数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用
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数学物理方法留数定理实积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
z0 为 Q(z) 旳一级极点.
11
所以 1 = 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) = 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
所以 z0 为 f (z) 旳一级极点,
Res[
f
(z), z0] =
平面上包括回路旳一种区域中，而实积提成为回路
积分旳一部分：
l2
a 0 l1 b
b
f (z)dz = f ( x)dx + f (z)dz
l a
l2
左边能够利用留数定理，右边对l2 旳积分在解析延拓
允许旳情况下，能够自由选择，一般选择l2 使积分最
易完毕。
29
一、形如
2π
0
R(cos
,
sin
)d
孤立奇点, 那么 f (z) 在全部旳奇点 (涉及点)
旳留数旳总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
.zk .
. C (绕原点旳并将 zk包括在 . 内部旳正向简朴闭曲线)
由留数定义有:
n
Res[ f (z),] + Res[ f (z), zk ]
k =1
1
1
=
f
2i C 1
( z )dz
+
2i
C
留数定理旳主要应用之一：计算某些实变函数定 积分
原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积 分联络起来。
留数定理是复变函数旳定理，若要在实变函数定 积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就 要利用解析延拓旳概念。
28
b
如图，对于实积分 f ( x)dx，变量 x 定义在闭区间 a
11
所以 1 = 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) = 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
所以 z0 为 f (z) 旳一级极点,
Res[
f
(z), z0] =
平面上包括回路旳一种区域中，而实积提成为回路
积分旳一部分：
l2
a 0 l1 b
b
f (z)dz = f ( x)dx + f (z)dz
l a
l2
左边能够利用留数定理，右边对l2 旳积分在解析延拓
允许旳情况下，能够自由选择，一般选择l2 使积分最
易完毕。
29
一、形如
2π
0
R(cos
,
sin
)d
孤立奇点, 那么 f (z) 在全部旳奇点 (涉及点)
旳留数旳总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
.zk .
. C (绕原点旳并将 zk包括在 . 内部旳正向简朴闭曲线)
由留数定义有:
n
Res[ f (z),] + Res[ f (z), zk ]
k =1
1
1
=
f
2i C 1
( z )dz
+
2i
C
留数定理旳主要应用之一：计算某些实变函数定 积分
原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积 分联络起来。
留数定理是复变函数旳定理，若要在实变函数定 积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就 要利用解析延拓旳概念。
28
b
如图，对于实积分 f ( x)dx，变量 x 定义在闭区间 a
《数学物理方法》第4章留数定理及其应用
z
sin z6
z
,
0]
1 d5
lim
z0
5!
dz5
z sin z
1 5!
12
小结
1 定义
Re s[f
( z ),
z0 ]
1
2 i
C
f (z)dz c1
2 定理
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
3 计算方法 C
k 1
ⅰ 一级奇点 ⅱ m 级极点
Re
s[
f
(
z),
k 1
15
法则4
Re s[
f
(z),
]
Re s[
f
(1) z
1 z2
, 0]
证明
1
Re s[ f (z), ]
2 i C
f (z)dz
z ei
1 2 f (ei )iei d
2 i 0
z 1
rei
1
ei
ei
r 1
1 2
2 i 0
f
(
1 rei
)
i rei
d
1 2
2 i 0
(见例2.1.2=p29-30 和例2.1.4=p30)。
它们指出在什么条件下，f(z)及f(z)eimz沿 上半平面的无穷大半圆周的积分为零。
22
2.大圆弧引理-第二章内容
若(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Rei, R→∞,12 )上
23
引理1 若z在上半平面及实轴上趋于∞时, zf(z)
n
f (z)dz 2i R es[ f (z), zk ]
y
数学物理方法第4章
1
1
Re sf ( z)
k 1
n
z 1
表示f(z)在单位圆内所 有奇点的留数和
证明： 令:
ze
i
则:
dz ie d izd
i
0 2
cos (e e sin (e e
1 1 Re sf () Re s[ ,0] 10 2 (1 / z i ) (1 / z 1)(1 / z 3) z z10 Re sf () Re s[ ,0] 0 10 (1 iz ) (1 z )(1 3z )
得：
1 I 10 2(3 i )
§4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
1 2 1 i f ( i ) i d 2i 0 re re
1 2 1 i i f ( i ) i 2 d ( re ) 2i 0 re ( re ) 1 1 i f ( ) 2 d Re s() 2i 1
f(z)在ρ<|z|<+∞解析，从而f(1/ξ)在0<|ξ|<1/ρ内解析， 除ξ=0外没有其它奇点，由留数定理得：
( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
2
lim ( z z0 ) f ( z ) a1
z z0
非零的有限值
Re sf ( z0 )
若
P( z ) f ( z) Q( z ) P( z ) z z0 Re sf ( z ) lim ( z z0 ) lim P( z ) z z0 Q ( z ) z z0 Q ( z ) P ( z0 ) Q ' ( z0 )
北京大学数学物理方法经典课件第四章——留数定理
= a1
19
注意积分路线取顺时针方向
.
