2019年华南理工大学高数下答案.doc
对弧长的曲线积分
22，其中曲线C 是
y2ax x 2在 0x2a 的一段弧
a0
、计算x y ds。1
C
解： C 的参数方程为x2a cos2
y2a cos sin2
02 2a cos
22
2 4a2 cos4a2
原式2a sin 22a cos2d
44
2、计算x 3y3ds ，其中 L 星形线x a cos3 t, y a sin3 t 在第一象限的弧
L
0t。
2
4
cos4 t sin4 t 7
sin6 t cos6 t2
7
解：原式 2 a33a cost sin tdt3a 3a3 06
3、计算xyzds，其中为折线 ABC ，这里 A , B , C 依次为点
0,0,0 , 1,2,3 , 1,4,3 。
x t x1
解： AB 段参数方程y2t0t 1， BC 段参数方程y22t0t 1
z3t z3
xyzds xyzds 1
614t 3dt
1
12t dt
原式
012
AB BC
3
1
13
14t 412t6t21418
202
4、计算x2y2 ds ，其中为螺旋线x t cost , y t sin t , z t 上相应于t从 0 到1
的弧。
解：方法一
1221
原式t2sin t t cost t 2 2 t 2 dt
cost t sin t1dt
00
1122121 t 2 t 2 t dt t 2 t 2 t2 20201
2
1
t
2
2
2 t 2 dt
2 t
2t 2
3
3 1 2 2 t 2
dt
1 2 t 2
dt
2
t
3 3
1
1
3 3
1 1
1
原式
2 t
2 dt
2
ln t
2 t
2 4
2
4
2 t 2 t
2
3
1
ln 1 2 3
2 2
方法二、
原式
1 2 cost 2
sin t t cost
2
1 2 2 t 2
dt
t
t sin t 1dt
t
1
1
t
2 2 t 2
1
1 1
2
2t dt
u 2 u du
2 0
2
1
u 2
1
1 1
2
0 2
du
u
1
1
1
2
u
1 1du
1
1
u 1
2
u 1
1
2
1
2
1 2
1
u 1
1du
2
1 0
1
du
2
u 1
1
1 1
2
1
2
1
3 u 1du ln u 1
u 1 1
1
2 0
2 0
3 1 1
u 2
1du
1
ln 2
3
1
2 0
2
原式 3
1
2
3
2
ln
4
方法三、
1
2
2
1
原式
t
2
sin t
1dt
t 2 2 t 2
dt
cost t sin t
t cost
因为
t 3
2 t 2
3 t 2 2 t 2 t
4 4 2t 2 2t 2
t 2 2 t 2 1 t 2
4
4 2 t 2
2 2 t 2 t 2 t 2
t 2 t 2
2 t 2
2t 2 t 2
2 t 2
2
2
2
ln t
2 t 2
t
1 t
2 1 2 t
1 t 2
2
t 2
2
所以
t 3 2 t 2
1 2
1
ln t
2 t 2
t
2 2 t
2
4
t 2 t
2
4
t 3
1
t 2 t 2
1
ln t
1
3 1
ln 1
1
ln 2
原式
2 t 2
2 t 2
3
4
4 2
2 2
2
5、计算
x
2
y 2 ds ，其中 L : x 2 y 2 ax a
L
解： x 2
y 2 ax
r
a cos ，曲线 L 的参数方程为
x a cos 2 cos 2
2
y a sin
原式
2
a cos
a 2 sin 2 2
a 2 cos 2 2 d
2a 2 2 cos d
2a 2
2
6
e
y 2
ds ,
x
y a
，直线
y x , y 0
在第一象限内所围成的
、计算
x 2
其中 L 为圆周
2 2 2
L
扇形的边界。
解：如右图，线段 OA 的参数方程为
x t 0 t 2 a
y
2
t
弧 AB 的参数方程为
x acost 0 t
