得菲尔兹奖的前景迫使他同他的职业彻底决裂。
“只要我不出名，我还有选择的余地，”佩雷尔曼解释说，“或者做一些丑事，”-----对于数学界缺乏正义感大惊小怪-----“或者不这样做而被当作宠物。
现在，我变得非常有名了，我不能再做宠物而不说话。
这就是为什么我要退出。
”当被问及，他拒绝了菲尔兹奖，退出了数学界，是否意味着他排除了影响数学界的任何可能性时，他生气地回答“我不是搞政治的。
”佩雷尔曼不愿回答他是否也会拒绝克莱研究所的百万美元奖金的问题。
“在颁发奖金之前我不作决定，”他说。
Gromov说他能理解佩雷尔曼的逻辑。
“你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心。
你只能想数学。
其他一切都属于人类的弱点。
”尽管人们会把他拒绝接受菲尔兹奖视为一种傲慢，Gromov说，他的原则值得钦佩。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述庞加莱猜想的重要性在于其对拓扑学、几何学和数学基础理论的影响。
如果能够证明庞加莱猜想，将对数学领域的发展产生巨大的影响，同时也有可能为其他领域的发展提供新的理论基础。
在本文中，将通过对庞加莱猜想的历史背景、相关研究成果和方法进行概述，并尝试从不同的角度来探讨这一令人困扰的数学难题。
我们将引用多位数学家的研究成果和观点，深入分析庞加莱猜想的本质及其解决的可能途径，希望能够对这一问题有更深入的认识和理解。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想最早由法国数学家亨利·庞加莱提出，他在1904年的一篇论文中首次提出了这一问题。
在这篇论文中，庞加莱指出，对于一个简单连通的三维流形，是否存在一个等价于球的和的空间是一个未解决的问题。
庞加莱还提出了一种可能的证明方法，但他自己也承认这个证明并不完全可靠。
自庞加莱提出这一问题以来，数学家们一直在尝试寻找一个确凿的证明。
在过去的一个多世纪里，庞加莱猜想一直是数学界的焦点问题之一，吸引了众多数学家的关注和努力。
二、庞加莱猜想的相关研究成果在寻找庞加莱猜想的证明过程中，数学家们提出了许多猜想和定理。
其中最为著名的是格里戈里·佩雷尔曼于2003年提出的庞加莱猜想证明，他通过引入了里奇流流形和流形上的梯度流方法，最终证明了庞加莱猜想的正确性。
佩雷尔曼的证明方法被认为是对现有数学知识的一次革命性突破，为解决庞加莱猜想提供了一个新的思路和方法。
除了佩雷尔曼的证明方法外，还有其他数学家提出了不同的证明思路和方法。
例如，唐纳德·兰恩在20世纪80年代提出了一种基于代数拓扑的证明方法，虽然并未完全证明庞加莱猜想，但为数学家们提供了一个新的研究方向。
这些研究成果虽然并未完全解决庞加莱猜想，但为研究庞加莱猜想提供了不同的视角和思路，促进了数学领域的发展与进步。
三、庞加莱猜想的证明方法和思路对于庞加莱猜想的证明，数学家们提出了多种不同的方法和思路。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述在庞加莱猜想提出后，很多数学家对其展开了探索和研究，但一直没有找到一个确凿的证明或反例。
直到2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论等一系列数学方法，证明了庞加莱猜想。
这篇文章将介绍庞加莱猜想的历史背景和相关概念，然后详细描述佩雷尔曼的证明过程和相关数学原理，最后分析庞加莱猜想对数学和科学领域的重要意义。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想的提出可以追溯到19世纪末的数学发展。
当时，数学家们已经开始探讨对多维几何空间的研究，如三维流形的性质和拓扑结构等。
此时，亨利·庞加莱成为了这一领域的先驱者，他提出了著名的庞加莱猜想，引发了数学界对于三维空间性质的深入思考和研究。
庞加莱猜想的提出也在一定程度上推动了数学领域的发展，为拓扑学和几何学等领域的研究提供了新的动力和方向。