l
其中l:|z|=ρ>R, 积分方向为顺时针方向（实际上是 包含无穷远点的区域的正方向）．如果f(z)在z=∞ 的去心邻域 R<|z|<+∞内的罗朗级数为
a k a1 f ( z ) = + k + + + a0 + a1 z + + ak z k + z z
Res f (bj ) ：f(z)在的无心邻域0 <| z − bj| < R中的罗 朗级数的系数 a-1 (j) ，称为f(z)在 z = bj 的留数。 a-1 (j) ：f(z)在它的第j 个孤立奇点的邻域内罗朗展 5 开式中(z-bj)-1 的系数。
证
l
由复连通域的柯西定理
l1
f ( z)dz =
l0 l0
z0
l0
0 = 2ia1
(柯西定理)
各正幂项fk(z-z0)=ak (z-z0)k 是解析函数
洛朗级数中负幂项
z0 )1的系数 a1 ( z
4
即： Res f ( z0 ) = 1
2πi
l
f ( z ) d z = a1 称为在有限远点z0处的留数
（二）留数定理
1.留数定理
1 z0 为 Q( z ) 的一级极点.
14
1 1 = ( z ), 其中 (z ) 在 z0 解析且 ( z0 ) 0, 因此 Q ( z ) z z0 1 f (z) = P ( z ) ( z ) . z z0 在 z0 解析且 P ( z0 ) ( z0 ) 0.
f ( z )dz + f ( z )dz + + f ( z )dz
19
注意积分路线取顺时针方向
.
l
其中l:|z|=ρ>R, 积分方向为顺时针方向（实际上是 包含无穷远点的区域的正方向）．如果f(z)在z=∞ 的去心邻域 R<|z|<+∞内的罗朗级数为
a k a1 f ( z ) = + k + + + a0 + a1 z + + ak z k + z z
Res f (bj ) ：f(z)在的无心邻域0 <| z − bj| < R中的罗 朗级数的系数 a-1 (j) ，称为f(z)在 z = bj 的留数。 a-1 (j) ：f(z)在它的第j 个孤立奇点的邻域内罗朗展 5 开式中(z-bj)-1 的系数。
证
l
由复连通域的柯西定理
l1
f ( z)dz =
l0 l0
z0
l0
0 = 2ia1
(柯西定理)
各正幂项fk(z-z0)=ak (z-z0)k 是解析函数
洛朗级数中负幂项
z0 )1的系数 a1 ( z
4
即： Res f ( z0 ) = 1
2πi
l
f ( z ) d z = a1 称为在有限远点z0处的留数
（二）留数定理
1.留数定理
1 z0 为 Q( z ) 的一级极点.
