高三数学试卷(文科)精选
高三数学试卷(文科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)设全集U={x∈R|x>0},函数f(x)=的定义域为A,则?U A为()A.(0,e]B.(0,e)C.(e,+∞)D.[e,+∞)
2.(5分)设复数z满足(1+i)z=﹣2i,i为虚数单位,则z=()
A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i
3.(5分)已知A(1,﹣2),B(4,2),则与反方向的单位向量为()A.(﹣,)B.(,﹣)C.(﹣,﹣)D.(,)
4.(5分)若m=0.52,n=20.5,p=log20.5,则()
A.n>m>p B.n>p>m C.m>n>p D.p>n>m
5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出n的值为()
A.19 B.20 C.21 D.22
6.(5分)已知p:x≥k,q:(x﹣1)(x+2)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是()
A.(﹣∞,﹣2)B.[﹣2,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)
7.(5分)一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为()
A.056,080,104 B.054,078,102 C.054,079,104 D.056,081,106
8.(5分)若直线x=π和x=π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()
A.B.C.D.
9.(5分)如果实数x,y满足约束条件,则z=的最大值为()
A.B.C.2 D.3
10.(5分)函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2(x+a)(a∈R)的图象恰有一个交点,则实数a的取值范围是()
A.a>1 B.a≤﹣C.a≥1或a<﹣D.a>1或a≤﹣
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)已知直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点,O为坐标原点,则经过O、A、B三点的圆的标准方程为.
12.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为.
13.(5分)在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足<0的概率为,则实数a的值为.
14.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲线﹣=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为.
15.(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)
=2x,若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是.
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(12分)已知向量=(sinx,﹣1),=(cosx,),函数f(x)=(+)?.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别a,b,c,若a=3,g()=,sinB=cosA,求b的值.
17.(12分)某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分
析,所得学生的及格情况统计如表:
物理及格物理不及格合计
数学及格28836
数学不及格162036
合计442872
(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;
(2)从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例,随机抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析,求至少有一名数学及格的学生概率.
附:x2=.
0.1500.1000.0500.010
P(X2≥
k)
k 2.072 2.706 3.841 6.635
18.(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M,N分别是PD,PA的中点,AC⊥AD,∠ACD=∠ACB=60°,PC=AC.
(1)求证:PA⊥平面CMN;
(2)求证:AM∥平面PBC.
19.(12分)已知等差数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,等比数列{b n}的首项b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;
(2)数列{c n}满足c n=b n+(﹣1)n a n,记数列{c n}的前n项和为T n,求T n.
20.(13分)已知函数f(x)=e x﹣1﹣,a∈R.
(1)若函数g(x)=(x﹣1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求a的范围;(2)当a≤﹣1时,证明:f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.
21.(14分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,点P(1,)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(x Q,y Q)(点Q异于点P),若0<x Q<1,求直线l斜率k的取值范围;
(3)若以点P为圆心作n个圆P i(i=1,2,…,n),设圆P i交x轴于点A i、B i,且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i(M i、N i皆异于点P),证明:M1N1∥M2N2∥…∥M n N n.
2018年高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)设全集U={x∈R|x>0},函数f(x)=的定义域为A,则?U A为()A.(0,e]B.(0,e)C.(e,+∞)D.[e,+∞)
【分析】先求出集合A,由此能求出C U A.
【解答】解:∵全集U={x∈R|x>0},
函数f(x)=的定义域为A,
∴A={x|x>e},
∴?U A={x|0<x≤e}=(0,e].
故选:A.
【点评】本题考查补集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集定义的合理运用.
2.(5分)设复数z满足(1+i)z=﹣2i,i为虚数单位,则z=()
A.﹣1+i B.﹣1﹣i C.1+i D.1﹣i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解:(1+i)z=﹣2i,则z===﹣i﹣1.
故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3.(5分)已知A(1,﹣2),B(4,2),则与反方向的单位向量为()A.(﹣,)B.(,﹣)C.(﹣,﹣)D.(,)
【分析】与反方向的单位向量=﹣,即可得出.
【解答】解:=(3,4).
∴与反方向的单位向量=﹣=﹣=.
故选:C.
【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.(5分)若m=0.52,n=20.5,p=log20.5,则()
A.n>m>p B.n>p>m C.m>n>p D.p>n>m
【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出.
【解答】解:m=0.52=,n=20.5=>1,p=log20.5=﹣1,
则n>m>p.
故选:A.
【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出n的值为()
A.19 B.20 C.21 D.22
【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是
计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,求出即可.
【解答】解:模拟执行如图所示的程序框图知,
该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值,
由S=≥210,解得n≥20,
∴输出n的值为20.
故选:B.
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题.
6.(5分)已知p:x≥k,q:(x﹣1)(x+2)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是()
A.(﹣∞,﹣2)B.[﹣2,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)
【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出.