然而，长期以来，庞加莱猜想一直未能找到确凿的证明，成为数学界的一个难题。
二、庞加莱猜想的相关概念1. 流形：在数学领域，流形是指一个局部与欧氏空间同胚的空间。
在庞加莱猜想中，主要讨论的是三维紧致的无边界的连通流形。
2. 欧氏空间：欧氏空间指的是平凡的三维空间，即我们所生活的空间。
在庞加莱猜想中，研究的对象是三维欧氏空间中的环流变形问题。
3. 拓扑结构：拓扑结构是指一个空间的结构，它并不依赖于空间的具体度量，而仅仅与空间的连通性和邻域关系有关。
在庞加莱猜想中，研究的就是流形的拓扑结构和性质。
三、佩雷尔曼的证明过程2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论，证明了庞加莱猜想。
他的证明过程可以概括为以下几个步骤：1. 利用几何流的理论，建立了三维流形的梯度不等式，从而引入了里奇流的概念。
2. 利用里奇流的理论，证明了当流形上的里奇曲率为正时，流形是球面的概率。
3. 利用梯度流的理论，证明了当流形上的梯度不等式成立时，流形是球面的概率。
庞加莱猜想
世纪难题的缘起如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
猜想比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。
拿一个气球来，带到这个球形的房子里。
随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。
这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。
但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。
还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。
吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。
一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
庞加莱猜想
■■圈豳＿庞加莱弓２００６年６月初，世界著名的华裔数学家、中国科学院外籍院士丘成桐宣布：经过美国、俄国和中国数学家３０多年的共同努力。
两位中国科学家朱熹平和曹怀东最终证明了百年数学难题——庞加莱猜想。
庞加莱猜想的提出庞加莱猜想是２０世纪最伟大的法国数学家庞加莱在１９０４年提出来的一个问题：一个单连通的３维闭流形是否一定同胚于３维球面？流形是曲线、曲面等直观的几何概念的高维推广，虽然可仿照１维球面——圆Ｓ１，２维球面——球面Ｓ２的方程写出３维球面Ｓ３的方程戈２＋，坛２＋￡２＝１，但对它已没有直观形象。
这也是高维几何学和拓扑学的困难所在。
单连通则是指在流形中任何一个圆圈Ｓｔ都可以在流形中连续变形最后缩为一点。
这从２维球面上看得很清楚，而环面（自行车内胎）则不是这样，因此环面是非单连通的。
多年来．庞加莱猜想一直是拓扑学的中心问题之一。
２０００年５月２４日，美国克雷（Ｃｌａｙ）数学研究所宣布：对７个“千僖年数学难题”的每一个悬赏１００万美元。
这７个大问题中就包括庞加莱猜想。
尽管悬赏金额一样，可数学界对这些问题重要性的评价并不相同；即使在这７个问题中，庞加莱猜想也是相对重要的。
现在看来，这一猜想很可能头一个被破解，剩下的６个当然也都是难啃至极的硬骨头。
拓扑学之父庞加莱虽说在庞加莱之前。
大数学家欧拉、高斯和黎曼都对拓扑学的发展做出贡献，但是，真正把拓扑学建成现胡作玄：研究员。
中国科学院系统科学研究所，北京１０００８０。
ＨｕＺｕｏｘｕ肌：Ｐｒｏｆｅｓ∞ｒ，Ｉｎ８ｔｉｔｕｔｅ０ｆＳｙｓｔｅｍｓＳｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎｅ∞ＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８０．◆代数学的基础学科则非庞加莱莫属。
可是，庞加莱的贡献决不限于拓扑学。