O y
asin t
4
线段 OB 的参数方程为
x
t
t a y 0
2 a
a
2 a
a
2t
a
t
2t
2 a
t
原式
2 e 2dt
4
e
t 4
e adt
e dt
ae e
0 0
e a 1 a e a e a
1 e a
2
a
2
4
4
7、求曲线 x
at , y
a
t 2 , z a t 3 0 t 1 的质量，其密度
2y 。
2 3
a
解： m
2 y ds
t a 2 1 t 2
t 4 dt a
1
a
2
1
u t
2
1 u u
2 du
a
2
1 0
2
a 2
3
3
1 3
2 1
u
du
1
s ds s u
4 2
22
4
2
3a
3 1
2s
2 2 s
a3
3 1 h 2 dh
2
3 h
s
8 21
3 3 8
3
3
3a 1 ln h 1 h 2 3
h 1 h 2
8 2
3
3
3ln 3 3 a 16
3
8、求半径为 a ，中心角为
的均匀圆弧（线密度
1）的质心。
解：设圆的方程为
x acos 0
y asin
xds
2
cos d
a sin
yds
2 sin d
a 1 cos
x
L
a
， y
L
a
a
a
a
a
所求质心坐标为 a sin
,
a 1
cos
。
对坐标的曲线积分
1、计算下列对坐标的曲线积分
1）
x y dx
x 2 y 2 1周。
x y dy ，其中 L 为按逆时针方向绕椭圆
b 2
L
a 2
x 2 y 2 x a cos 0 变到 2
解：椭圆
b 2
1的参数方程为
b sin
从 a 2
y
2 a cos
bsin a sin
a cos
b sin
b cos d
原式
2
2
2
ab cos2
a
b
sin 2 d
2
2）
y dx x dy ，其中 L 是点 A 1, 0 , B 0 , 1 , C 1 , 0 为顶点的三角形边界 （按
L
逆时针方向）。
x 1 t
x t
x 1 2t
解： AB:
t
BC :
1 CA :
， t 从 0 变到 1
y
y
t
y
1 2t dt
1
1 t dt
1 2t dt
1
原式
1 t 0
3）计算曲线积分
12xy e y dx
cos y xe y dy ，其中 L 为由点 A 1 ,1 沿抛物线
L
y
x 2 到点 O 0 , 0 ，再沿 x 轴到点 B 2,0 的弧段。
解：原式
3 x 2 2x cosx 2
2x
2 x 2
2
12x e
e
dx
1dx
1
3x 4
sin x 2
x 2
0 2
3 sin1 e 2 e sin1 1
xe 1
4） xdx ydy x y 1 dz ，其中
是从点 1 , 1,1 到点 2,3 , 4 的一段线段。
解： 的参数方程为
1
x 1 t
y 1 2t ， t 从 0 变到 1 z 1 3t
1
原式
1
t 2 1 2t
3 1 3t
dt
6 14t dt 13
5 ）
ydx xdy
dz ，其中
是圆柱螺线
x 2cos t , y
2sin t , z
3t 从 t
0 到
t
2 的一段弧。
2 4sin 2 t 4cos 2
t 3 dt
2 。
解：原式
2、计算
2x
y 2
dx
2 y
x 2
dy ，式中 L 是从点 O 0 , 0
沿 L 1 : y x 2
到点 A 2,2 ，
L
2
再由点 A 沿 L 2 : x
y 2 回到点 O 的闭曲线。
2
x t
x 1
t 2
解： L 1 的参数方程为
y
1 t
2 ， t 从 0 到 2 ； L 2 的参数方程为 2 ， t 从 2 到 0
y
t
2
2 1 t 4 dt
1 t 4 dt 0 。
原式
2t
2t
4 2
4
3 而方向依 y 轴的负方向， 求质量为
m
的质点
、设力 F 的大小等于作用点的横坐标的平方，
沿抛物线 1 x y 2 从点 1 , 0 移到 0 ,1 时，求力 F 所做的功。
解： F
0 , x 2 ，抛物线 L 的参数方程为
