二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，
二次函数抛物线型问题
1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满 足下列函数关系式：61t 5h 2 +--=）（ ，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米 【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6），∵a=-5<0，∴当t=1 时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。 【方法规律】在二次函数顶点式2 ()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。 【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。 【关键词】二次函数、最大值 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题，好题，易错题 2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A ．4米 B ．3米 C ．2米 D ．1米 【答案】A 【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为22 44(1)04444(1) ac b a -?-?-==?-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可． 【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误． 【关键词】二次函数的最值 【难度】★★☆☆☆ 3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为 了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m
二次函数的交点式
二次函数之交点式 【课前自习】 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴 交点坐标是 . 【课堂学习】 一、探索归纳： 1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件.
练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232 +-=x x y ⑵232 -+-=x x y ⑶4622 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 二、典型例题： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x ，则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 归纳：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02， x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是【拓展提升】 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式.
二次函数与菱形的专题
二次函数与菱形 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式． （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理 由． 2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；
（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F． （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P的坐标； （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、 B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式； （2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大最大值为多少 （3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式．
知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；
二次函数应用(1)抛物线形问题
课题:30.4二次函数应用1----抛物线形问题 时间： 姓名： 学习目标:1.能根据题意建立适当坐标系，求出二次函数解析式 2. 会运用二次函数性质及其图像的知识解决现实生活中的抛物线形问题 一、知识链接: 1.二次函数y=a(x-h)2 +k 的顶点坐标为（2,4）且过点（0，1）则其解析式为 二、新知初探： 如图，一位运动员在距篮框水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ （3）你还有其它建坐标系的方法吗？不同坐标系所对应的的解析式有何异同？得到的第（2）问答案是否相同？ 题组训练： 1.如图，在相距2m 的两棵树上栓了一根绳子做成一个简易秋千，栓绳子的地方都高出地面 2.6m ，绳子自然下垂近似呈抛物线形．当身高1.1m 的小妹距较近的那棵树0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m ． 2. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美 丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米。 (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； (2)求出水柱的最大高度的多少? 达标测评： 1. 一座拱桥的轮廓呈抛物线形，拱高6米，跨度为20米，相邻两立柱间的距离均为5米. （1）建立适当的直角坐标系，求这条抛物线的表达式. （2）求立柱EF 的长. （3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3 米的汽车能够通过 （车顶与桥拱的距离不小于 0.3米），行车道最宽可铺设多少米？ （提升题）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点相距83 米． （1）求出点A 的坐标；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点？
二次函数小综合-二次函数与交点问题
二次函数小综合-二次函数与交点问题 例1(2018四调题改)抛物线y ＝x 2 －kx －k ，A (1，－2)，B (4，10)，抛物线与线段AB (包含A 、B 两点)有两个交点，那么k 的取值范围为_______． 解：线段AB 的解析式是_______(1≤x ≤4)，联立抛物线与直线解析式方程得x 2 －4x ＋6＝kx ＋k ，该方程在1≤x ≤4时有两根，此方程可以看作定抛物线_______(1≤x ≤4)，与过定点C (－1，0)的动直线_____．(填写解析式，上同)，有两个交点，画出图像如图． 根据图像回答问题： M 点的坐标为______，N 坐标为______； l 1的k 值为________；l 2的k 值为________． 所以，仅有两个交点时，k 的取值范围为_____________． y ＝4x －6,y ＝x 2 －4x ＋6,y ＝kx ＋k , (1,3),(4,6),k ＝±6, k ＝ 65,－6＋k ≤65 . 例2．直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点，则m 的取值范围为 ﹣5＜m ≤或m ＝8﹣2 ． 解：联立可得：x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3＝0， 令y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3， ∴直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点， 即y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3的图象在0≤x ＜4上只有一个交点， 当△＝0时，即△＝（m +2）2 ﹣4（5m ﹣3）＝0解得：m ＝8±4， 当m ＝8+4 时，x ＝ ＝5+2 ＞4
