运筹学-线性规划新算法：椭球法及karmarkar算法名校讲义 12页PPT文档
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线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
运筹学线性规划ppt课件
16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
《运筹学》线性规划课件
2021/2/22
Page 6
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量
的线性不等式或等式。
【例1-2】
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
x1 2x3x4 4x63x72x8x9 1000
x2
2x4 3x5
x7 2x8 4x9 5x101000
xj 0,j1,2， 10
求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛 坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长 的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方案较多，用计 算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。
《运筹学》线性规划课件
1.1 数学模型
Mathematical Model
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划
Linear Programming
2021/2/22
Page 3
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）通常研究资源 的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标 确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资
资金约束： x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 5 0 0 0
国债投资额约束： x1x2 1000
平均评级约束：
x1x22x33x44x55x62 x1x2x3x4x5x6
平均到期年限约束：
8x110x24x36x43x54x65 x1x2x3x4x5x6
运筹学-线性规划新算法：椭球法及karmarkar算法(名校讲义)
1979年苏联哈奇扬（khachian）提出椭球法 计算量O(n6L2) 引起轰动，但不实用 ③ 1984年，印度科学家karmarkar（在美国贝尔实验室工作） 提出算法：计算量O(n3.5L2) 平均计算量统计： 单纯形算法O(n) karmarkar算法O(lgn)
§2 Karmrkar算法思路（1）
1．出发点：与单纯形法不同，不沿边走，而从内部寻优。 1995年Frisch曾构造函数为：
n 1 T min z C X log x j rk j 1
s.t AX=b 当xj→0，z→∞，而永不靠边走。但存在问题，收效慢 （中间点寻优方法属梯度法）
§2 椭球法思路 （1）
1．变换问题提法：
原问题 : min CT X AX b X 0 对偶问题 max Y T b Y T A CT Y 0 CT X Y T b
§2 椭球法思路 （2）
于是知，若有最优解，则构造的下述复合不等式必成立：
第十三讲 线性规划新算法：椭球法 及karmarkar算法
§1 新算法产生的背景 §2 椭球法思路 §3 Karmrkar算法思路
§1 新算法产生的背景 （1）
1．LP与单纯形——单纯形的黄金时代（二十世纪七十年 代前） P LP模型： x2 Min z =CTX s.t AX≥b X≥0 x1 单纯形算法把连续问题化离散问题 从一个基础可行点，沿边走到另一个更好可行点 单纯形算法为LP推广起到巨大推动作用 单纯形算法统治着LP，几乎LP等同于单纯形算法
T n j 1
C X log( ) xj j 1
n
T
§2 Karmrkar算法思路（3）
使变换中：f ( x k ) f ( x 0 ) k
§2 Karmrkar算法思路（1）
1．出发点：与单纯形法不同，不沿边走，而从内部寻优。 1995年Frisch曾构造函数为：
n 1 T min z C X log x j rk j 1
s.t AX=b 当xj→0，z→∞，而永不靠边走。但存在问题，收效慢 （中间点寻优方法属梯度法）
§2 椭球法思路 （1）
1．变换问题提法：
原问题 : min CT X AX b X 0 对偶问题 max Y T b Y T A CT Y 0 CT X Y T b
§2 椭球法思路 （2）
于是知，若有最优解，则构造的下述复合不等式必成立：
第十三讲 线性规划新算法：椭球法 及karmarkar算法
§1 新算法产生的背景 §2 椭球法思路 §3 Karmrkar算法思路
§1 新算法产生的背景 （1）
1．LP与单纯形——单纯形的黄金时代（二十世纪七十年 代前） P LP模型： x2 Min z =CTX s.t AX≥b X≥0 x1 单纯形算法把连续问题化离散问题 从一个基础可行点，沿边走到另一个更好可行点 单纯形算法为LP推广起到巨大推动作用 单纯形算法统治着LP，几乎LP等同于单纯形算法
T n j 1
C X log( ) xj j 1
n
T
§2 Karmrkar算法思路（3）
使变换中：f ( x k ) f ( x 0 ) k
第二章线性规划PPT课件
第8页/共55页
§1 对线性规划的回顾
单纯形法
三、单纯形法的解题步骤
1、找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
cj
c1 … cm
cm+1
…
cn
cB xB b x1 … xm
xm+1
…
xn
c1 x1 b1 1 … 0
a1,m+1
…
a1,n
c2 x2 b2 0 … 0
a2,m+1
…
a2,n
Y0
【性质1】对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
【性质2】弱对偶原理（弱对偶性）：设X 和Y 分别是问题（P）和（D）的任一可行
解，则必有 z(X)≤ f(Y).