【解答】解:q:(x﹣1)(x+2)>0,解得x>1或x<﹣2.
又p:x≥k,p是q的充分不必要条件,则实数k>1.
故选:C.
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
7.(5分)一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为()
A.056,080,104 B.054,078,102 C.054,079,104 D.056,081,106
【分析】根据系统抽样的方法的要求,先随机抽取第一数,再确定间隔.
【解答】解:依题意可知,在随机抽样中,首次抽到006号,以后每隔=25个号抽到一个人,
则以6为首项,25为公差的等差数列,即所抽取的编号为6,31,56,81,106,
故选:D.
【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用,解题时要认真审题,是基础题.
8.(5分)若直线x=π和x=π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()
A.B.C.D.
【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴,可得周期T,利用x=π时,函数y取得最大值,即可求出φ的取值.
【解答】解:由题意,函数y的周期T==2π.
∴函数y=sin(x+φ).
当x=π时,函数y取得最大值或者最小值,即sin(+φ)=±1,
可得:φ=.
∴φ=kπ,k∈Z.
当k=1时,可得φ=.
故选:D.
【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用,属于基础题.
9.(5分)如果实数x,y满足约束条件,则z=的最大值为()
A.B.C.2 D.3
【分析】作出不等式组对应的平面区域,z=的几何意义是区域内的点到定点(﹣1,﹣1)的斜率,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:作出约束条件所对应的可行域(如图阴影),z=
的几何意义是区域内的点到定点P(﹣1,﹣1)的斜率,
由图象知可知PA的斜率最大,
由,得A(1,3),
则z==2,
即z的最大值为2,
故选:C.
【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中档题.
10.(5分)函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2(x+a)(a∈R)的图象恰有一个交点,则实数a的取值范围是()
A.a>1 B.a≤﹣C.a≥1或a<﹣D.a>1或a≤﹣
【分析】作出f(x)的图象和g(x)的图象,它们恰有一个交点,求出g(x)的恒过定点坐标,数形结合可得答案.
【解答】解:函数f(x)=与函数g(x)的图象它们恰有一个交点,f(x)图象过点(1,1)和(1,﹣2),
而,g(x)的图象恒过定点坐标为(1﹣a,0).
从图象不难看出:到g(x)过(1,1)和(1,﹣2),它们恰有一个交点,
当g(x)过(1,1)时,可得a=1,恒过定点坐标为(0,0),往左走图象只有一个交点.当g(x)过(1,﹣2)时,可得a=,恒过定点坐标为(,0),往右走图象只有一个交点.∴a>1或a≤﹣.
故选:D.
【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用.数形结合的思想.属于中档题.
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)已知直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点,O为坐标原点,则经过O、A、B三点的圆的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.
【分析】根据题意,求出直线与坐标轴的交点坐标,分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|,圆心为AB的中点,求出圆的半径与圆心,代入圆的标准方程即可得答案.
【解答】解:根据题意,直线l:x+y﹣4=0与坐标轴交于(4,0)、(0,4)两点,
即A、B的坐标为(4,0)、(0,4),
经过O、A、B三点的圆,即△AOB的外接圆,
而△AOB为等腰直角三角形,则其外接圆的直径为|AB|,圆心为AB的中点,
则有2r=|AB|=4,即r=2,
圆心坐标为(2,2),
其该圆的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=8,
故答案为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.
【点评】本题考查圆的标准方程,注意直角三角形的外接圆的性质.
12.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为.
【分析】由三视图可知:该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.
【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥.
∴该几何体的体积V==.
故答案为:.
【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
13.(5分)在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足<0的概率为,则实数a的值为4.
【分析】求解分式不等式得到x的范围,再由测度比为测度比得答案.
【解答】解:由<0,得﹣1<x<2.
又x≥0,∴0≤x<2.
∴满足0≤x<2的概率为,得a=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查几何概型,考查了分式不等式的解法,是基础的计算题.
14.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲线﹣=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为2.
【分析】设M点到抛物线准线的距离为d,由已知可得p值,由双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则=,解得实数a的值.
【解答】解:设M点到抛物线准线的距离为d,
则丨MF丨=d=1+=5,则p=8,
所以抛物线方程为y2=16x,M的坐标为(1,4);
又双曲线的左顶点为A(﹣a,0),渐近线为y=±,
直线AM的斜率k==,由=,解得a=3.
∴a的值为3,
故答案为:3.
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,双曲线的简单性质,是抛物线与双曲线的综合应用,属于中档题.
15.(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)
=2x,若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是
[,] .
【分析】根据函数奇偶性,解出奇函数g(x)和偶函数f(x)的表达式,将等式af(x)+g (2x)=0,令t=2x﹣2﹣x,则t>0,通过变形可得a=t+,讨论出右边在x∈[1,2]的最大值,可以得出实数a的取值范围.