14
1 1 = ( z ), 其中 (z ) 在 z0 解析且 ( z0 ) 0, 因此 Q ( z ) z z0 1 f (z) = P ( z ) ( z ) . z z0 在 z0 解析且 P ( z0 ) ( z0 ) 0.
f ( z )dz + f ( z )dz + + f ( z )dz
第四章 留数定理及其应用
对复变函数dzia定理41多个奇点的留数定理内的有限个奇点外均解析则复连通区域柯西积分定理单奇点留数定理由留数定理泰勒展开可反推出柯西积分公式和解析函数的无穷可导公式可以看作是留数定理的变形
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
第四章 留数定理及其应用
本章主要内容：
1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 留数定理、 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分
1 f (z) = , Res f (∞) = −1 z
※ 回顾：无穷远点奇点类型的判定。
定理4.2 如果 f (z)在扩充了的复平面上只有有限 个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内) 的留数之和为零。 如何证明？ 例4.6
ez f (z) = ，求 Res f (∞) 1+ z
若 f (z)= tan z，是否能求出Res f (∞) ?
§4.1 留数定理 一. 留数的定义
设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在z0的去心邻域
0 < | z − z0 | < R 内有洛朗展式 :
f (z) = ∑ an (z − z0 )
n=−∞ ∞ n
称 a−1 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0)。 即，留数是 (洛朗展式中) 负一次幂的系数。 Question: 为什么强调 z0 孤立奇点？
z→z0
如何证明？
从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.
P(z) 公式 II 若 f (z) = ，其中P(z)和Q(z)均在z0 Q(z) 点解析，且 P(z ) ≠ 0, Q(z ) = 0, Q'(z ) ≠ 0
0 0 0
则
P(z0 ) Res f (z0 ) = Q'(z0 )
第四章留数定理及其应用
两边沿顺时针方向积分
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
x ol
f (z)dz l
ak
zkdz
l
ak l zkdz a1 2 i
k
k
66
因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式 中z-1项的系数的a-1相反数，即
Re sf () a1 若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负 幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远 点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中 没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时， Res f ()一般不为零.
f (z) P(z) 1 其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:
Q(z) sin z
Res
f
(k )
lim
zk
1 (sin z)'
lim
zk
1 cos z
(1)k
k 0, 1, 2,
1144
由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 k 时
的极限点），因此在z=的留数没有意义.
四、推论
若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此 定理称为留数和定理.
77
【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围 在内，则：
m
l f (z)dz 2 i Resf (bk ) k=1
无限远点的留数为： f (z)dz 2 i Resf () l
b
a F ( x)dx C F (z)dz l F (z)dz
2 i[F(z)在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和].
其中
b
数学物理方法课件(北师大版)4
cc??????????????bosonzfifermionzfizfzfsidzzfzfnnnnzcn22re2??????????的极点re2zfcczfzfsidzzfzf?由于0??cdzzfzf于是有??????????的极点的极点rerezfbzffnnbosonzfzfsfermionzfzfszf????2?
y=sinφ π/2
讨论：对于m为负数，约旦引理是否成立？如何处理？
例1. 计算积分：0
fz e
x sin mx dx 2 1 x
y z=i
imz
z imz e 1 z2
O z=-i x
x sin mx 1 x sin mx 1 xe imx 0 1 x 2 dx 2 1 x 2 dx 2i 1 x 2 dx Re s[ f ( z )eimz ]
n n a z z n 0 .
• 由积分公式：
0, 1 n z z0 dz I 2i 1, (n 1) (n 1)
为什么a-1特殊？
fzdz
n
n a z z n 0 dz 2i a -1
(0 1)
p65
思考：当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如 何处理？
1 dx 例3. cosh x
1 C cosh z dz R R 1 1 dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
2
z 2i 的极点，并求 f (z) 在 5 3 z 4z
y=sinφ π/2
讨论：对于m为负数，约旦引理是否成立？如何处理？
例1. 计算积分：0
fz e
x sin mx dx 2 1 x
y z=i
imz
z imz e 1 z2
O z=-i x
x sin mx 1 x sin mx 1 xe imx 0 1 x 2 dx 2 1 x 2 dx 2i 1 x 2 dx Re s[ f ( z )eimz ]
n n a z z n 0 .