【性质3】最优性判别定理：若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且CX* = Y* b， 则X*,
Y*分别是问题 P和D 的最优解。
——若线性规划有最优解，则一定在凸集的某个（些）顶点 上 达到最优，即此时一定存在某个顶点是最优解。
定理4 若线性规划在可行域的两个顶点上达到最优，则在两个顶点的连线 上也达到最优。
——若线性规划在两个顶点以上达到最优,则一定有无穷多个最优 解—。—最优解不一定是基可行解，基可行解也不一定是最优解。
§1 对线性规划的回顾
单纯形法小结
单纯形表中解的表示形式
1、唯一最优解：最终单纯形表中，所有非基变量检验数δj＜0
2、无穷多最优解：最终单纯形表中，某非基变量检验数δj＝0
3、无界解：某检验数δj＞0对应变量的系数列向量Pk≤0 4、退化基可行解：一个或几个基变量取值‘＝0’的基可行解
出现退化基可行解，可能导致从某个基开始，经过若干次 迭代后又回到原来的基，即单纯形法出现了循环，永远达 不到最优解，导致计算失败。
§1 对线性规划的回顾
单纯形法
三、单纯形法的解题步骤
1、找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
cj
c1 … cm
cm+1
…
cn
cB xB b x1 … xm
xm+1
…
xn
c1 x1 b1 1 … 0
a1,m+1
…
a1,n
c2 x2 b2 0 … 0
a2,m+1
…
a2,n
Y0
【性质1】对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
【性质2】弱对偶原理（弱对偶性）：设X 和Y 分别是问题（P）和（D）的任一可行
解，则必有 z(X)≤ f(Y).
【性质3】最优性判别定理：若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且CX* = Y* b， 则X*,
Y*分别是问题 P和D 的最优解。
——若线性规划有最优解，则一定在凸集的某个（些）顶点 上 达到最优，即此时一定存在某个顶点是最优解。
定理4 若线性规划在可行域的两个顶点上达到最优，则在两个顶点的连线 上也达到最优。
——若线性规划在两个顶点以上达到最优,则一定有无穷多个最优 解—。—最优解不一定是基可行解，基可行解也不一定是最优解。
§1 对线性规划的回顾
单纯形法小结
单纯形表中解的表示形式
1、唯一最优解：最终单纯形表中，所有非基变量检验数δj＜0
2、无穷多最优解：最终单纯形表中，某非基变量检验数δj＝0
3、无界解：某检验数δj＞0对应变量的系数列向量Pk≤0 4、退化基可行解：一个或几个基变量取值‘＝0’的基可行解
出现退化基可行解，可能导致从某个基开始，经过若干次 迭代后又回到原来的基，即单纯形法出现了循环，永远达 不到最优解，导致计算失败。
运筹学PPT 第二章 线性规划
2.9 2 1 1 1 0 0 0 0
2.1 0 2 1
1.5 1 0 1 余料 0.1 0.3 0.9
03 2 1 0 30 2 3 4 0 1.1 0.2 0.8 1.4
10 50
30
设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 分别为上述8种方案下料的原材料根数， 建立如下的LP模型：
min Z =x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
X*
经求解交出 X * 的
二约束直线联立的方程
可解得 X* (2,02)4T 0
2020/5/4
a
40 50
x 100 1 26
由图解法的结果得到例1的最优解 X* (2,02)4T， 还可将其代入目标函数求得相应的最优目标值 z* 42。8说明当甲产量安排 20 个单位，乙产量 安排 24 个单位时，可获得最大的收入 428。
x x
1 1
5x2 10 x
200 2 300
40 30
x 1, x 2 0
各约束的公共部分即
模型的约束，称可行域。 0
2020/5/4
a
40 50
x 100 1 24
对于目标函数
zcxcx
11
nn
任给 z二不同的值，
便可做出相应的二
直线，用虚线表示。
（2）做目标的图形
x2
以例1为例，其目标为
2020/5/4
a
27
x2
练习：用图解法求解
下面的线性规划。
1.5
Minz 6 x 4 x
1
2
2 x1
运筹学线性规划数学模型PPT课件
• 线性规划（概论）
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建 立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析， 对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克， 国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规 划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
第3页/共31页
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题 的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客 观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响 求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正 确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线 性规划数学模型的建立。
