专题03 整式方程与分式方程(考点串讲)(解析版)
专题03 整式方程与分式方程
【考点剖析】
整式方程：
1字母系数：关于x 的方程20,0mx n ax bx c +=++=中，把用字母表示的已知数m 、n 、a 、b 、c 叫做字母系数.
2.含字母系数的一元一次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；
求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程
定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；
解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；
一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n ；其中n 大于2的方程称为一元高次方程.
5.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：
00,(,)0n ax b a b n +=≠≠是正整数.
二项方程的解法：将方程0n
ax b +=变形为n
b
x a
=-
，当n 为奇数时，x =n 为偶数时，如果
0ab <，x =；如果0ab >，那么方程没有实数根. 分式方程：
6.可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；
解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.
7.用换元法解分式方程（组） 【典例分析】
例题1（松江2018期中6）二项方程
5
11602
x -=的实数根是 .
【答案】2x =； 【解析】由二项方程
5
11602
x -=得532x =，所以5322x ==. 例题2（崇明2018期中12）关于x 的方程21a x x +=的解是 . 【答案】2
1
1
x a =
+； 【解析】由21a x x +=得2
(1)1a x +=，因为210a +≠，故2
1
1
x a =
+. 例题3 （杨浦2019期中11）关于x 的方程：2210x kx +-=是二项方程，k= . 【答案】0；
【解析】如果关于x 的方程2210x kx +-=是二项方程，那么0k =.
例题4（静安2018期末10）如果关于x 的方程bx 2＝2有实数解，那么b 的取值范围是 ． 【答案】b ＞0；
【解答】解：根据题意得b ≠0，22x b =
，当2
0b
>时，方程有实数解，所以b ＞0． 例题5 （黄浦2018期中14）在公式12
111R R R =+中，已知正数R 、R 1（R ≠R 1），那么R 2=______． 【答案】
1
1RR R R
-；
【解析】解：
1211111R R
R R R RR -=-=，则121RR R R R =-，故答案是：11RR R R
-． 例题6（长宁2019期末4）若关于x 分式方程＝
有增根，则m ＝ ．
【答案】1；
【解析】解：去分母得：x ﹣m ＝1，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，代入整式方程得：2﹣m ＝1，解得：m ＝1，故答案为：1
例题7（浦东四署2019期末12）解分式方程22141x x x x --=-时，设21
x
y x =-，则原方程化为关于y 的整式方程是 . 【答案】2
410y y --=；
【解析】因为
2
1
x y x =-，所以原方程可化为14y y -=，变形得2
410y y --=.
例题8（松江2019期中19）解关于x 的方程：(5)1a x x -=+. 【答案】当1a ≠时，方程的根是151
a
x a +=
-； 当1a =，方程没有实数根. 【解析】解：51ax a x -=+，51ax x a -=+，(1)51a x a -=+，当10a -≠时，151
a
x a +=-； 当10a -=时，方程无实数解∴当1a ≠时，方程的根是151
a
x a +=-；当1a =，方程没有实数根. 例题9（浦东四署2019期末20）解方程：214124
x x -=--. 【答案】1x =-；
【解析】解：去分母，得：2244x x +-=-，整理，得：220x x --=，解得21x x ==-或，经检验2x =是原方程的增根，舍去；1x =-是原方程的解.所以原方程的解是1x =- 例题10（闵行2018期末19）解分式方程：22161
242
x x x x +-=
--+. 【答案】x ＝﹣5；
【解析】解：去分母得：（x +2）2﹣16＝x ﹣2，整理得：x 2+3x ﹣10＝0，即（x ﹣2）（x +5）＝0， 解得：x ＝2或x ＝﹣5，经检验x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝﹣5． 【真题训练】 一、选择题
1.（浦东一署2018期中1）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A.
51
9x
= B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A 、是关于x 的分式方程，错误； B 、是关于x 的一元四次方程，错误； C 、是关于x 的一元一次方程，错误； D 、是关于x 的一元二次方程，正确； 故选：D ．
2.（浦东四署2019期中1）下列方程中，是二项方程的是（ ） A.2
2
4x y +=； B.20x =； C.22x x -=； D.320x +=. 【答案】D ；
【解析】根据二项方程定义“0(0,0,)n
ax b a b n +=≠≠是正整数”可知答案选D. 3.（崇明2018期中3）下列说法正确的是（ ） A.2
24x y -=是二元二次方程； B.
1423
x x
--=是分式方程； 2223x x -=是无理方程； D.20x x -=是二项方程.