• 由积分公式：
0, 1 n z z0 dz I 2i 1, (n 1) (n 1)
为什么a-1特殊？
fzdz
n
n a z z n 0 dz 2i a -1
(0 1)
p65
思考：当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如 何处理？
1 dx 例3. cosh x
1 C cosh z dz R R 1 1 dx dx R cosh x R cosh( x i ) 0 1 1 i dy i dy 0 cosh( R iy ) cosh( R iy )
2
z 2i 的极点，并求 f (z) 在 5 3 z 4z
第4章留数定理及其应用
1
4.1
留数定理
residue
f ( z ) dz = 2π i ∑ Re sf (bk )
k =1 m
一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
∫
L
( Re s f (bk ) = a−k ) 1
D L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re s f (bk ) ：f(z)在 D
8
式中 ϕ ( z ) ，ψ ( z ) 均在 b 点解析， ϕ (b) ≠ 0 ，而 b 为ψ ( z ) 的一阶零点 (即ψ (b) = 0, ψ ' (b) ≠ 0 )
ϕ ( z) a−1 = lim( z − b) f ( z ) = lim( z − b) z →b z →b ψ ( z)
1 = 2i
(3)计算 Resf(0)
1 1 方法一： Resf (0) = lim( z − 0) f ( z ) = lim z ( z − 2i ) z = − 2i z →0 z →0
方法二： a2 = 0 是 f(z)的一阶极点，且 f ( z ) = ( z − 2i) z ⇒ ψ ( z )
⇒ 2π i Re s f (∞ ) + 2π i ∑ Re s f (bk ) = 0 ⇒
∑ Re s f (b ) + Re s f (∞) = 0
k k
k
——求 z = ∞处留数的另一种方法；可将求许多有限远点 的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。
19
2. 应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较 难求的留数。 例：求
n
n = −∞
( a nk ) 2π i δ n , −1 ∑
4.1
留数定理
residue
f ( z ) dz = 2π i ∑ Re sf (bk )
k =1 m
一、留数定理 若函数 f(z)在 D 内除有限个孤立奇点 bk 外解析，则
∫
L
( Re s f (bk ) = a−k ) 1
D L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Re s f (bk ) ：f(z)在 D
8
式中 ϕ ( z ) ，ψ ( z ) 均在 b 点解析， ϕ (b) ≠ 0 ，而 b 为ψ ( z ) 的一阶零点 (即ψ (b) = 0, ψ ' (b) ≠ 0 )
ϕ ( z) a−1 = lim( z − b) f ( z ) = lim( z − b) z →b z →b ψ ( z)
1 = 2i
(3)计算 Resf(0)
1 1 方法一： Resf (0) = lim( z − 0) f ( z ) = lim z ( z − 2i ) z = − 2i z →0 z →0
方法二： a2 = 0 是 f(z)的一阶极点，且 f ( z ) = ( z − 2i) z ⇒ ψ ( z )
⇒ 2π i Re s f (∞ ) + 2π i ∑ Re s f (bk ) = 0 ⇒
∑ Re s f (b ) + Re s f (∞) = 0
k k
k
——求 z = ∞处留数的另一种方法；可将求许多有限远点 的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。
19
2. 应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较 难求的留数。 例：求
n
n = −∞
( a nk ) 2π i δ n , −1 ∑
《留数定理及其应用》课件
留数定理的基本思想
为了更好地理解留数定理，我们需要回顾一些复分析的基础知识，以及复函数在圆盘中的解析性质。这将为我 们后续用留数定理求函数在无穷远处的极限打下坚实的基础。
留ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理的应用
留数定理在数学和物理学中有广泛的应用。我们将一起探讨如何利用留数定 理来求解不同类型的积分、极点以及奇异点，揭开这一神奇定理的应用面纱。
《留数定理及其应用》
探索留数定理及其应用的 PPT 课件，深入浅出地介绍留数定理的定义、基本 思想和应用，以及一些有趣的实例分析。让我们一起探索复分析的精彩世界！
什么是留数定理
留数定理是复分析中重要的工具之一，它能够帮助我们计算积分、求解极点和奇异点等问题。让我们先来了解 一下留数定理的定义和历史，探索其中蕴含的数学美。
实例分析
让我们通过几个实例来深入理解留数定理的具体应用。我们将一起计算一个积分、求解极点以及求解奇异点， 用实例来验证留数定理的实际效用。
总结
我们将总结留数定理的优点和局限性，并展望它在未来的应用前景。留数定理不仅是复分析中的重要工具，更 是数学世界里的一颗璀璨明珠。
山东大学《数学物理方法基础》课件-第4章
f
( z )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
8
小结
1. 判断极点的阶
lim
z z0
(z
z0
)
f
(z)
非零有限值Leabharlann z0为一阶极点lim
z z0
( z
z0 )m
f
( z )
非零有限值
z0为m阶极点
2. 计算极点的留数
lim
z z0
(z
z0 )m
f
( z )
非零有限值
a m
Resf
(z0 )
f(z)在m阶极点z0的留数a-1 = Resf(z0)是(z-z0)m-1项的系数， 该系数可以通过对(z-z0)mf(z)求m-1阶导数求得，
Resf
(z0 )
lim
z z0
1 dm1
(m
1)!
