著名数学定理1
著名数学定理
15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway ，1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.
阿贝尔-鲁菲尼定理定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如，任
意给定二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：()0,500111≠≥=++???++--n n n n n a n a x a x a x a ，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用 n a a a ,,,10??? 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n 大于等于5时，存在n 次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群： 432,,σσσ ，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ，这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时，情况也是如此.
阿贝尔二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中，()!!!r n r n C r n -=
，又有 ???? ??r n 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.
艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ，使得p 不整除a n ，但整除其他a i (i=0，1，...，n -1)；p2不整除a 0 ，那么f (x )在有理数域上是不可约的.
奥尔定理离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足：G 的任意两个点u 和v 度数之和至少为n ，即deg (u )+deg (v )≥n ，那么G 必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿
回路的一个充分条件.表达式deg (u )+deg (v )≥n →G 有哈密顿通路相关概念：简单图：没
有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的
一条回路.
阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条
折弦)，BC >AB ，M 是弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的
中点，即CD =AB +BD .折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们
称之为该图的一条折弦. 伯特兰·切比雪夫定理伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数
p ，符合n
贝亚蒂定理定义一个正无理数
r 的贝亚蒂列B r 为B r =[r ]，[2r ]，[3r ]，...=[nr ](n ≥1)，这里的[]是取整函数.若然有两阿基米德折弦定理
个正无理数p ，q 且111=+q p ，(即1
-=p p q ) ，则B p =[np ](n ≥1)，B q =[nq ](n ≥1)构成正整数集的一个分划：+=??=?Z B B B B q p q p ,.
布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P 和Q ，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑(Brainchon )定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.
布朗定理设P(x)为满足p ≤ x 的素数数目，使得p +2也是素数(也就是说，P (x )是孪生素数的数目).那么，对于x ≥3，我们有：()()
()22log log log x x x c x P <，其中c 是某个常数. 裴蜀定理(贝祖定理)对任何整数a 、b 和它们的最大公约数d ，关于未知数x 和y 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a ,b 是整数,且(a ,b )=d ，那么对于任意的整数x ,y ,ax +by 都一定是d 的倍数，特别地，一定存在整数x ,y ，使ax +by =d 成立。 B ，C 为三角形内角的符号)，则有(s r -=)，()()()s c s b s a s b s B ----=12tan
代数学基本定理：任何复系数一元n 次多项式 方程在复数域上至少有一根(n ≥1)，由此
推出，n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根(重根按重数计算).简介：
(n ≥1) 代数学基本定理说明，任何复系数一元n 次多项式方程在复数域上至少有一根.
由此推出，n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根(重根按重数计算).
有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n 次复系数多项式，都正好有n 个复数根.
这似乎是一个更强的命题，但实际上是―至少有一个根‖的直接结果，因为不断把多项
式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n 个根.尽管这个定理被命名为“代数基
本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在 .另外，它
也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数
多项式方程，所以才被命名为代数基本定理.
陈氏定理任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积
之和.
婆罗摩笈多定理若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的
直线将平分对边.如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，垂足为M .EF ⊥BC ，
且M 在EF 上.那么F 是AD 的中点.
拿破仑定理拿破仑定理由拿破仑发现：―以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，
则他们的中心构成一个等边三角形.‖该等边三角形称为拿破仑三角形.如果向内(原三
角形不为等边三角形)作三角形，结论同样成立. 牛顿定理特指平面几何中的牛顿定理(Newton 'sTheorem )牛顿线：和完全四边形(定义：
我们把两两相交，且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形)四边相切的有心圆半角定理 拿破仑定理
锥曲线的心的轨迹是一条直线，是完全四边形三条对角线中点所共的线.(1)完全四边形三条对角线中点共线；(2)圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线；(3)圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合.
清宫定理设P ，Q 为△ABC 的外接圆上异于A ，B ，C 的两点，P 关于三边BC ，CA ，AB 的对称点分别是U ，V ，W ，且QU ，QV ，QW 分别交三边BC ，CA ，AB 或其延长线于D ，E ，F ，则D ，E ，F 在同一直线上.
中线定理(阿波罗尼乌斯定理，重心定理)三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边
的一半的平方与该边中线平方的和的两倍.
燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，有S △AOB ∶S △AOC =BD ∶CD ，
S △AOB ∶S △COB =AE ∶CE ，S △BOC ∶S △AOC =BF ∶AF .
共角定理若两个三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应两边乘积的比.
张角定理在△ABC 中，D 是BC 上的一点，连结AD .那么
AD
BAC AB CAD AC BAD ∠=∠+∠sin sin sin . 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上
的垂线，则三垂足共线.(此线常称为西姆松线).西姆松定理的逆定理为：若一点在
三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.
九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点(联结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆.通常称这个圆为九点圆(nine -pointcircle )，或欧拉圆，费尔巴哈圆.九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心12点共球的一个特例.当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆.
蝴蝶定理设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD .设AD 和BC 各相交PQ 于
点X 和Y ，则M 是XY 的中点. 坎迪定理AB 是圆内的一段弦，P 是弦AB 上任意一点，C ，D 是圆上的任意两点，连
接CP ，DP 并延长分别交圆于F ，E ，连接CE ，DF 分别交AB 于G ，H ，设AP =a ，
BP =b ，GP =x ，HP =y ，则(1/a )-(1/b )=(1/x )-(1/y ) .
塞瓦定理塞瓦定理是指在△ABC 内任取一点O ，延长AO ，BO ，CO 分别交对边于D ，E ，F ，则1=??BF
AF AE CE CD BD . 塞瓦线 (切氏线)三角形一个顶点与其对边上一点的连线 托勒密定理圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.原文：圆的
内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.从这个定理可以推出正弦，余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 梅涅劳斯定理当直线交△ABC 三边所在直线BC ，AC ，AB 于点D
，E ，F 时，
1=??EA CE DC
BD FB AF . 欧拉定理在数论中，也称费马-欧拉定理，若n ，a 为正整数，且n ，a 互质，则：.几何定理
蝴蝶定理 清宫定理 燕尾定理
西姆松定理 九点圆
内容：(1)设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2-2Rr ．(2)三角形ABC 的垂心H ，九点圆圆心V ，重心G ，外心O 共线，称为欧拉线.拓扑公式：V +F -E =X (P )，V 是多面体P 的顶点个数，F 是多面体P 的面数，E 是多面体P 的棱的条数，X (P )是多面体P 的欧拉示
性数.如果P 可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀成一个球面)，
那么X (P )=2，如果P 同胚于一个接有h 个环柄的球面，那么X (P )=2-2h .X (P )
叫做P 的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围.复变函数定理内容：欧拉定
理：e ix =cosx +isinx (e 是自然对数的底，i 是虚数单位).它将三角函数的定义
域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占
有非常重要的地位.将公式里的x 换成-x ，得到：e -ix =cosx -isinx ，然后采用两式相加减的方法得到：2cos ,2sin ix
ix ix ix e e x i e e --+=-=.这两个也叫做欧拉公式.将e ix =cosx +isinx 中的x 取作π就得到：e i π+1=0. 这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e ，圆周率π，两个单位：虚数单位i 和自然数的单位1，以及数学里常见的0.数学家们评价它是―上帝创造的公式‖，我们只能看它而不能理解它.
费马小定理a 是不能被质数p 整除的正整数(即：假如p 是质数，且gcd (a ，p )=1)，则有a (p -1)≡1(modp ).即：假如a 是整数，p 是质数，且a ，p 互质(即两者只有一个公约数1)，那么a 的(p -1)次方除以p 的余数恒等于1.
帕普斯定理直线l 1上依次有点A ，B ，C ，直线l 2上依次有点D ，E ，F ，设AE ，BD 交于P ，AF ，DC 交于Q ，BF ，EC 交于R ，则P ，Q ，R 共线.
斯台沃特定理任意三角形ABC 中，D 是边BC 上一点，连接AD ，则
BC CD BD BC AD BD AC CD AB ??=?-?+?222.设BC =a ，AC =b ，AB =c ，BD =u ，
CD =v ，AD =w ，则uva a w u b v c =-+222.
斯坦纳-雷米欧司定理两角的平分线相等的三角形是等腰三角形.