【解析】A 、2
24x y -=是二元二次方程，正确；B 、是整式方程，故B 错误；C 、是整式方程，故C 错误；D 、不是二项方程，故D 错误；因此答案选A.
4.（浦东2018期末1）在下列方程中，分式方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C ；
【解析】解：A 、该方程是整式方程，故本选项错误； B 、该方程是无理方程，故本选项错误； C 、该方程符合分式方程的定义，故本选项正确； D 、该方程属于无理方程，故本选项错误； 故选：C ．
5.（浦东2018期中1）方程24
02
x x -=-的根是（ ）
A.
，
B.
C.
D. 以上答案都不对
【答案】C
【解析】解：两边都乘以x-2，得：x 2-4=0， 解得：x=2或x= -2， 当x=2时，x-2=0，舍去； 当x= -2时，x-2= -4，符合题意； 故选：C ．
6. (长宁2018期末3)下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. 330x +=； B. 230x +=； C.
21
03
x =-； D.30x +=.
【答案】A ；
【解析】解：A 、330x +=，3
3x =
-，有实数根，正确；B 、平方不能为负数，无实数根，错误；C 、分式方程中
分母不能为零，无实数根，错误；D 、算术平方根不能是负数，无实数根，错误；故选：A ．
7. (奉贤2018期末3)已知一元二次方程x 2-2x -m =0有两个实数根，那么m 的取值范围是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一元二次方程x 2-2x-m=0有两个实数根， ∴△=4+4m≥0， 解得：m≥-1． 故选：B ．
8．（普陀2018期末3）用换元法解方程2231512x x x x -+=-时，如果设21
x
y x =-，则原方程可化为（ ） A ．15
2
y y +
=； B ．22520y y -+= C ．26520y y ++=； D. 1532
y y +
=.
【解析】解：设2
1
x
y x =-，则原方程变形为：1532y y +=，故选：D ． 二、填空题
9.（崇明2018期中16）方程510x +=的解是 . 【答案】1x =-；
【解析】由510x +=得51x =-，所以1x =
=-
10.（嘉定2019期末10）二项方程32540x +=在实数范围内的解是 . 【答案】3x =-；
【解析】32540x +=变形得327x =-，所以3x ==-.
11.（浦东四署2019期中8）方程4
1208
x -=的根是 . 【答案】2x =±；
【解析】原方程变形得4
16,2x x =∴==±.
12.（浦东四署2019期末7）方程4232x =的根是 . 【答案】2±；
【解析】由方程4232x =得：416x =，所以2x =±. 13.（静安2019期末9）方程3640x -=的根是 . 【答案】4x =；
【解析】解：3640x -=得364x =，所以4x =
=.
14.（松江2018期中4）关于x 的方程6ax =-有解的条件是 . 【答案】0a ≠；
【解析】关于x 的方程6ax =-有解的条件是0a ≠.
15.（浦东四署2019期中10）如果关于x 的方程(23)3m x +=有解，则m 的取值范围是 . 【答案】32
m ≠-
； 【解析】因为关于x 的方程(23)3m x +=有解，所以230m +≠即32
m ≠-. 16. （浦东2018期末8）当k =______时，方程kx +4=3-2x 无解．
【解析】解：∵kx+4=3-2x ， ∴（k+2）x=-1， ∴k+2=0时，方程kx+4=3-2x 无解， 解得k=-2． 故答案为：-2．
17．（青浦2018期末10）关于x 的方程ax ﹣2x ﹣5＝0（a ≠2）的解是 ． 【答案】52
x a =
- 【解析】解：ax ﹣2x ﹣5＝0，（a ﹣2）x ＝5， 522a x a ≠∴=-Q ，故答案为：52x a =-．
18.（崇明2018期中13）方程13
2
x x =
-的解为 . 【答案】1x =-； 【解析】由方程
13
2
x x =
-得，23x x -=，解得1x =-，经检验1x =-是原方程的解. 19. （松江2019期中12）方程
21
01
x x -=-的解是___________. 【答案】x=-1
【解析】解：21
01
x x -=-，去分母得：x 2﹣1=0，解得x=±1，当x=1时，x ﹣1=0，舍去，则原方程的
解为x=﹣1.故答案为：x=﹣1. 20.（金山2018期中14）如果分式方程133
x k
x x -=
--有增根，那么k 的值是 . 【答案】3；
【解析】将分式方程133
x k
x x -=
--去分母得：(3)x x k --=，再将方程的增根3x =代入得3k =. 21. （杨浦2019期中10）若方程1
11
ax x +=-有增根，则a 的值为 .