dz
m1
( z
z0 )m
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
9
1
例1：求 f (z) e z 在z0=0的留数Resf(0)
解： 利用e1/z在z0=0邻域上的洛朗级数展开式
1
ez
1 (1)k 1 1 1 1
1 1
1
,
1 (
)
k0 k ! z
定积分 b f (x) d x的积分区间[a,b]可以看作是复数平面上 a
实轴上的一段l1,
方法1：利用自变数的变换把l1 变换为某个新的复数平面
第四章留数定理
第四章 留数定理
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
重点
1、留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1 留数定理
一 、留数及留数定理
1.留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去 心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向闭曲线的积分
l
l1
l2
ln
f (z) d z 2πi[Res f (z1) Res f (z2 ) Res f (zn )]
l
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (z j ).
l
j 1
zn l3 z3
ln z1 l2 z2
l1
D
l
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z - z-1 ,
2i
2i
cos 1 (ei ei )
z z1
,
2
2
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的 正方向绕行一周.
2π
0
R(cos
,
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
(1)n
例4 计算积分
z
zez 2
1
d
z
，C为正向圆周|z|=2.
C
解
由于
f (z)
数学物理方法 第四章.ppt
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则3得
Res[
f
(z),0]
(3
1 lim
1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
18
解 如果利用洛朗展开式求c1 较方便:
z
sin z6
z
1 z6
1
在
z 0 的留数.
解 z 0是 f (z) 的四级极点.
在 0 z 内将 f (z) 展成洛朗级数:
ez 1 z5
1 z5
1
z
z2 2!
z3 3!
z4 4!
z5 5!
z6 6!
1
1 z4
1 2! z 3
1 3! z 2
1 4! z
1 5!
z 6!
,
所以
Res[
f
( z ),0]
c1
1 4!
1. 24
21
例4
计算积分
C
z
(
ez z
1)2
dz
,
C为正向圆周: z 2.