【解答】解:解:∵g(x)为定义在R上的奇函数,f(x)为定义在R上的偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=﹣g(x),
又∵由f(x)+g(x)=2x,结合f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)﹣g(x)=2﹣x,
∴f(x)=(2x+2﹣x),g(x)=(2x﹣2﹣x).
等式af(x)+g(2x)=0,化简为(2x+2﹣x)+(22x﹣2﹣2x)=0.
∴a=2﹣x﹣2x
∵x∈[1,2],∴≤2x﹣2﹣x≤,
则实数a的取值范围是[﹣,﹣],
故答案为:[﹣,﹣].
【点评】题以指数型函数为载体,考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点,属于难题.合理地利用函数的基本性质,再结合换元法和基本不等式的技巧,是解决本题的关键.属于中档题
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(12分)已知向量=(sinx,﹣1),=(cosx,),函数f(x)=(+)?.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别a,b,c,若a=3,g()=,sinB=cosA,求b的值.
【分析】(1)运用向量的加减运算和数量积的坐标表示,以及二倍角公式和正弦公式,由正弦函数的增区间,解不等式即可得到所求;
(2)运用图象变换,可得g(x)的解析式,由条件可得sinA,cosA,sinB的值,运用正弦定理计算即可得到所求值.
【解答】解:(1)向量=(sinx,﹣1),=(cosx,),
函数f(x)=(+)?=(sinx+cosx,)?(sinx,﹣1)
=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣(1﹣2sin2x)=sin2x﹣cos2x=sin(2x﹣),
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,
可得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,
即有函数f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z;
(2)由题意可得g(x)=sin(2(x+)﹣)=sin2x,
g()=sinA=,
即sinA=,cosA=±=±,
在△ABC中,sinB=cosA>0,
可得sinB=,
由正弦定理=,
可得b===3.
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换,考查正弦函数的图象和性质,以及图象变换,考查解三角形的正弦定理的运用,以及运算能力,属于中档题.
17.(12分)某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分
析,所得学生的及格情况统计如表:
物理及格物理不及格合计
数学及格28836
数学不及格162036
合计442872
(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;
(2)从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例,随机抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析,求至少有一名数学及格的学生概率.
附:x2=.
0.1500.1000.0500.010
P(X2≥
k)
k 2.072 2.706 3.841 6.635
【分析】(1)根据表中数据,计算观测值X2,对照临界值得出结论;
(2)分别计算选取的数学及格与不及格的人数,
用列举法求出基本事件数,计算对应的概率值.
【解答】解:(1)根据表中数据,计算X2==≈8.416>6.635,
因此,有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;
(2)选取的数学及格的人数为7×=2人,
选取的数学不及格的人数为7×=5人,设数学及格的学生为A、B,
不及格的学生为c、d、e、f、g,则基本事件为:
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、
cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个,
其中满足条件的是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个,
故所求的概率为P=.
【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题,是基础题.
18.(12分)在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,M,N分别是PD,PA的中点,AC⊥AD,∠ACD=∠ACB=60°,PC=AC.
(1)求证:PA⊥平面CMN;
(2)求证:AM∥平面PBC.
【分析】(1)推导出MN∥AD,PC⊥AD,AD⊥AC,从而AD⊥平面PAC,进而AD⊥PA,MN ⊥PA,再由CN⊥PA,能证明PA⊥平面CMN.
(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,推导出MQ∥PC,从而MQ∥平面PBC,再求出AQ ∥平面,从而平面AMQ∥平面PCB,由此能证明AM∥平面PBC.
【解答】证明:(1)∵M,N分别为PD、PA的中点,
∴MN为△PAD的中位线,∴MN∥AD,
∵PC⊥底面ABCD,AD?平面ABCD,∴PC⊥AD,
又∵AD⊥AC,PC∩AC=C,∴AD⊥平面PAC,
∴AD⊥PA,∴MN⊥PA,
又∵PC=AC,N为PA的中点,∴CN⊥PA,
∵MN∩CN=N,MN?平面CMN,CM?平面CMN,
∴PA⊥平面CMN.
解(2)取CD的中点为Q,连结MQ、AQ,
∵MQ是△PCD的中位线,∴MQ∥PC,
又∵PC?平面PBC,MQ?平面PBC,∴MQ∥平面PBC,
∵AD⊥AC,∠ACD=60°,∴∠ADC=30°.
∴∠DAQ=∠ADC=30°,∴∠QAC=∠ACQ=60°,
∴∠ACB=60°,∴AQ∥BC,
∵AQ?平面PBC,BC?平面PBC,∴AQ∥平面PBC,
∵MQ∩AQ=Q,∴平面AMQ∥平面PCB,
∵AM?平面AMQ,∴AM∥平面PBC.
【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想,是中档题.