【答案】-1；
【解析】解：去分母得11ax x +=-，将增根1x =代入得1a =-，故a 的值为 - 1.
22.（崇明2018期中15）用换元法解方程
123021x x x x ++-=+时，如果设1
2x y x
+=，那么原方程可化为含y 的整式方程是 . 【答案】2
310y y -+=；
【解析】根据题意，得1
30y y
+
-=，整理得：2310y y -+=. 23.（松江2018期中8）用换元法解方程2231712x x x x -+=--时，如果设21
x y x
-=，那么原方程可化为关于y 的整式方程，这个整式方程是 . 【答案】2
2760y y ++=；
【解析】因为21x y x -=，所以原方程可化为：372
y y +=-，整理得：2
2760y y ++=.
24. （杨浦2019期中7）已知方程212212=---x x x x 若设21
x y x
-=,则原方程可化为关于y 的整式方程 . 【答案】2
220y y --=；
【解析】因为
21
x y x
-=，所以原方程可化为：22y y -=，整理得：2220y y --=.
25. (长宁2018期末11)用换元法解方程15132x x x x -+=-，若设1
x y x =-，则原方程可以化为关于y 的整式方程是______．
【答案】
2
61520y y -+=； 【解析】解：用换元法解方程
15132x x x x -+=-，若设1
x
y x =
-，则原方程可以化为关于y 的整式方程是261520y y -+=，故答案为：261520y y -+=．
26. (奉贤2018期末10)用换元法解方程
22321121x x x x +-=+时，如果设2
21
x y x =+，那么原方程化成以“y ”为元的方程是______ 【答案】2310y y --=；
【解析】解：22321121x x x x +-=+，设221x y x =+，原方程化为：131y y
-=，即2
310y y --=，
27.（嘉定2019期末11）用换元法解方程22111x x x x --=-时，如果设21
x
y x =-，那么所得到的关于y
的整式方程为 . 【答案】2
10y y +-=； 【解析】2
1
x
y x =-Q
，所以原方程变为11y y -=，所以得210y y +-=. 三、解答题
28.（金山2018期中22）解关于x 的方程：2
2
22(1)ax x a -=+≠.
【答案】1a >时，1
x a =±
-；当1a <时，方程无实数根. 【解析】解：原方程变形为：2
(1)4a x -=，110a a ≠∴-≠Q ，所以24
1
x a =
-；
当101a a ->>即时，x =；当101a a -<<即时，方程无实数根；所以，当1a >时，
1
x a =±
-；当1a <时，方程无实数根. 29.（金山2018期中20）解方程：221
1233
x x x x +=+-+.
【答案】122,1x x ==-；
【解析】解：方程两边同乘以(1)(3)x x -+得：2
2(1)23x x x x +-=+-，整理，得：
220x x --=，解之得：122,1x x ==-，经检验：122,1x x ==-都是原方程的根，所以原方程的根是
122,1x x ==-.
30.（松江2018期中21）解方程：2231
211x x x x
-=---.
【答案】1
3
x =-；
【解析】解：原方程变形为：2231211
x x x x -=+--，去分母得：22
32(1)(1)x x x x -=-++，
整理，得2
3210x x --=，解得1
13x x =-=或，经检验，1x =是原方程的增根，13
x =-是原方程的根. 故
原方程的根是13
x =-.
31. （黄浦2018期中19）解方程：12111
x x =--+． 【答案】x 1=0，x 2=3； 【解析】解：
12111
x x =--+，方程两边都乘以（1-x ）（1+x ）得：1+x =2（1-x ）+（1-x ）（1+x ），整理得：x 2-3x =0，解得：x 1=0，x 2=3，经检验x 1=0，x 2=3都是原方程的解，所以原方程的解为：x 1=0，x 2=3．
32.（浦东四署2019期中20）解方程：12
111
x x =-
-+. 【答案】120,3x x ==；
【解析】解：去分母，得2
112(1)x x x +=---，整理，得230x x -=，解得：120,3x x ==，经检验：
120,3x x ==都是原方程的根. 所以原方程的根为120,3x x ==.
33. （杨浦2019期中20）解方程：4
8
322
-=-+x x x 【答案】1x =；
【解析】解：去分母得：2
(2)3(4)8x x x ---=，整理，得：220x x +-=，解之得：21x x =-=或， 经检验：2x =-是增根，舍去，1x =是原方程的根；所以原方程的解是1x =. 34. （松江2019期中21）解分式方程：2
2116
224
x x x x +-=-+-. 【答案】5x =-；
【解析】解：方程两边同时乘以(2)(2)x x -+，得2
(2)(2)16x x +--= ，整理，得: 23100x x +-=，
因式分解得:(2)(5)0x x -+= ，解这个整式方程得：25x x ==-或 ，经检验知2x =是原方程的增根，
5x =-是原方程的根. 则原方程的根是5x =-.