他和希尔伯特常被认为是最后的两位全才数学家，他们当然也是对２０世纪数学最有影响的数学家。
例如在著名的相对论上庞加莱的工作是举世公认的。
还有当前最热门的非线性科学，包括动力系统理论乃至混沌理论，庞加莱都是当之无愧的先驱。
庞加莱猜想的证明
庞加莱猜想的证明庞加莱猜想是数学史上最著名的问题之一，也是使数学史发生巨大变化的催化剂。
它于19月由柯西（Kerckhoffs）首次提出，在几个世纪以来一直没有准确的解决方案。
2013年，104岁的史鲁皮怀特安德森（Sir Timothy Gowers）和34岁的温特斯厄尔曼（Terence Tao）终于证明了庞加莱猜想。
他们的构思是分散的，但最终他们链接起各个细节，缔结完整的证明。
庞加莱猜想指出，如果一个欧几里得数被分解为两个素数的乘积，那么两个素数之差最多只有一个固定的数字。
安德森和厄尔曼的证明是基于Rademacher-Tao理论。
这个理论加深了我们对庞加莱猜想的理解，有助于揭示数学中的更多秘密。
此前，有许多证明庞加莱猜想的方法，但都无法准确地给出解决方案。
它们有时会得出两个素数之间的最大距离，但无法获得较小间距的解决方案。
安德森和厄尔曼的证明可以获得完美的结果，他们的解决方案可以正确表述庞加莱猜想的完整含义。
这两位数学家的证明并没有改变庞加莱猜想的本质。
但它有助于确定庞加莱猜想的具体内容，也被认为是对庞加莱猜想的完善。
安德森和厄尔曼的证明助推了数学思想的进步，也改变了数学发展的历史过程，有助于推动未来数学思想的发展。
安德森和厄尔曼提出的证明解决了庞加莱猜想的问题，但首先他们必须做出一系列假设，并计算潜在的数学关系。
他们的深入研究可以说是数学史上最伟大的做法之一。
为了证明这个猜想，他们创造了一种新的方法，即“克拉克近似理论”。
安德森和厄尔曼用一系列复杂的数学操作证明了庞加莱猜想，这有助于改变传统的数学思想模式，他们使用模型证明和密集的统计，让一种新的数学方法问世。
而安德森和厄尔曼的深入研究，更给了数学史以突破，开辟了一个新的局面。
庞加莱猜想的证明是数学史上的一项重大成就，也是一项历史性的突破。
安德森和厄尔曼的研究标志着一个新时代的开始，改变了数学史上的发展历程。
他们完成了令人难以置信的成就，证明了庞加莱猜想，让我们从新的视角重新认识数学之美。
庞加莱猜想的证明
庞加莱猜想的证明庞加莱猜想是18世纪初叶美国数学家威廉庞加莱提出的数学猜想，表明数学领域中的一些基本性质可以被证明。
此猜想，被证明之后，会大大改变数学领域，从而影响其他学科。
简单来说，庞加莱猜想指出任何一个大于2的整数都可以表示为两个素数的和。
庞加莱猜想的证明属于数学猜想，总的来说，有三种可能的方法来证明庞加莱猜想，即分类论法、可计算性法和统计逻辑法。
首先，分类论法是一种最古老的论证方法，它用于证明庞加莱猜想，以证明其任何大于2的整数都可以表示为两个素数之和。
分类论法假定，庞加莱猜想是正确的，并且它使用一些事实和定理来实施论证。
举个例子，假设我们知道庞加莱猜想是正确的，我们可以通过使用一些算术定理来证明，5=2+3，7=3+4，11=5+6等，这样就可以满足庞加莱猜想的要求。
其次，可计算性法也是一种证明庞加莱猜想的重要方法，该方法对庞加莱猜想的有效性进行了计算，从而使它变得可检验。
该方法在研究过程中使用了计算机技术，包括编程和算法，来验证某个整数是否可以表示为两个素数之和。
借助于计算机，可以使用大量的例子来证明庞加莱猜想。
最后，统计逻辑法是另一种庞加莱猜想的证明方法，其目的是通过收集数据，统计数据以及构建模型，来证明庞加莱猜想的正确性。
该方法用到了大量的数据，分析数据，并通过建立数学模型，来证明其的正确性。
例如，可以使用一些实验数据来确定庞加莱猜想的正确性，通过分析收集到的数据，来确定庞加莱猜想是否可以使用。
总之，庞加莱猜想是一个让人难以置信的数学用语，但是它却是一个真实而强大的数学猜想。
它的证明依赖于三种方法，即分类论法、可计算性法和统计逻辑法，它们都可以用来帮助证明该猜想。
即使多年来，庞加莱猜想仍然是一个未被证明的数学棘手问题，但是它的历史悠久，受到了数学界的广泛关注。
庞加莱猜想简介
庞加莱猜想简介