调和四边形调和四边形是指对边乘积相等的圆内接四边形.性质：1，调和四边形的
其中一条对角线，与过其余两点的四边形外接圆的两条切线，这三条直线共点；2，
设调和四边形ABCD 中，对角线AC 中点为M ，则△AMB ∽△DMA ∽△DCB ，
△BMC ∽△CMD ∽△BAD ；3，设调和四边形ABCD 中，对角线AC 与过B ，D 两
点的四边形ABCD 外接圆的切线所共的点记为P ，记AP 交BD 于Q ，则AQ 为△ABD 的一条陪位中线(三角形的一条中线关于与其共顶点的内角平分线的对称直线在三
角形内所成的线段叫做三角形的陪位中线)，A ，Q ，C ，P 四点为调和点列；取对角
线AC 中点M ，设四边形ABCD 外接圆圆心为O ，则B ，P ，D ，O ，M 五点共圆.
糖水不等式a 克糖水中有b 克糖(a >0，b >0，且a >b )，则糖的质量和糖水的质量比为：
a b ，若再添加c 克糖(c >0)，则糖的质量和糖水的质量比为：c
a c
b ++.生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：a b
c a c b >++(a >b >0，c >0).趣称之为―糖水不等式‖.糖水不等式为不等式中的难点.
费马大定理当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解.
莫利定理也称为莫雷角三分线定理.将三角形的三个内角三等分，靠近某边
的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.
三余弦定理设二面角M －AB －N 的度数为α，在平面M 上有一条射线AC ，
它和棱AB 所成角为β，和平面N 所成的角为γ，则 βαγsin sin sin ?=(如
图).(注明：折叠角公式(又名：三余弦定理)
以及三正弦定理的应用为立体
几何的解题带来了许多方便.)
若已知二面角其中一个半平面内某直线与二
帕普斯定理
三余弦定理
面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值.
密克定理是几何学中关于相交圆的定理.1838年，奥古斯特·密克(AugusteMiquel )叙述并证明了数条相关定理.许多有用的定理可由其推出.定理陈述：三圆定理：设三个圆C 1，C 2，C 3交于一点O ，而M ，N ，P 分别是C 1和C 2，C 2和C 3，C 3和C 1的另一交点.设A 为C 1的点，直线MA 交C 2于B ，直线P A 交C 3于C .那么B ，N ，C 这三点共线.逆定理：如果是三角形，M ，N ，P 三点分别在边AB ，BC ，CA 上，那么△AMP ，△BMN ，△CPN 的外接圆交于一点O .完全四线形定理：如果ABCDEF 是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点O ，称为密克点.四圆定理：设C 1，C 2，C 3，C 4为四个圆，A 1和B 1是C 1和C 2的交点，A 2和B 2是C 2和C 3的交点，A 3和B 3是C 3和C 4的交点，A 4和B 4是C 1和C 4的交点.那么A 1，A 2，A 3，A 4四点共圆当且仅当B 1，B 2，B 3，B 4四点共圆.五圆定理：设ABCDE 为任意五边形，五点F ，G ，H ，I ，J 分别是EA 和BC ，AB 和CD ，BC 和DE ，CD 和EA ，DE 和AB 的交点，那么△ABF ，△BCJ △CDI ，△DEH ，△AEG 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，不穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心. 皮克定理一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点.如果取一个格点做原点O ，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX 和纵坐标轴OY ，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系.这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点.如图中的O ，P ，Q ，M ，N 都是格点.由于这个缘故，我们又叫格点为整点.一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形.有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出.这个公式是皮克(Pick )在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理.给定顶点坐标均是整点(或正方形格点)的简单多边形，皮克定理说明了其面积S 和内部格点数目n ，边上格点数目s 的关系：12
-+=s n S (其中n 表示多边形内部的点数，s 表示多边形边界上的点数，S 表示多边形的面积) 抽屉原理(鸽巢原理，重叠原理，狄利克雷抽屉原理)第一抽屉原理：原理1：把多于n +1个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件.原理2 ：把多于mn (m 乘n )+1(n 不为0)个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于(m +1)的物体.原理3 ：把无穷多件物体放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体.第二抽屉原理：把(mn －1)个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m —1)个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2).