35．（青浦2018期末19）解方程：2
654
111
x x x x x +-=--+. 【答案】x ＝9；
【解析】解：原方程可变形为
2654
111
x x x x x ++=--+，方程的两边都乘以(1)(1)x x +-，得 65(1)(4)(1)x x x x ++=+-，整理，得x 2﹣8x ﹣9＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣1；检验：当x ＝﹣1时，
(1)(1)x x +-＝0，所以x ＝﹣1不是原方程的根．所以原方程的解为：x ＝9．
36.（崇明2018期中24）
51
7
31
1 x y x y
x y x y
?
+=
?+-
?
?
?-=
?+-
?
.
【答案】
3
4
1
4
x
y
?
=
??
?
?=
??
；
【解析】解：设
11
,A B
x y x y
==
+-
，则原方程组华为：
57
31
A B
A B
+=
?
?
-=
?
，解之得：
1
2
A
B
=
?
?
=
?
，所以
1
1
1
2
x y
x y
?
=
?+
?
?
?=
?-
?
，
解得
3
4
1
4
x
y
?
=
??
?
?=
??
.经检验：
3
4
1
4
x
y
?
=
??
?
?=
??
是原方程组的解. 故原方程组的解为
3
4
1
4
x
y
?
=
??
?
?=
??
.
分式方程专题
分式方程专题一、分式通分六大技巧 例1、逐步通分 2411241111x x x x ----+++ 例2、整体通分)22 5(423---÷--a a a a 例3、分组通分：2m 11-m 21m 22-m 1+--++例4、分解简化通分：4x 2x 1x x 1x x x x 22223-+-+-+-- 例5、裂项相消 ()()()()()()10099132121111--+???+--+--+-a a a a a a a 变式训练：化简 341651231222++++++++x x x x x x 例6、活用乘法公式:)）（x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x (x 111111121616884422≠-+++++ 分式方程专题二、解分式方程 例1、去分母法解分式方程 ()()11 3116=---+x x x
变式训练：1、22416222-+=--+-x x x x x 2、2 2412212362x x x x x x x -+++=++--- 3、6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2、整体换元与倒数型换元： （1） 6151=+++x x x x （2）1 2221--=+--x x x x 变式训练：1、已知关于x 的方程3)1(2122-=+++ x x x x ，求11++x x 的值 2、22 2226124044444 x x x x x x x x +--+=++-+- 变式练习：（上海）用换元法解分式方程 13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C.2310y y -+= D ．2310y y --= （一）分式方程的特殊解法 例1、交叉相乘法： 231+=x x 例2、化归法：01 2112=---x x
中考真题分式方程应用题专题
中考2010真题——分式方程应用题专题 1、(2010福建宁德课改,10分)我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福 （州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、（2010广西南宁课改，10分）南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率=污水处理量 污水排放量）． （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按 照国家要求“2010年省会城市的污水处理率不低于．．．70%” ，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的基础上至少．． 还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？ 4、（2010广西玉林课改，3分）甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、（2010河北课改，2分）炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小 区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、（2010吉林长春课改，5分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书 所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．
初三解分式方程专题练习(附答案)
1. 3. 5. 7. 9. .解答题（共30小题） 解方程 一 — 初二解分式方程专题练习 1_ (K +n (K -IT 3 解方程： x _ 1 （2011?台州）解方程： s _ 3 2x 解分式方程: 4： _ 1_ 3 s- 2 ~2-s 11 .解方程: 13.解方程: 圧匕. x+2 15.解方程: x+1 x+1 17. ①解分式方程 19. (1)计算:| — 2|+ ( . ：+1) 0-(二)-1 +ta n60° 20. 解方程: 22. 解方程: 口 +id 2-2 2- x 2 - x 1 7T 3+3- s = 1 24. 解方程: 26. 解方程: 2 ?解关于的方程：二 4 .解方程：一!— = +1 . x- 1 2s- 2 6 .解分式方程： 一— ---- s+1 i-l 8 .解方程：一一一- 10 .解方程：—」 12.解方程: 14.解方程: 16.解方程: 18.解方程: X - 3二 2x+2 _x+l （2）解分式方程: x+1 3i+3 +1. 21.解方程：------- + =1 3 _ 1 K 23.解分式方程：1 _ 1 ox _ 2 3 y — 3 25 .解方程：—— X *■ Z Z - K 27.解方程:
28 ?解方程：- 30?解分式方程：… 初三解分式方程专题练习答案与评分标准 .解答题(共30小题) 1.解方程： y-1 y 解答：解：方程两边都乘以 y (y - 1),得 2 2y +y (y - 1) = (y - 1) ( 3y — 1), 2 2 2 2y +y - y=3y - 4y+1 , 3y=1 , 解得y= ?, 3 检验：当 y= ?时，y (y - 1) =— x( — - 1)=-—旳, 3 3 3 9 ??? y= 一是原方程的解， 3 ?原方程的解为y=. 3 2. 解关于的方程：一‘ I ,. s+3 x _ 1 解答：解：方程的两边同乘(x+3) (x - 1),得 x (x - 1) = (x+3) (x - 1) +2 (x+3), 整理，得5x+3=0, ???原方程的解为：x=-仝 5 3. 解方程：訂 解答：解：两边同时乘以(x+1) (x - 2), 得 x ( x - 2)-( x+1) (x - 2) =3. (3 分) 解这个方程，得x= - 1 . (7分) 检验：x= - 1时(x+1) (x - 2) =0 , x= - 1不是原分式方程的解, ?原分式方程无解.(8分) 1 3 4. ----------------------- 解方程： = +1 . x - 1 2 解答：解：原方程两边同乘 2 (x - 1),得2=3+2 (x - 1), 解得x=, 2 检验：当x=时，2 (x - 1)旳, 2 ???原方程的解为：x=,. 解得x=-' 29.解方程: (x+3) (x - 1) 检验：把