x 1 t 2 ， t 从0到1。
y t
1
2 2 3
t
5
1
W
x
2
1 t
2 t
dy
dt
t
L
3
5
8
15
4、设
为曲线 x t , y
t 2 , z t 3 上相应于 t 从 0 变到 1的一段曲线弧，把对坐标的曲线
积分
Pdx Qdy Rdz 化为关于弧长的曲线积分。
解：dx
1 ,dy2t ,dz3t
2 dt dt dt
cos
11
14t29t 414 y 29xz
cos
2t2x
14t29t 414 y 29xz
cos
3t23y
14t 29t 414y 29xz
Pdx Qdy Rdz P cos Q cos R cos ds P2xQ3yR ds
1 4 y9xz
格林公式及其应用
1、利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积
1）星形线x a cos3 t , y a sin3 t 。
解： S
2
3a2 cos4 t sin 2 tdt 12a2 2 cos4 t cos6 t dt xdy
00
L
12a2
3
533a2。
166168
方法二、
11
S ydx xdy
2 L2
22
sin4 t cos2 t 3a2 sin2 t cos4 t dt
3a
3a22223a2 2
sin23a2 21cos4t3a2
sin t cos tdt
02tdt
dt
208828 2）9x216 y2144 。
解：S xdy212cos2 tdt48 2 cos2 tdt 12。
L
2、计算x y dx x y dy ，其中L为反时针绕椭圆x2y2
1 一周。a2b2
L
解：利用格林公式
原式
2 dxdy
2 ab
D
3、计算2xy 3
y 2 cosx dx 1 2y sin x 3x 2 y 2 dy ，其中 L 为抛物线 2x
y 2 上由
点 0,0
到
, 1 的一段弧。
2
解：设 P x , y
2xy 3 y 2 cos x
, Q x , y
1 2 y sin x 3x 2 y 2
因为 P
6xy 2
2 y cos x
Q
，所以此曲线积分与路劲无关，
y
x
1
3 2
2
1
2
y 2
dy y y
2
y 3
原式
1 2 y
4 4
4
4、计算
ye xy 3x y 1 dx
xe xy
3 x y 3 dy ，其中 L 为椭圆
x 2
y 2 1的
正
L
a 2
b 2
向一周。
解：利用格林公式
原式
e xy
xye xy
3
e xy
xye xy
1 dxdy
4dxdy
4 ab
x 2
y 2
1
x 2 y 2
1
a 2 2
2
b 2
b
a
x y dx
x
y dy
2
y 2
1。
4）
x 2 y 2 ，其中 L 为正向椭圆 x
L
4
8
解：在 L 的内部以原点为圆心以很小正数
为半径作取正向的圆周
C ，其参数方程为
x cost
2
2
， t 从 0 到2 。由于 P x 2 xy y
Q ，利用格林公式有
y
sin t
y x 2 y 2 2 x
原式
x y dx
x y dy
2 sin t cost
sin
2
t cos 2
t sin t cost dt
x 2
y 2
C
2 1dt 2 。
5、计算曲线积分 I
L f
x sin ydx
f x cos y
x dy ，其中 f
x 为连续函数 L 是
沿圆周
x 1
2
y
2
1
2
y
A
按逆时针方向由点 A2,2
到点O0,0
D 的弧段。
解： P
f x sin y , Q
f x cos y x
x
O
P x cos y ,
Q f
f x cos y
y
x
x 2t 变到 1
OA :
t 从 0 y
2 t
原式
D
dxdy
f x sin ydx
f x cos y
x dy
OA
1 2
1
2
t dt
sin 2 t 2
f 2t cos2 t 4
2 f 2t
2 0