法国著名数学家亨利－庞加莱（Henri Poincaré）（1854－1912）。
“庞加莱猜想”是代数拓扑学的基本命题，据介绍代数拓扑学是当代数学界最具活力的领域之一，而对“庞加莱猜想”的证明则将会对数学界流形性质的认识、甚至是用数学语言描述宇宙空间产生重要的影响。
在数学界“庞加莱猜想”只是众多未解难题之一，但是也是被视为最复杂抽象的挑战之一。
美国麻省理工大学克莱数学研究所2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事，该机构设立了七个被称为“千僖年
数学难题”巨奖，为每道难题悬赏奖金一百万美元。
这七大七大千年难题是：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题；霍奇（Hodge）猜想；庞加莱（Poincare）猜想；黎曼（Riemann）假设；杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口；纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性；贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想。
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【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】庞加莱(Poincare)：思想仅是漫漫长夜中的一个闪光，但这闪光意味着所有一切。
丘成桐：庞加莱猜想的破解，是一件令我们中国人很骄傲的事情。
因为在中国本土上，我们第一次完成了一个伟大数学猜想的最后一步，震动了全球数学界!我觉得特别骄傲，因为从1979年那次回国开始，我一直期望中国本土能做出一流的工作。
相信我们年轻的朋友、学生也因庞加莱猜想的破解而受到鼓舞。
三维空间的结构丘成桐哈佛大学数学系请到http：///Active/20060626_005.ppt看原文及极漂亮的图片。
(所有图形取自顾险峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顾险峰提供)先生们，女士们：今天我将会告诉你们数学上的一页篇章是如何结束和新的篇章正在开始。
请允许我先从一些基本的观察开始。
(1)几何结构几何学的主要目的是描述与分类有趣的几何结构。
我们在日常生活中看到许多有趣的几何结构。
我举几个例子：(2)连通和构造曲面的一个抽象和主要的方法是作曲面的连通和。
(3)曲面结构定理定理(曲面分类定理)任意闭的可定向的曲面是如下曲面之一：球面，环面或有限多个环面的连通和。
(4)共形几何为了更深入理解曲面，庞加莱建议理解这些2维对象上的共形几何。
例子：在地球上我们利用经线和纬线来确定方位。
它们互相垂直。
当我们将方形的地图映到球面上的时候，距离产生了扭曲。
比如，北极附近很小的区域在方形地图上是很大的区域。
不过，经线与纬线的正交性在映照下保持不变。
所以，如果一艘船在海上航行，我们可以用地图精确地指引它的航向。
(5)共形结构：庞加莱(Poincare)发现，我们可以在任何曲面上绘制经线(篮色曲线)与纬线(红色曲线)。
我们可以沿着曲面上某些特殊的曲线切割，然后把曲面在平面或圆盘上展开。
在这个过程中，经线与纬线保持不变。
曲面上共形结构的例子：定理(庞加莱单值化定理)：任意2维封闭空间必与一常高斯曲率空间共形等价。
(6)曲面上的Hamilton方程：我们可以通过曲率变动任意曲面。
这种形变就是曲面的Hamilton的Ricci流。
这种形变最后得到常曲率空间。
这一方法是Hamilton发明的，可用来改变任意维空间。
(7)三维流形：目前为止，我们所讨论的空间只有两个自由度。
与束缚于曲面上的虫子所看到的2维空间不一样，我们所生存的空间有3个自由度。
虽然我们的三维空间看起来是平坦的，但还有许多自然而不平坦的三维空间。
例子：相空间20世纪初，庞加莱研究粒子动力学的相空间。
相空间由，即粒子的位臵与速度组成。