19.(12分)已知等差数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,等比数列{b n}的首项b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;
(2)数列{c n}满足c n=b n+(﹣1)n a n,记数列{c n}的前n项和为T n,求T n.
【分析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.根据a1=2,b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.
可得2+d=q2,3×2+=6q,联立解得d,q.即可得出..
(2)c n=b n+(﹣1)n a n=2n﹣1+(﹣1)n?2n.可得数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣
1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n?2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n?2n].对n分类讨论即可得出.
【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.
∵a1=2,b1=1,且a2=b3,S3=6b2,n∈N*.
∴2+d=q2,3×2+=6q,
联立解得d=q=2.
∴a n=2+2(n﹣1)=2n,b n=2n﹣1.
(2)c n=b n+(﹣1)n a n=2n﹣1+(﹣1)n?2n.
∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n?2n]=+[﹣2+4﹣
6+8+…+(﹣1)n?2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+(﹣1)n?2n].
∴n为偶数时,T n=2n﹣1+[(﹣2+4)+(﹣6+8)+…+(﹣2n+2+2n)].
=2n﹣1+n.
n为奇数时,T n=2n﹣1+﹣2n.
=2n﹣2﹣n.
∴T n=.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20.(13分)已知函数f(x)=e x﹣1﹣,a∈R.
(1)若函数g(x)=(x﹣1)f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求a的范围;(2)当a≤﹣1时,证明:f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.
【分析】(1)求出导函数,由题意可知f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,相当于导函数有一个零点;
(2)问题可转换为(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax>0恒成立,构造函数G(x)=(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax,通过二次求导,得出结论.
【解答】解:(1)g(x)=(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax,
g'(x)=xe x﹣a﹣1,g''(x)=e x(x+1)>0,
∵f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,
∴g'(0)=﹣a﹣1<0,g'(1)=e﹣a﹣1>0,
∴﹣a<a<e﹣1;
(2)当a≤﹣1时,f(x)<0,
∴(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax>0恒成立,
令G(x)=(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax,
G'(x)=xe x﹣a﹣1,G''(x)=e x(x+1)>0,
∴G'(x)在(0,1)单调递增,
∴G'(x)≥G'(0)=﹣a﹣1≥0,
∴G(x)在(0,1)单调递增,
∴G(x)≥G(0)=0,
∴(x﹣1)(e x﹣1)﹣ax≥0,
∴当a≤﹣1时,f(x)<0对任意x∈(0,1)成立.
【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用,难点是对导函数的二次求导.
21.(14分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,点P(1,)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(x Q,y Q)(点Q异于点P),若0<x Q<1,求直线l斜率k的取值范围;
(3)若以点P为圆心作n个圆P i(i=1,2,…,n),设圆P i交x轴于点A i、B i,且直线
PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i(M i、N i皆异于点P),证明:M1N1∥M2N2∥…∥M n N n.【分析】(1)根据椭圆的离心率求得a2=4b2,将P代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
(2)设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,求得x Q,由0<x Q<1,即可求得k
的取值范围;
(3)由题意可知:故直线PA i,PB i的斜率互为相反数,分别设直线方程,代入椭圆方程,即可求得x i,x i′,根据直线的斜率公式,即可求得=,==…=,则M1N1∥M2N2∥…∥M n N n.
【解答】解:(1)由椭圆的离心率e===,则a2=4b2,
将P(1,)代入椭圆方程:,解得:b2=1,则a2=4,
∴椭圆的标准方程:;
(2)设直线l的方程y﹣=k(x﹣1),
则,消去y,整理得:(1+4k2)x2+(4k﹣8k2)x+(4k2﹣4k﹣1)=0,
由x0?1=,由0<x0<1,则0<<1,
解得:﹣<k<,或k>,经验证,满足题意,
直线l斜率k的取值范围(﹣,)∪(,+∞);
(3)动圆P的半径为PA i,PB i,故PA i=PB i,△PA i B i为等腰三角形,故直线PA i,PB i的斜率互为相反数,设PA i的斜率k i,则直线PB i的斜率为﹣k i,
设直线PA i的方程:y﹣=k i(x﹣1),则直线PB i的方程:y﹣=﹣k i(x﹣1),
,消去y,整理得:(1+4k i2)x2+(4k i﹣8k i2)x+(4k i2﹣4k i﹣1)=0,设M i(x i,y i),N i
(x i′,y i′),
则x i?1=,则x i=,
将﹣k i代替k i,则x i′=,
则x i+x i′=,x i﹣x i′=﹣,y i﹣y i′=k i(x i﹣1)++k i(x i﹣1)﹣=k i(x i+x i′)﹣2k i,
=k i×﹣2k i,
=,
则==,
故==…=,
∴M1N1∥M2N2∥…∥M n N n.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查计算能力,属于中档题.