2
4
2t sin 2 t 2
2 t
2 1 2 4
2
2
3
2 4
2
f
2
4 2
4
4
6、计算
xdy
ydx ，其中 L 为 L x 2 y 2
1）圆周 x 2
y 2
1（按反时针方向） ；
1 1
2）闭曲线
x
y 1 （按反时针方向） 。
解：设 P x , y
y
2 ,
Q x , y
x
，它们在
0 , 0 处无定义。
2
y
x 2
y 2
x
P
y 2 x 2 Q
y
x
2
y
2
2 x
1）因为
0 , 0 不在圆周内，所以
xdy
ydx 0 ；
x
2
y
2
L
2）因为
0 , 0 在闭曲线内，所以可在闭曲线内作圆周
C r : x 2 y 2
r 2 （取反时针方向）
xdy ydx
xdy ydx
2
d
2 。
x
2
y 2
x 2
y 2
L
C r
7、证明下列曲线积分在
xoy 平面内与路径无关
2 , 1
3 dx
x
2
4xy 3
dy 1）
2xy y
4
1 , 0
解：因为
2xy y 4 3
2x 4 y 3
x 2 4xy 3
，所以以上曲线积分在
xoy 平面
y x
内与路径无关。
2 , 1 2xy y
4
3 dx x 2
4xy
3
dy 2
1 4 8 y 3
dy 5
1 , 0
3dx 0
1
2）
, 2
e y
cosx m dx
e y
sin x my dy
0 , 0
e y cosx m
e y
cosx
e y sin x
my
xoy 平
解：因为
y
x ，所以以上曲线积分在
面内与路径无关。
, 2 e y
cosx m dx
e y
sin x my dy
cosx m dx
2 m2
0 , 0 0
mydy
8、计算
e y x dx
xe y 2 y dy ，其中是过三点 A 0,0 ,B
0,1 ,C 1, 2
的圆周。
L
解：设 L 围成的区域为
D ，利用格林公式得
e y x dx xe y
2 y dy
e y
e y d
L
D
9、设 f
x 在
,
上具有连续的导数，计算
1 y
2 f xy
x
2
f xy 1 dy
y dx
y 2
y
L
其中 L 为从点
3 ,
2
到点 1,
2 的直线段。
3
1 y
2 f xy
x 2
y
1 f
xy xyf y 2
y f xy 1
解：因为
y
y 2
xy
，所以此曲
x
线积分与路劲无关。取路径沿曲线
xy
2从点 3, 2 到点1,2
3
2
2
f 2
x
dx
x 2
1
原式
1
f 2
x
4 。
1
3
x
x
2
4
3
10、验证 P x , y dx Q x , y dy 在整个 xoy 平面内是某个函数的全微分，并求出一个原
函数。
1）
x y e x e y dx e x x 1 e y dy
解：因为
x y e x
e y
e
x
e
y
e x
x 1 e y ，所以上式在 xoy 平面内是某个
y
x
函数的全微分。
u x , y
x 1 dx
y x 1 e y dy xe
x
e
x
e x y x 1 e
y
xe x
e x
2） 3x 2 y 8xy 2 dx x 3 8x 2 y 12 ye y dy
3x 2 y 8xy 2
3x 2
16xy
x 3 8 x 2 y 12 ye y
xoy 平面内
解：因为
y x ，所以上式在
是某个函数的全微分。
u y x
3
8x 2 y 12ye
y
dy
x 3 y 4x 2 y
2
12ye
y
12e
y
y x , y
x 3 y 4x 2 y 2 12 ye y 12e y 12
3） 2x cos y
y 2 cosx dx 2y sin x
x 2 sin y dy
2x cos y y 2 cosx
2y cosx 2x sin y
2 ysin x x 2 sin y
解：因为
y
x ，所以上式
在 xoy 平面内是某个函数的全微分。
u x
2xdx y
2 ysin x x 2 sin y dy x