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案） 1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s 3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所 在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面40 3 m，则 水流落地点B离墙的距离OB是（） A．2m B．3m C．4m D．5m 4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（） A．0.55米B．11 30 米C． 13 30 米D．0.4米 5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛
物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( ) A ．2.5米 B ．3米 C ．3.5米 D ．4米 6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2 36042 y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A ．1米 B ．2米 C ．5米 D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣ 1 18 ．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ． A ．3 B ．2 C ．3 D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
二次函数的交点
孟老师初三12月7日学案 II二次函数图像于x轴有二个交点 ⑴利用交点确定不等关系 （2011?常州）已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变 A．y＞0、y＞0 B．y＜0、y＜0 C．y＜0、y＞0 D．y＞0、y＜0 12121 ⑵利用交点确定字母的值 （2010?乐山）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（） A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6D．﹣1 ．B．C．D． （2011?随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三A．0B．1C．2D．3 （2009?孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于．B．C．D． （2011?大庆）二次函数：y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于．（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值． （2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系 数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|= ===； 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形． （1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值； （2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值． （2012?南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 左边），与y轴交于点C． （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）． ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； ②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由． 二：二次函数于反比例函数的交点 利用了图象上的点的坐标特征来解
二次函数中的存在性问题(答案)(可编辑修改word版)
二次函数中的存在性问题姓名 1.已知抛物线y=﹣x2+ x﹣3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2.已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4 相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x 轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x 轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D 坐标，如果不存在，说明理由． 3.已知直线y=x﹣3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n 经过点A 和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA 上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．
4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC 及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积； （3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C． （1）求直线BC 的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．
二次函数2抛物线
二次函数（2）抛物线 学习目标： 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的思维重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象 难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 学习准备: 1、二次函数的定义要点 2、二次函数的一般表达式 3、圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式 4．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式． 5、一次函数的图象是你还记作图的步骤吗？ 教学过程： 一、范例 例1、画二次函数y=x2的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： ①自变量x的取值范围是什么？ ②要画这个图，你认为x取整数还是取其它数较好？ ③看x2，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有 什么关系？ x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … y …… 中描点。①在画坐标系时x轴的正、负半轴和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？ ②怎样画就可以了呢？ (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 它有对称轴，且对称轴和图象有交点。开口方向： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做，分组讨论。交流 1．在同一直角坐标系中，画出y=-x2的图象，观察并比较这个图象与函数y=x2，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 四、归纳、概括 函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2及y＝2x2、
度九年级数学下册第5章二次函数5.5用二次函数解决问题5.5.4利用二次函数解决抛物线形拱桥问题同步练习新版
第4课时利用二次函数解决抛 物线形拱桥问题 知|识|目|标 1．通过对抛物线形的拱桥有关问题的分析，会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形拱桥的有关实际问题． 2．通过对抛物线形的隧道有关问题的分析，会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形隧道的有关实际问题． 目标一会利用二次函数解决拱桥问题 例1 教材问题3针对训练如图5－5－7，一座抛物线形拱桥架在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3 m时，水面宽AB为6 m. (1)以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，求该抛物线相应的函数表达式； (2)连续几天的暴雨，使水位暴涨，测量知桥孔顶部到水面的距离为4 3 m，此时水面宽 CD为多少？ 图5－5－7 【归纳总结】解决抛物线形拱桥问题的步骤 (1)建立合适的平面直角坐标系； (2)依据题意，求出函数表达式； (3)根据要求解决问题． 目标二会利用二次函数解决隧道问题