解 z 0 为一级极点, z 1为二级极点,
Res[
f
(
z
),0]
lim
z0
z
z(
ez z
1)2
dz
lim
z0
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z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
f（z）dz 2ia1 2i Re s f（） l
的极点及留数
[解]
f（z）
z z（3 z2
2i
4）
1 z（3 z
2i）
lim（z
z2i
2i）f（z）
lim
z2i
1 z3
1 8i
i 8
z0 2i 是f（z）的单极点
Re s f（2i） i
8
f（z）
z 2i z（3 z2 4）
1 z（3 z 2i）
lim z3 f（z） lim 1 1 i
[推论] 函数f（z）在全平面上所有各点 （有限远和无限远）的留数和为零。
n
Re s f（）
Re s
f（b
）
j
j 1
三、留数的计算
1、一般方法：根据定义，设 f（z）在以孤
立奇点
z0
为中心的环域
0
z
z0
R 内解析，
将f（z）展成洛朗级数：f（z） a（k z z0）k
Re s f（z0） a1
a1
1
2i
C
f（z）dz
称为f（z）在z0点的留数
记作：Re s f（z0） a1
（2）设 f（z）在无限远点 邻域 R z
内解析，将f（z）展成洛朗级数：
f（z） ak zk R z
k
ak
1
2i
C（
f（）
z0）k1
d
积分路径C是位于环域 内按顺时针方向绕z0点 一周的任一闭合曲线
k0
a（k z
z0）k
1
（z z0）m
（z）
am
am（1 z
z0） am（2 z
（z）
z0）2
（z z0）m
在z=z0点解析，且 （z0） 0
（z z0）m
b0 am
f（z） （z） b（k z z0）k
k0
b1 am1 （ m···k···1） bm1
bk a1
（k z0）
根据柯西定理
l ·b1 l1 ·bnln
f（z）dz f（z）dz
l
l（1 ） f（z）dz f（z）dz
l2（）
l
（） n
2iRe s f（b1） Re s f（b2） Re s f（bn）
n
2i Re s
f（b
）
j
j 1
（3）对 点，若f（z）在 R z 环域上解析 f（z） ak zk （R z ）
j 1
（1）若l只包围一个孤立奇点z0：
在z0邻域将f（z）展成洛朗级数
f（z） a（k z z0）k （0 z z0 R）
r·z0 l0
k
l
在R内作包围z0的小圆形回路l0
f（z）dz f（z）dz a（k z z0）kdz
l
l0（）
l0（）k
逐项积分： 当k 1时
（z z0）kdz 0
a1
1
2 i
C
（f z）dz
称为f（z）在 点的留数
记作：Re s f（） a1
二、留数定理
[定理] 设函数f（z）在闭合回路l所围区域B
上除有限个孤立奇点b1，b2，···，bn外解析；
在闭区域B上除b1，b2，···，bn外连续，则：
n
f（z）dz
2i Re s
f（b
）
j
[证明] l
第四章 留数定理及其应用
§4·1 留数定理 一、留数定义
（1）设 f（z）在以孤立奇点 z0 为中心的环
域 0
数：
z
z0
R
内解析，将f（z）展成洛朗级
f（z） a（k z z0）k 0 z z0 R
k
ak
1
2i
C（
f（）
z0）k1
d
积分路径C是位于环域 内按逆时针方向绕z0点 一周的任一闭合曲线
a
m
对单极点（m=1）：
lim（ z
zz0
z0）f（z）
a1
Re
s
f（z0）
对m阶极点：
[定理]设 z0 是f（z）的m阶极点，则
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[证明] z0 是f（z）的m阶极点
f（z）（z
am z0）m
（z
am1 z0）m1
l（0 ）
当k 1时
（z
l0（）
z0）k dz
l0（）
z
dz z0
2i
r·z0 l0
l
f（z）dz 2i a1 2i Re s f（z0）
l
（2）若l包围b1，b2，···，bnn个孤立奇点
作包围各孤立奇点的小圆形回 路l1、 l2 、l3 、···、ln
·b2l2 ·b3 l3
k
※对本性奇点一般只能用此法
0 z z0 R
2、极点留数的计算：设 z0 是f（z）的m阶极点
f（z）（z
am z0）m
（z
am1 z0）m1
k0
a（k z
z0）k
（z
1 z0）m
am am（1 z z0） am（2 z z0）2
lim（z
zz0
z0）m
f（z）
Re
s
z0是f（z）的单极点
f（z0）
lim（z
zz0
z0）f（z）ຫໍສະໝຸດ zlimz0（ zz0）QP（（zz））
lim z z0
Q（zP）（ Qz）（z0）
z z0
P（z0） Q（z0）
3·无限远点留数的计算
n
Re s f（） Re s
f（b
）
j
j 1
[例1]
求
f（z）
z 2i z5 4z3
1 n1 zn2 z
1）
z0 1 是f（z）的单极点
Re s f（1） lim（ z 1）f（z） 1
z1
n
[解2]
Re
s
f（1）
lzim1（ z
n
1
1）
lzim1
1 nz n1
1 n
[例3] 求 f（z） 1 的极点及其留数