2
y 2 sin x x 2
y x , y
0 cos y
y 2 sin x x 2 cos y
11、设有一变力在坐标轴上的投影为
X x y 2 , Y 2xy 8 ，这变力确定了一个力场，
证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。
x y 2
2 y
2xy 8
证明：因为
y x ，所以场力所做的功与路径无关。
对面积的曲面积分
1、计算下列对面积的曲面积分
1）
z 2x
4
y dS ，其中 为平面
x
y z 1在第一卦限中的一部分。
3
2
3 4
4 1
16
x y 1 , x 0 , y
0 围城的区域
解：原式
4
dxdy ，其中 D xy 由
3
D xy
9
2
4 61 2
3 4 61
3
2
3 x x 2
4 61
0 dx
2 dy
3x
3 0 3 4
2）
xy yz zx dS ，其中 是锥面 z
x 2 y 2 被柱面 x 2 y 2 2ax 所截得的有限
部分。
解：原式
xy
x y
x 2
y 2
2dxdy
2
x x 2 y 2 dxdy
x 2
y 2
2ax
x 2
y 2
2ax
d
2a c o s 3 cos dr
8a 4
2
cos 5
d
8a
4
4264
a
4
2
0 r
5 3
15
2
3）
x 2 y 2 z 2 dS ，其中
为球面 x 2
y 2
z 2 2ax 。
解：原式
2
2a 2 x
dxdy
2
2a
dx
2ax x 2
2a 2 x
dy
2ax x
2
y
2 0 2ax x 2
2ax x
2
y
2
x 2
y 2
2 ax
2a
2ax x 2
1
a2
y
2 ax x 2
4a
2
xdx
dy 4a
2
arcsin
dx
x
2ax x 2
y 2
2ax x 2 0
4a
2
2a
xdx
4 a
4
。
2
2、
ydS ，其中 是平面 x
y z 4 被柱面 x 2
y 2 1截的有限部分
解：原式
3 ydxdy
2 d
1 3r 2
sin d
x 2
y 2
1
3、求球面 x 2 y 2 z 2 a 2 含在柱面 x 2 y 2 ax 内部的那一部分面积。
解： S
2 dS ，其中
: z a 2
x 2 y 2 在 xoy 面投影为 x 2
y 2
ax 围成的区域
2
a
dxdy
2 2 d
a cos
ar
dr
2
2
a 2
a 2 sin d
x 2 y 2
ax
a
2
x
2
y
2
2 0
a 2 r
2
2
4a 2
2 1
sin
d
2a 2
2
4、求抛物面壳
z 1 x 2
y 2 , 0 z
1 的质量，此壳的面密度大小为
z 。
2
解： m
zdS
1 x 2
y 2 1 x 2 y 2 dxdy
x 2
y 2
2
2
2 2 1
3 1 r 2 dr 2
2 1
u 1 udu （其中 u
r 2
）
d
r
4
2
2
1
u 1 u 6
3 2
1 5
2
3 3 1 2
1 u
2 2
3
6 3 1
15
5 15 15
5、设圆锥面 z
h x 2 y 2 （ a 为圆锥面底面半径， h 为高），其质量均匀分布， 求其重心。
a
解：由对称性可得 x 0 , y 0 ，无妨设其密度为 1，
zdS
1
h
y 2a
2
h 2
z
h 2
h 2
x 2
dxdy
a a 2 a a 2 x 2 y 2 a 2 a
a
h d
r 2 dr 2 h
2
a
a 3 0
3
所求重心为 0 , 0 , 2
h
。
3
6、计算
dS
，其中
是四面体 x
y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 的边界。
2
1 x y
解：原式
1
dxdy
1
dydz
1 dxdz
3 dxdy
2
1 y 2
2
2
D
xy
1 x y
D
yz
D
xz
1 x
D xy
1 xy
1 1 x