例如，如果一个粒子在2维曲面上以单位速度自由移动，那么这个粒子就有3个自由度。
这就产生了一个三维空间M。
纤维丛：如果我们对M上每个点，赋以点，我们得到一个从M到的映像。
当我们固定点x，v可以取任意单位向量，因此v 可以在单位圆上自由移动。
我们称M是上的纤维丛而它的纤维是单位圆。
(8)庞加莱猜想：高维拓扑学可以说是从庞加莱的问题开始：庞加莱猜测：一个闭的三维空间，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么从拓扑上来看，这个空间是否就是球面？这个问题不仅是一个著名的难题，而且是三维拓扑理论的中心问题。
(9)拓扑手术：拓扑学家研究这个问题已经有一百多年历史了。
主要的工具是切割与粘合，或称手术，来简化一个空间的拓扑。
在70年代以前，主要的工具有Dehn引理，提供了将自相交叉的曲面简化为无交叉曲面的工具。
定理(Dehn引理)：如果存在从圆盘到三维空间的一个映像，且不在圆盘边界上自相交叉，那么存在另一个到三维空间的没有自交叉的映像，且限制在边界上与原来的映像相等。
Dehn引理的一种基于极小曲面理论的版本是Meeks-丘成桐发现的，对以后的发展很有帮助。
第2个工具是Haken引入的不可压缩曲面的构造。
它被用来将三维流形切割成片。
Walhausen用这一方法证明了重要的定理。
(不可压缩曲面是一种嵌入曲面，且具有如下性质：如果一条闭环路不能在曲面上收缩到一个点，那么它也不能在三维空间中收缩到一个点。
)(10)特殊曲面：有几个重要的一维和2维空间在理解三维空间的过程中起了重要的作用。
圆周：Seifert构造了许多三维空间，可以写成圆周的连续族。
上面提到的相空间是Seifert空间的一个例子。
2维球面：环面：我们可以通过在两个三维空间上的各挖去一个实心球，然后沿着球面粘合起来。
相反，Kneser和Milnor证明每个三维空间可以通过球面唯一分解成不可约分支。
一个空间称为是不可约的，如果每个嵌入球面都是这个空间中的一个三维球的边界。
Jaco-Shalen，Johannson的一个定理说，我们可以通过沿环面切割作进一步分解。
(11)三维空间的结构几何化猜测(Thurston)：三维空间的结构是由如下的基本空间所合成的：(11.1)(庞加莱猜测)如果三维空间上每条闭环路都可以收缩到一个点，那么这个空间就是三维球面。
(11.2)(空间形式问题)将三维球面上的点等同起来得到的空间。
这由线性等距的一个有限群所支配，类似于晶体的对称。
(11.3)Seifert空间及其类似于(2)用有限群得出的空间。
(11.4).(Thurston猜测：双曲空间)边界由环面构成的三维空间，空间中每个2维球面都是某个球的边界，每个不可压缩的环面可以用适当的方法形变到边界；这种空间被猜测为带有常负曲率的空间，并且可以通过双曲球的一个离散对称群得到。
Thurston猜测将三维空间的分类简化为群论问题，发展出了许多工具。
他和一些后来的学者证明了当三维空间足够大时(这是Haken和Walhausen所研究的空间)，猜想成立。
(一个空间里如果有非平凡和不可压缩的嵌入曲面，我们称它为足够大的。
) 可惜Thurston的证明方法很难用到最一般的流形上。
(12)几何分析：另一方面，从70年代开始，一群几何分析学家应用非线性偏微分方程来构造空间的几何结构。
Yamabe考虑了将一个空间共形地变为为常数量曲率空间。
可是这种方法不能用来区分空间的拓扑。
一个重要的发现是76年凯勒-爱因斯坦空间的构造。
事实上，我用这个方法证明了复情形的庞加莱猜测。
在复几何中被称为Severi猜测，即每个同伦等价于复射影平面的复曲面必是复射影平面。
将几何与分析的想法结合起来理解几何与拓扑的学科称为几何分析。
而这一学科可以追溯到50年代，在过去30年中有了长足的发展。
这一学科有两大支柱：非线性分析与几何。
由于许多学者的努力，这两个学科在70年代都变得很成熟。
(见我的综述文章Perspectiveson Geometric Analysis in Survey in Differential Geometry，Vol10，2006)。