分式方程 应用题专题含答案
分式方程 应用题专题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前 高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒； 节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两 队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 4、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲 队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ． 66602x x =- B ．66602x x = - C ． 66602x x =+ D ．6660 2x x = + 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且 李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第 一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ． 9001500300x x =+ B ．9001500 300 x x = - C ． 9001500 300 x x = + D ． 9001500 300x x = - 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官 的一段对话: 9、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已 知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的4 5 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各 需多少天？ 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
(完整版)分式方程应用题专题(含答案)
分式方程应用题专题 1、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福（州） 铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间 缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节 日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理 量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率 污水处理量 ）． 污水排放量 （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求“2010年省会城市的污水处理 率不低于 ．．．70%”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天 污水处理量的基础上至少 ．．还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？
4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独 工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区 安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用 的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知 第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =-
分式方程应用题专题
分式方程应用题专题 专题一、营销类应用性问题 1、 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？ 2、A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A 每次购买1000千克，采购员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？ 3、某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？ 专题二、工程类应用性问题（难点） 1、甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？ 2、甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？ 11 2
3、 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。 4、 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的 3 2，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 5、 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？ 6、 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个 所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？ 专题三、行程中的应用性问题（难点） 1、 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？
中考数学专题-分式方程及其应用
第16讲分式方程及其应用 考点·方法·破译 1．分式方程(组)的解法 解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便. 2．分式方程增根 在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根). 3．列分式方程解应用题 列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义. 经典·考题·赏析 【例1】解下列方程: ⑴ 2 2 x x - + － 2 16 4 x- ＝1 ⑵ 1 2 x+ － 2 2 4 4 x x - － 2 2 x- ＝4 ⑶ 4 5 x x - - ＋ 8 9 x x - - ＝ 7 8 x x - - ＋ 5 6 x x - - 【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到 将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如 4 5 x x - - ＝ 51 5 x x -+ - ＝1＋ 1 5 x- ，按照 上述变形，原方程可变为 1 5 x- ＋ 1 9 x- ＝ 1 8 x- ＋ 1 6 x- 再移项后分组通分求解较简单. 解: ⑴ 2 2 x x - + － ()() 16 22 x x -+ ＝1 (x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2) x2－4x＋4－16＝x2－4 x＝－2 当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.