1
3
dy
1
dx
1 x
1 dz
dx
2
2 0
2 0
1 x
y
1
x
1 1 x
1 x
1 3
dx
2
1 dx 0 1
x
y
1
x 2 0
1 1
3
1
1 dx 2
1
2
2
1 dx
1 x
2
1 x 1 x
1
2
1
1
3 ln 1 x
x 2
ln 1 x
2 0
1
x
3
3
3 1 ln 2
2
对坐标的曲面积分
，其中
是柱面 2
2
1
zdxdy xdydz
x
y 1
、计算
ydxdz
0 及 z 3 所截得
被平面 z
的在第一象向部分的前侧。
解：
在 xoy 上的投影区域 D xy 为一段圆弧；
在 xoz 面上投影区域为 D xz :0 z 3 , 0 x 1
在 yoz 面上投影区域为
D yz :0 z
3 , 0 y 1
1 y 2
dydz
1 x 2
dxdz
2 1
3
1
1 x 2
dx
3
原式
x 2
dxdz 2 dz
0 D
yz
D
xz
D
xz
2
2、计算曲面积分
I
z 2 x dydz
zdxdy ，其中
为旋抛物面 z
1 x
2 y 2 下侧介
2
于平面 z 0 及 z 2 之间部分。
解：原式
z 2
2z y 2 dydz
D
yz
z 2
2z y 2 dydz
1 x 2
y 2 dxdy
D
yz
D
xy
2
2
2 z
2 2z
y
2 dz 2
2
z
2
2z y 2
dz
2
d
2
1 r 3
dr
dy y 2
dy y 2
2
2 2
2 2
2 2
2 1
3
2
2
2
2
2z y dz 4
2
2z y
dy
4
2
dy y 2
2
3
2
y 2
2
2
2
1
2
3
1
4
64 3 1
2
y 2
dy 4 4
2 16cos tdt
4
4
4
3
3
4 2
2
2
3
8
这里用换元法计算定积分， （令 y
2sin t ）及
2
cos n tdt 的计算公式。
3、计算
e x y 2 dydz ，其中 为半锥面 z
x 2 y 2 及平面 z 1 , z
2 所围成立体
x 2
表面外侧。
解：曲面分成四部分
1 : z
1 x
2 y 2
1 ,
2 : z
2 x 2
y 2 4
3 : x z
2
y 2
,
4 : x
z
2
y 2
，
1 ,
2
在 yoz 面上投影区域面积为零，
3 ,
4 在 yoz 面的投影为梯形
D yz 由 z 1 , z 2 , z y , z
y 围成，所以
e x dydz
2
z
e z 2 y 2
2
dz
z
e z 2 y 2
x
2
y
2
1 dz z z dy
1z z dy
定积分无法求出，题目有问题。
、计算 xydydz
yzdzdx
xzdxdy ，其中
是平面 x
0 , z 0 , y
0 , x y z 1 所
4
围成空间区域整个边界的外侧。
解：原式
xzdxdy
xydydz
yzdzdx
1
2
3
xydydz yzdzdx xzdxdy
4
0 0
0 1 1
y
x
y dx
0 dy
x 1
1 1 x
z dz
1 1 y y z dz
dx
z 1 x
dy
z 1 0
2
1 y
3
2
1 dy
1 y x 1 x
y dx
3
1 1 y
y 1 y
dy
3 0 0
2
3 2 0
3
4
1
1 y
y 4 y 3 y 2 3 3 3 1
3
1 y 6 12
8 3
4
24
12 24 8
2
5、计算曲面积分
axdydz
z a
dxdy ，其中 下半球面 z
a 2
x 2
x 2 y 2 z 2
a 为大于零的常数。
解：
对应侧的法向量为
n
x
,
y , 1
a 2
x 2 y 2 a 2
x 2
y 2
z a 2
原式 xdydz
dxdy
a
a 2
x 2
y 2
2
x 2
a
d x d y
a
2
x
2
y
2
a
x 2
y 2
a 2
3
2
2
r
3
a
2
r
2
2
d
a r cos
2a r
2ar
dr