例2 教材补充例题如图5－5－8所示，一条内设双向道隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为 2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m. (1)求抛物线相应的函数表达式； (2)一辆货运卡车高4 m，宽2.4 m，它能通过该隧道吗？ 图5－5－8 【归纳总结】解决能否通过隧道问题的关键点 车辆通过隧道问题一般情况是以抛物线的对称轴为车辆的对称轴进行解答． (1)当已知宽度时，将宽度转化为相应的自变量代入到二次函数表达式中，求出高度(函数值)．若求得的高度小于车辆的高度，则车辆不能通过；若求得的高度大于车辆的高度，则车辆能通过． (2)当已知高度时，可以将车辆的高度(函数值)代入到二次函数表达式中，求解一元二次方程，得到两个根，若两个根之间的差的绝对值大于车辆的宽度，则车辆能通过；若两个根之间的差的绝对值小于车辆的宽度，则车辆不能通过． 知识点一建立适当坐标系，用二次函数知识解决 抛物线形拱桥的实际问题 此类问题往往以桥拱最高点为坐标原点，以水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系，然后根据题意确定坐标系内特殊点的坐标，从而确定二次函数表达式，再根据实际问题求出相应的二次函数中的问题，注意要检验结果． 知识点二建立适当坐标系，用二次函数知识解决 抛物线形建筑物中的实际问题 日常生活中常见的抛物线形建筑物，如抛物线形大门、抛物线形隧道、抛物线形大棚等．建立的坐标系不同，得出的二次函数表达式也不同，但实际求得的结果是一致的．应注意选择便于解决问题的坐标系． 你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图5－5－9所示，甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手之间的距离为4 m，距地面均为1 m，学生丁、丙分别站在与甲拿绳的手水平距离为2.5 m，1 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的
二次函数经典解题技巧
龙文教育学科教师辅导讲义
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． … 解：（1）根据题意，得 ?? ? ? ? + ? - ? = - + - ? - - ? = . 4 5 , )1 ( 4 )1 ( 2 2 c a c a …2分 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为5 4 2- - =x x y．……4分 （2）令y=0，得二次函数5 4 2- - =x x y的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分 由于P是对称轴2 = x上一点， 连结AB，由于26 2 2= + =OB OA AB， — 要使△ABP的周长最小，只要PB PA+最小.…………………………………6分 由于点A与点C关于对称轴2 = x对称，连结BC交对称轴于点P，则PB PA+= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PB PA+ 的最小值为BC. 因而BC与对称轴2 = x的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为b kx y+ =，根据题意，可得 ? ? ? + = - = . 5 ,5 b k b 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 b k 所以直线BC的解析式为5 - =x y.…………………………………………………9分 因此直线BC与对称轴2 = x的交点坐标是方程组 ? ? ? - = = 5 ,2 x y x 的解，解得 ? ? ? - = = .3 ,2 y x 所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 , 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）. ⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
数学二次函数与三角形综合题型
22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3， 0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h ＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值； （3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=． 22．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4，
二次函数的交点式
二次函数的交点式 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根。 设baiy=ax2+bx+c此函数与x轴有两交点,, 即ax2+bx+c=0有两根分别du为 x1,x2, a(x2+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理 a[x2-(x1+x2)x+x1*x2]=0 十字交叉相zhi乘： 1x -x1 1x -x2 a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。 定义与表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，
开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 抛物线与x轴 交点个数 Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 系数表达的意义 a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口。 b和a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。 c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）。
二次函数抛物线练习题
九年级二次函数抛物线型练习题 1、如图，一个圆形喷水池中央安装一个柱形喷水装置OA ，A 处向外喷水，水流在各方向沿形状相同抛物线路径落下，水流喷出高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是4 7 22 + +-=x x y ，柱子的OA 的高度是＿＿＿＿米，水池半径至少为＿＿＿＿米，才能不落在池外。 2、一名学生推铅球时，铅球运行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，且（4,3）为图象顶点。 （1）求y 与x 的关系式。 （2）求铅球出手时的高度。 3、一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度4m 时，拱顶到水面距离是2m ，当水面下降1m 后，水面宽度是多少？请建立适当坐标系解决以上问题。 第1题 第2题 第3题
4、如图，隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形长8m ，宽2m 。抛物线可以用4241+ - =x y 表示。 （1）一辆卡车高4m ，宽2m ，它能通过隧道吗？ （2）如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车是否可以通过？ 5、某高尔夫球手击出的高尔夫球是一条抛物线，当球水平运动24m 时，达到最高点A 。落地点B 比击球点C 的海拔低1m 。它们的水平距离是50m 。 （1）如图建立直角坐标系，求球的高度h （m ）关于水平距离x （m ）的二次表达式。 （2）与击球点相比，球运动到最高点时有多高？ 第4题 ） 第5题
6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。 （1）求这条抛物线所对应的函数关系式。 （2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？ 7、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成。如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少0.5米，若行车道总宽度AB 为6m ，计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？ 8 、有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的 x 第7题 第8题