(13)爱因斯坦空间：我现在介绍一下几何分析的想法如何用来解决庞加莱猜测。
在三维空间情形，我们需要构造爱因斯坦结构，这是受到了重力理论中的爱因斯坦方程启发。
对任何一个三维空间结构，我们找一种方法将它形变到一个满足爱因斯坦方程的空间结构。
这种形变必须依赖于空间的曲率。
(14)爱因斯坦方程：爱因斯坦的相对论告诉我们，在重力影响下，时空具有曲率。
空间不断地改变。
空间的整体拓扑随着曲率(重力)的分布而变化。
相反的，整体拓扑非常重要，它提供了重力分布的限制条件，也可以看作重力的源头。
(15)爱因斯坦结构：假设我们假设三维空间是紧致无边的(也就是闭的)。
(16)Ricci曲率Ricci张量：在三维空间中，空间的曲率从不同方向测量会不一样。
这种测量受Ricci张量支配。
这本质上是空间的物质张量。
数量曲率：与方向无关的一个重要的量是数量曲率R。
它是的迹，可以用来测量测地球的扩张或收缩：(17)爱因斯坦方程动力学粗略的说，质量密度由空间的数量曲率加上动量密度组成。
爱因斯坦动力方程迫使黑洞的形成，将空间分为两部分：数量曲率为正的部分空间和可能具有黑洞的部分空间。
一般来说，在黑洞视界以内，拓扑趋向于容许负曲率结构。
重力理论中有两个量支配空间的动力学：度量与动量。
动量很难控制。
所以目前很难用广义相对论的爱因斯坦方程来研究空间的拓扑。
(18)Hamilton方程：1979年，Hamilton发展了新的方程来研究空间的变动。
Hamilton的方程是如下的：与重力驱动空间不同，他用Ricci曲率来驱动，这类似于热扩散。
热传导方程具有使空间光滑的性质。
它能够将热源瞬间传递到空间上的任何一点。
这个方程也被物理学家在同一时期考虑(首先出现在Friedan的论文里)。
不过观点有很大不同。
(18)奇点：另一方面，整体拓扑与方程中由于曲率产生的非线性项确实将空间部分区域变为点，出现空间的拓扑塌陷。
我们称这种点为空间的奇点。
1982年时，Hamilton在这个方程的研究方面发表了第一篇文章。
从正曲率空间开始，他证明了，在他的方程支配下，在作保持体积不变的膨胀以后，空间不会遇到任何奇点，这就导致曲率在每个方向都是常数的空间。
这种空间可以是三维球面，也可以是球面在有限等距群作用下的商。
看到Hamilton的定理后，我确信Hamilton的方程正是完成几何化纲领所需要的方程。
(在Hamilton的文章发表以后不久，出现了Huisken用平均曲率形变凸曲面的文章。
平均曲率流方程是理解Hamilton方程的一个很好的模型。
)我们建议用他的方程不断地改变三维空间，最后会将空间分解。
这将会导致Kneser，Jacob-Shalen，Johannson的拓扑分解定理。
我们希望哈密尔顿方程的渐近状态会分解成几个部分，或者塌陷，或者产生满足爱因斯坦方程的结构。
在三维空间中，爱因斯坦结构是常曲率的。
可是，形变会产生奇点。
主要的问题是找到描述所有奇点的办法。
以下我们将介绍这个重要的发展。
(19)Hamilton纲领：Hamilton的想法是通过拓扑手术把奇点除去，在手术以后继续他的方程。
如果再次发展出奇点，则重复手术，继续前进。
如果我们可以证明在任意有限时间段内，只需做有限次手术，并且Hamilton方程的解的长时间行为得到了很好的了解，那么我们就能够识别出初始流形的拓扑结构。
所以，Hamilton的纲领如果能够成功实施，将会导致庞加莱猜想与Thurston猜想的证明。
Hamilton的贡献的重要性与创造性永远不会被高估。
这个领域里的任何专家都会认可Hamilton是整个理论最主要的贡献者。
2002年12月，Perelman说：遵循Hamilton纲领将会推出闭三维流形的几何化猜想。
在这篇文章中，我们完成Hamilton纲领中的一些细节。
现在我们将根据年代发展，描述Hamilton的纲领。
分成几个阶段：(19.1)I.先验估计：早在90年代，Hamilton系统地发展理论，来理解奇点的结构。
在我的建议下，他证明了当曲率为非负时，他的流的李伟光-丘成桐型估计(李伟光-丘成桐-Hamilton 估计)。