分式方程应用题专题训练
华师大版数学八年级下册第16章分式方程应用题专题训练一、行程问题 解题策略：在解行程问题的分式方程应用题时，可以依据时间＝路程 速度 ，利用分式来表示时 间，根据时间之间的关系建立分式方程。 例：马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度． 分析：设马小虎的速度是x米/分，列表分析如下。 依据马小虎多走10分钟建立方程。 解：设马小虎的速度是x米/分，根据题意列方程， 1600 x － 1600 2x ＝10 解得：x＝80 经检验，x=80是原方程的根． 答：马小虎的速度是80米/分． 练习： 1、为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁
于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的 29 20 倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？ 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. 由题意，得 17417418 296020 x x -= ， 解得 180x = 经检验，180x =是原方程的解，且符合题意. 答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. 2、早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍． （1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少； （2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 解：（1）设小明步行的速度是x 米/分，由题意得：900900 103x x =+， 解得：x=60， 经检验：x=60是原分式方程的解， 答：小明步行的速度是60米/分； （2）设小明家与图书馆之间的路程是y 米， 根据题意可得：900 260180 y ≤? 解得：y ≤600， 答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米．
分式方程应用题精选
八年级分式方程的应用题精选 1、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？ 解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x 千克，则 300 1500900+=x x 解，得x ＝450 经检验：x ＝450是原方程的解。 答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克。 2、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 解：设步行速度是x 千米/时，则 247197=-+x x 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。进尔4x ＝20（千米/时） 答：步行速度是5千米/时，骑自行车的速度是20千米/时。 3、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多五分之三，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 解：⑴设她第一次在供销大厦买了x 瓶酸奶，则 2.053140.185.12+?? ? ??+=x x 解，得x ＝5 经检验：x ＝5是原方程的解。 答：她第一次在供销大厦买了5瓶酸奶。 4、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴ 求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵ 若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？ 解：⑴设4月份销售价为每件x 元，则 x x 9.07002000202000+=+ 解，得x ＝50 经检验：x ＝50是原方程的解。
分式方程应用题专题解析
分式方程应用题专题解析
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分式方程应用题专题复习 一.行程问题 （1）一般行程问题 １、从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600Kｍ的普通公路,另一条是全长４80Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快4５Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化,急行军速度必需是原计划的1.５倍,才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。 3.甲、乙两地相距８２8ｋm，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.５倍．直达快车比普通快车晚出发２h，比普通快车早4h到达乙地,求两车的平均速度． （2)水航问题 ３、轮船顺水航行８０千米所需要的时间和逆水航行６０千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米／时,求轮船在静水中的速度。 二.工程问题 １、一台甲型拖拉机４天耕完一块地的一半,加一天乙型拖拉机，两台合耕，１天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天? ２、某市为治理污水，需要铺设一段全长3０0０米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加２5%,结果提前3０天完成了任务，实际每天铺设多长管道? 例２某工程由甲、乙两队合做６天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元,乙、丙两队合做１0天完成,厂家需付乙、丙两队共９5０0元,甲、丙两队合做5天完成全部工程的3 2 ,厂家需付甲、丙两队共5500元. ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由. 三．利润（成本、产量、价格、合格）问题 １、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤3３０00吨煤所需的时间和原计划采２3100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。 2、某商品的标价比成本高ｐ%,当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过ｄ%,请用p表示d。 3、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上,（不包括３0０枝）,可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝)只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买１枝,那么只能按零售价付款,需用120元，如果购买60枝,那么可以按批发价付款，同样需要120元, (1)这个八年级的学生总数在什么范围内？
(完整版)分式方程应用题专项练习50题