0 0
a 2
r 2 a
sin 2
2
1
2
3 a
2r
4
2
2
2
2 2
2
2
r 2
2 2
a
r
a
r
ar
a
2 4
3
4a
3
3 a 3
2 a 3
1 a 3
2
2
y 2 的上侧，
a
3
r 2 2
6、把对坐标的曲面积分
P x , y , z dydz Q x , y , z dzdx R x , y , z dxdy 化为对
面积的曲面积分：
1） 是平面 3x 2 y 2 3z 6 在第一象限的部分上侧。
2）
是抛物面 z
8 x 2
y 2 在 xoy 面上方部分的上侧。
解： 1） 对应侧的法向量为
n
3 , 2 , 2
3
n 3 , 2 , 2 3 n
5
5
5
3P x , y , z 2Q x , y , z 2 3R x , y , z
dS
原式
5
2）
对应侧的法向量为 n
2x , 2y , 1
n
2x
2y
1
n
4x 2 ,
4x 2 4 y 2 1
,
21
4 y 2 1
4x 2 4 y
2xP x , y , z
2yQ x , y , z R x , y , z
dS
原式
4x
2
4y 2
1
高斯公式和斯托克斯公式
1、利用高斯公式计算曲面积分
1）求 I
x 2 dydz 2 y 2 dxdz 3 z 2 4 x 2 y 2 dxdy
，其中
为 z
x 2
y 2 与 z 2 围
成的立体的表面，取外侧。
解： 利用高斯公式可得
I
2x 4 y 6z dxdydz
dxdy
2
2x 4y 6z dz
x 2
y 2
x 2
y 2
4
2 x 4 y 2
x 2 y 2
3 4 x 2
y 2 dxdy
x 2
y 2
4
2
d 2
r
3
2cos
4sin
12r 3r
3
dr
0 2r
2
2
8
cos
16
12 d
24
sin
3
3
2）利用高斯公式计算曲面积分
8 y 1 xdydz 2 1 y 2 dxdz 4 yzdxdy ，其中
是由
曲线
z y 1
x
1 y 3
绕 y 轴旋转一周所成曲面，它的法向量与
y 正方向夹角
1
恒大于。
2
解：曲面为 x2z2y 1 1y 3 ，并取左侧。
作辅助曲面1 : y3x2z2 2 ，并取右侧，利用高斯公式可得8y 1 xdydz 2 1y2dxdz4yzdxdy
8y1 4 y 4 y dxdydz8 y 1 xdydz 2 1y2 dxdz 4 yzdxdy
1
dxdydz16dxdz dxdz
3
2 dz32
22
r 3 dr 32 1 x
2
z
d2r
x2 z2 2x2 z22
00
34
3）设函数f u 由一阶连续的导数，计算曲面积分
I 2 f xy2dydz 1 f xy 2dzdx x2 z y2 z 1 z3dxdy
y x3
式中时下半球面 x2y2z2 1 ( z 0) 的上侧。
解：添加辅助曲面1 : z 0 x2y2 1 ，并取下侧
利用高斯公式可得
I 2 yf xy 2 2 yf xy2x2y2z2 dxdydz
1
2 f xy2dydz 1
f xy2 dzdx x2 z y2 z 1 z3dxdy
y x3 1
I x2y2z2dxdydz x2 z y2 z 1
z3 dxdy
1
3
21
22 sin d02
d d
2
05 2、利用斯托克斯公式计算曲线积分
1）3ydx xzdy yz2dz ，其中是圆周x2y22z
，从 Oz 轴正方向看去，取逆时
z2针方向。
解：取x2y24
并取上侧z 2
dydz dzdx dxdy
原式
x y z
3 y xz yz2
z2x dydz z 3 dxdy z 3 dxdy5dxdy20
x2 y 24
2）ydx3zdy2xdz，其中为圆周 x2y2z2 4 , x y z0 ，从y轴正方向看去，这圆周是逆时针方向。
解：对应单位法向量为1,1,1
333
111
333
原式
y dS
x z
y3z2x
66
8 3 dS4
33