第4页/共31页
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
第1页/共31页
• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划 中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建 立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析， 对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克， 国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规 划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
第3页/共31页
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题 的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客 观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响 求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正 确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线 性规划数学模型的建立。
第4页/共31页
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
第1页/共31页
• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划 中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分
运筹学教学课件线性规划学习课件
降低潜在损失
通过全面、有效的风险管理策略，降低潜 在损失。
06线性规划在ຫໍສະໝຸດ 通运输中的应用线性规划在货物运输中的应用
优化运输路径
通过线性规划方法，可以优化货物的运输 路径，从而降低运输成本和时间。
车辆装载优化
线性规划可以优化车辆的装载方案，使得 车辆的装载量达到最大，减少车辆使用数 量和运输成本。
04
线性规划问题的求解方法
图解法
总结词
直观、简单、易懂
详细描述
图解法是一种用几何图形来求解线性规划问题的简单直观的方法，它通过将不等式约束条件转换为图形的限制 条件，将线性规划问题转化为在图中寻找最优解的问题。该方法适用于小规模问题，方便理解，是求解线性规 划问题的基本方法之一。
单纯形法
总结词
03
线性规划问题的数学模型
线性规划问题的标准形式
确定线性规划问题的标准形式
标准形式是由一个线性目标函数和一个线性约束条件组成的数学模型。
将非标准形式转化为标准形式
在求解线性规划问题时，通常需要将非标准形式转化为标准形式，这可以通过引入变量、转换约束条件等方式 实现。
线性规划问题的扩展形式
多目标线性规划
05
线性规划在管理决策中的应用
线性规划在生产计划中的应用
总结词
高效、低成本
确定生产计划目标
通过线性规划方法确定最优质、低 成本的生产计划。
优化生产资源配置
将有限的资源，如人力、物料、设 备等，根据不同产品或部门的需要 ，进行合理分配和优化。
提高生产效率
通过优化生产流程和布局，减少生 产过程中的浪费和等待时间，提高 生产效率。
特点
运筹学注重定量分析、优化思想和系统方法，强调理论与实践相结合，具有广泛应用性和多学科交叉 性。
运筹学基础线性规划.ppt
1
0
1
0
0
-1
10
0
-1
1
-2
1
0
0
0
1
1
0 -1
0
-3
1
0
3
0
0
1
-2
2
-5
12
～0
0
1
0
0
-1
1
-2
1
0
-2
0
1
0
0
0
1
1
--ZW’ 3301 -1 00-1 -001 0 00 -10 -1 -1
210
进行第二阶段的计算 此时求解不是最优，继续迭代
令x5=将x6=第x一7=阶0，段得的最人优工解变X量=列( 0取, 1消, 1, 并,12将, 0目)T标，函m数in系W数= 换0。成因原人问工题变的
解：先划线性规划模型为标准型
第一阶段 Min Z x6 x7 化为标准型 Max W x6 x7
x1 2x2 x3 x4 11 4x1 x2 2x3 x5 x6 3 2x1 x3 x7 1 x1,, x7 0
线性规划
上节小结：利用大M法和两阶段法求解线性规划
Min Z 10x1 8x2 7x3
2x1 x2 6
x1
x2
x3
4
x1, x2 0
试用：(一)大M法、(二)两阶段法求解上述线性规划模型
1
线性规划
（一）大M法求解线性规划模型
minZ= 10x1 +8x2 +7 x3 S.t. 2x1 + x2 ≥ 6
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从一个基础可行点，沿边走到另一个更好可行点
单纯形算法为LP推广起到巨大推动作用
单纯形算法统治着LP，几乎LP等同于单纯形算法
§1 新算法产生的背景 （2）
1972年前未遇到任何问题，人们也不想寻找其它方法 2．单纯形法遇到新挑战 ① 二十世纪七十年代，发现单纯形算法在理论上不是好
算法。 (i)算法分类：
§2 Karmrkar算法思路（4）
对于任意X点，投到n维单纯形后的坐标为：
xi
x i
ai n (xj)1
a j 1 j
xn1
1 n (xj )1
a j 1 j
xn+1 A
a 形心
C
xn a
B x1 （i=1，2，…，n）
谢谢！
xiexie!