分式方程应用题专项练习 1、老城街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的32；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.；求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 2.某工厂为了完成供货合同,决定在一定天数内生产原种零件400个,由于对原有设备进行了技术改进,提高了生产效率,每天比原计划增产25%,结果提前10天完成了任务.原计划每天生产多少个零件? 3、某项工程如果甲单独做，刚好在规定的日期内宛成，如果乙单独做，则要超出规定日期3天，现在先由甲、乙两人合做两天后，剩下的任务由乙完成，也刚好能按做时完式，问规定的日期是几天？ 4、 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需会甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完 成，厂家需付乙、丙队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3 2，厂家需付甲、丙两队共5500元。 （1） 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2） 若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可由哪个单独承包此项工程花钱最少？请说明理由。 5.一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快4小时，如果单独放甲管5小时，再单独开放乙管6小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需多长时间？ 6、 轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 7.一列客车长200米一列货车长280米,在平行轨道上相向而行,从车头相遇到车尾相离一共经过8秒钟.已知客车与货车的速度之比为5∶3.求两车的速度. 8、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的 路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km ，由于小明的父母战斗在抗“非 典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知 王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min ， 问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少? 9、一小船由A 港到B 顺流航行需6小时，由B 港到A 港逆流航行需8小时，小船从早晨6时由A 港到B 港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈。
培优专题分式方程培优提高经典例题
分式方程专题 例1：去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2：整体换元与倒数型换元： 1、用换元法解分式方程：（1） 6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x 变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 例3：分式方程的（增）根的意义 1、 若分式方程： 024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解，则a=_________。 变式练习：当m 为 时，分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。
例4一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ． 问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 2．关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________ 3．若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________； 4．k 取何值时，方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根？ 5.当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解？
2019届中考数学专题复习分式方程专题训练(含答案)
分式方程 A 级 基础题 1．解分式方程3x －1x －2 ＝0去分母，两边同乘的最简公分母是( ) A ．x (x －2) B ．x －2 C ．x D ．x 2 (x －2) 2．(2018年海南)分式方程x 2－1x ＋1 ＝0的解是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D．无解 3．分式5x 与3x －2 的值相等，则x 的值为( ) 4．(2018年湖南衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) A.30x －361.5x ＝10 B.30x －301.5x ＝10 C.361.5x －30x ＝10 D.30x ＋361.5x ＝10 5．(2017年四川南充)如果 1m －1＝1，那么m ＝__________. 6．(2018年广东广州)方程1x ＝4x ＋6 的解是________． 7．(2018年山东潍坊)当m ＝________时，解分式方程 x －5x －3＝m 3－x 会出现增根． 8．若分式方程x －a x ＋1 ＝a 无解，则a 的值为________． 9．某次列车平均提速20 km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400 km ，提速后比提速前多行驶100 km ，设提速前列车的平均速度为x km/h ，则可列出方程________________． 10．解方程． (1)解分式方程：x x －1＋21－x ＝4； (2)(2018年四川绵阳)解分式方程： x －1x －2＋2＝32－x . 11.(2018年江苏泰州)为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？
中考数学专题练习：分式方程(含答案)
中考数学专题练习：分式方程（含答案） 1．（·易错)解分式方程 1x －1－2＝31－x ，去分母得( ) A. 1－2(x －1)＝－3 B ．1－2(x －1)＝3 C ．1－2x －2＝－3 D ．1－2x ＋2＝3 2．（·海南)分式方程x 2－1x ＋1 ＝0的解是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．无解 3．（·株洲)关于x 的分式方程2x ＋3x －a ＝0的解为x ＝4，则常数a 的值为( ) A ．a ＝1 B. a ＝2 C. a ＝4 D. a ＝10 4．（·成都)分式方程x ＋1x ＋1x －2 ＝1的解是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝3 D ．x ＝－3 5．（·怀化)一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行80 km 所用时间相等，设江水的流速为v km /h ，则可列方程为( ) A.100v ＋30＝80v －30 B.10030－v ＝8030＋v C.10030＋v ＝8030－v D. 100v －30＝80v ＋30 6．（·改编)某校美术社团为练习素描，他们第一次用240元买了若干本资料，第二次用360元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是( ) A.360x －20－240x ＝4 B.360x ＋20－240x ＝4 C.360x －240x －20＝4 D. 240x －360x ＋20 ＝4
7．（·淄博)“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务. 设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是( ) A.60 x － 60 （1＋25%）x ＝30 B. 60 （1＋25%）x － 60 x ＝30 C.60×（1＋25%） x － 60 x ＝30 D.60 x － 60×（1＋25%） x ＝30 8．（·马鞍山二模)方程2x－3 3－x ＝1的解是x＝______． 9．（·瑶海区二模)方程3x－1 x＋2 ＝ 2 3 的解是________． 10．（·易错)若关于x的分式方程 x x－3 ＋ 3a 3－x ＝2a无解，则a的值为________． 11．（·眉山)已知关于x的分式方程 x x－3 －2＝ k x－3 有一个正数解，则k的取值范围为 __________________． 12．（·潍坊)当m＝______时，解分式方程x－5 x－3 ＝ m 3－x 会出现增根． 13．（·舟山)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x个．则根据题意，可列出方程：______________． 14．（·宿迁)为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是__________． 15．（·新疆)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，
2017中考数学《分式方程》专题训练含答案解析
分式方程 一、选择题 1．下列各式中，是分式方程的是（） A．x+y=5 B．C．=0 D． 2．关于x的方程的解为x=1，则a=（） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 3．分式方程=1的解为（） A．x=2 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=﹣2 4．下列关于分式方程增根的说法正确的是（） A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B．分式方程的解为零就是增根 C．使分子的值为零的解就是增根 D．使最简公分母的值为零的解是增根 5．方程+=0可能产生的增根是（） A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 6．解分式方程，去分母后的结果是（） A．x=2+3 B．x=2（x﹣2）+3 C．x（x﹣2）=2+3（x﹣2）D．x=3（x﹣2）+2 7．要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（） A．2x（x﹣2）B．x C．x﹣2 D．2x﹣4 8．河边两地距离s km，船在静水中的速度是a km/h，水流的速度是b km/h，船往返一次所需要的时间是（） A．小时B．小时 C．小时D．小时 9．若关于x的方程有增根，则m的值是（） A．3 B．2 C．1 D．﹣1
10．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000㎏和15000㎏．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000㎏，若设第一块试验田每公顷的产量为x㎏，根据题意，可得方程（） A．=B．= C．=D．= 二．填空题 11．方程：的解是． 12．若关于x的方程的解是x=1，则m=． 13．若方程有增根x=5，则m=． 14．如果分式方程无解，则m=． 15．当m=时，关于x的方程=2+有增根． 16．用换元法解方程，若设，则可得关于的整式方程． 17．已知x=3是方程一个根，求k的值=． 18．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程． 三．解答题 19．解分式方程（1）；（2）． 20．甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？21．某服装厂准备加工300套演出服．在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务．求该厂原来每天加工多少套演出服？22．为了过一个有意义的“六、一”儿童节，实验小学发起了向某希望小学捐赠图书的活动．在活动中，五年级一班捐赠图书100册，五年级二班捐赠图书180册，二班的人数
八年级下分式方程专题训练
知识点归纳 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 例1、选择题 1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数有（ ） ①032=-y x ②.72321x x =-+ ③.x x 523=-④.321+-+x x ⑤1 61222-=-+x x x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 下列方程中，是分式方程的是（ ） A. 4 12131=--+x x B. 141211-=-+-+-x x x x x C.0522=+x x D.)0(≠=+ab x b a a x 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程 的增根，必须舍去.下列的分式方程： 例1、（1） x x x ++=-12122 （2）x x x --=+-21321 （3） 87178=----x x x （4） 23 749392+--=-+x x x x 2、（2005长沙）方程2332-= -x x 的解是 3、（2005江苏）方程41143-=---x x x 的解是 4. 方程1312122-+=+--x x x x 的解为（ ） A. x=1 B. x= -1 C.x=2 D. 无解
3.分式方程的增根问题 1．如果解分式方程14132=+--+x x x 出现了增根，那么增根可能是（ ） A 、-2 B 、3 C 、3或-4 D 、-4 2（拓展题）如果解分式方程242x x --2x x -=-2出现增根，则增根为（ ） A ．0或2 B ．0 C ．2 D ．1 3.（拓展题）若关于x 的方程211k x ---21x x -=25 k x x -+有增根x=-1，那么k 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 4．若0414=----x x x m 无解，则m 的值是（ ） A 、－2 B 、2 C 、3 D 、－3 5 若关于x 的方程454 2-=--x m x x 有增根,m= 6．方程x m x x --= -+3132无解，则m 的值为…………………………（ ） A 、0 B 、1 C 、3 D 、6 7 若关于x 的方程454 2-=--x m x x 有增根,m= 8. 若方程342(2)a x x x x =+ --有增根，则增根可能为（ ） A.0 B.2 C.0或2 D.1 9、 若分式方程424 -+=-x a x x 有增根，则a 的值为（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 10、若关于x 的方程21x x x +--13x =33x k x +-有增根，求增根和k 的值． 11、若关于x 的分式方程323 2 -=--x m x x 无解，则m 的值为__________ 4. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 5．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 例1．一只船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流速度是2千米/小时，求船在静水中 的速度，设船在静水中的速度为x 千米/小时，则所列方程为（? ） A ． 9060906090606090..3.322 22B C D x x x x x x x x = =+=+=+--+
专题10 分式方程及其应用(原卷版)
专题10 分式方程及其应用 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。 （1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); （2）按解整式方程的步骤求出未知数的值; （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。 【例题1】（2020?哈尔滨）方程2 x+5=1 x?2 的解为（） A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9 【对点练习】（2019?黑龙江哈尔滨）方程＝的解为（） A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝ 【例题2】（2020?齐齐哈尔）若关于x的分式方程3x x?2=m 2?x +5的解为正数，则m的取值范围为（） A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6 【对点练习】（2019?江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是． 【例题3】（2020?长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件
产品，依题意得（） A．400 x?30=500 x B．400 x =500 x+30 C．400 x =500 x?30 D．400 x+30 =500 x 【对点练习】（2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 【例题4】（2020贵州黔西南）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元； （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多． 【对点练习】（2020?广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3 5 ． （1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用． 一、选择题 1．（2020?黑龙江）已知关于x的分式方程x x?2?4=k 2?x 的解为正数，则k的取值范围是（）