明无可行解。
§2 Karmrkar算法思路（1）
1．出发点：与单纯形法不同，不沿边走，而从内部寻优。 2019年Frisch曾构造函数为：
mizn1CTXn lo
rk
j1
gxj
s.t AX=b 当xj→0，z→∞，而永不靠边走。但存在问题，收效慢 （中间点寻优方法属梯度法）
§2 Karmrkar算法思路（2）
max xn
s.t x11 xj1xj 1－xj1
(j2,,n)
当起始点取为x1时，将走遍所有顶点（2n个） 人们开始寻找LP的P算法，2条路：
改造单纯形方法（不功成） 寻找新算法
§1 新算法产生的背景 （4）
② 1979年苏联哈奇扬（khachian）提出椭球法 计算量O(n6L2) 引起轰动，但不实用
第十三讲 线性规划新算法：椭球法 及karmarkar算法
§1 新算法产生的背景 §2 椭球法思路 §3 Karmrkar算法思路
§1 新算法产生的背景 （1）
1．LP与单纯形——单纯形的黄金时代（二十世纪七十年 代前）
LP模型： Min z =CTX
x2
P
s.t AX≥b
X≥0 x1
单纯形算法把连续问题化离散问题
§2 椭球法思路 （2）
于是知，若有最优解，则构造的下述复合不等式必成立：
பைடு நூலகம்
A X b
2．变换上述不等式
X
AˆXˆ
0
bˆ 为
A ~X ~b ~并试图求解。然后
构造一个大的球体，使其必包含不等式可行解（若存在的话）
对球心判断是否为可行解，若是，结束；否则，切割球
体，（切去肯定不包含可行解部分）直至找到可行解， 或证
③ 1984年，印度科学家karmarkar（在美国贝尔实验室工作） 提出算法：计算量O(n3.5L2) 平均计算量统计： 单纯形算法O(n) karmarkar算法O(lgn)
§2 椭球法思路 （1）
1．变换问题提法：
原问题 : 对偶问题
min C T X AX b X 0 max Y T b Y TA CT Y 0 C T X Y Tb
P（多项式）算法:计算量随时规模增大呈多项式增长 （幂 函数）,例n2
NP(指数)算法:计算量呈指数增长,例2n 显然，P算法是好算法（这里指算法中的最坏情况） (ii)有人问LP的单纯形算法属何算法？ 理论上一直未证明出来
§1 新算法产生的背景 （3）
1972年，Klee构造1个反例，证明出现了指数算法
2．Karmarkar解决2个大问题。
①定义目标势函数，按几何级数收敛，（属P算法） 变换原规划的最优解为0，使之第k次迭代值为：
CTXk (1)kCTX0 f
构造势函数为：
n
f(x)f(x， c)nloC gTX loxg j
j1
n log(CT X )
j 1
xj
§2 Karmrkar算法思路（3）
使变换中：f(xk)f(x0)k
②从Xk点找下一点Xk+1点的关键是投影变换。记：
xA xb Pxx0 PxP
设a=(a1,a2,……an)T 是P中任一点（Karmarka算法中是 取某个可行点），设法把P+投影到n+1维空间的n维单纯 形去，且使a落到形心。