德·摩根定律在命题逻辑和逻辑代数中，德·摩根定律(或称德·摩根定理)是关于命题逻辑规律的一对法则.在命题逻辑中存在着下面这些关系：非(P 且Q )=(非P )或(非Q )；非(P 或Q )=(非P )且(非Q ).形式逻辑中此定律表达形式：()()()Q P Q P ?∨??∧?，()()()Q P Q P ?∧??∨?；在集合论中：()C C C B A B A ?=?，()C C C B A B A ?=?；在概率论中：B A B A =，B A B A =， 11≥≥=n n An An ， 11≥≥=n n An An .
迪尼定理在数学中，迪尼定理叙述如下：设X 是一个紧致的拓扑空间，f (n ) 是X 上的一个单调递增的连续实值函数列，即使得对任意n 和X 中的任意x 都有f n (x )≤f n +1(x ).如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数f ，那么这个函数列一致收敛到f .这个定理以意大利数学家乌利塞·迪尼命名.对于单调递减的函数列，定理同样成立.这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件.注意定理中的f 一定要是连续的，否则可以构造反例.比如说在区间[0，1]上的函数列{x n }.这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数f ：当x 属于[0，1)时f (x )等于0，等于1.但这个函数列不是一致收敛的，因为f 不连续.
等周定理等周定理，以及其面积之间的关系.其中的―等周‖指的是周界的长度相等.等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小.它可以以不等式表达：若P 为封闭曲线的周界长，A 为曲线所包围的区域面积，2
4P A ≤π等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的―表面‖或区域的最大―边界长度‖问题等.在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关.一个直观的表现就是水珠的形状.在没有外力的情况下(例如失重的太空舱里)，水珠的形状是完全对称的球体.这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值.根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到.
多项式余数定理（余数定理）多项式余数定理是指一个多项式 f (x ) 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f (a ).例如， 3
1124523-+-+x x x x 的余数是1361312343523=+?-?+?.
棣莫弗定理设两个复数(用三角函数形式表示)()1111sin cos θθi r Z +=，()2222sin cos θθi r Z +=，则：
()()[]21212121s i n
c o s θθθθ+++=i r r Z Z . 棣莫弗-拉普拉斯定理 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态分布为其极限分布定律.设随机变量
ηn =(n =1，2…)()()1,10,≥< ????????≤--?∞--∞→22211lim π. 笛卡尔定理 (1)若平面上四个半径为r 1，r 2，r 3，r 4的圆两两相切于不同点，则其半径满足以下结论：(1)若四圆两两外切，则∑∑===???? ??412241121i i i i r r ；若半径为r 1，r 2，r 3的圆内切于半径为r 4的圆中，则∑==??? ? ??-++4122 4321121111i i r r r r r .(2)若五个球的半径分别是r i (i =1，2，...，5)，满足任意一个球与另外四个球外切，则∑∑===???? ??512251131i i i i r r . 多项式定理()n m a a a +++ 21的展开式的通项是 m m m x m x x x x x x x x n x x n x n a a a a C C C C T 321321211321---=，所以多项式的展开式是 ()m m m x m x x x x x x x x n x x n x n n m a a a a C C C C T a a a 3213 2 121132121---∑∑==+++，其中∑表示通项T 在满足条件：m x x x ,,,21 为非负整数， 并且n x x x m =+++ 21下所有项的和式. 笛沙格定理 笛沙格同调定理(同调三角形定理)：平面上有两个三角形△ABC ， △DEF ，设它们的对应顶点(A 和D ，B 和E ，C 和F )的连线交于一点，这时如 果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.定理推广：其逆定理也成立：笛沙格对合定理：一条直线与一个完全四点形的三双对边的交点与外接于该四点 形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形的三双对顶 点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四 个射线偶合.一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1，2，3，4和它们的 六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14，31与24，12与34称 为对边(对顶点).(该定理在空间中也成立.) 费马点―费马点‖是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若 给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A ， B ， C 的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形 都只有一个.定义1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等 分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.所以三角形 的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于 每一个角都小于120°的三角形ABC 的每一条边为底边，向外作正三角形，然后 作这三个正三角形的外接圆.托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而 这个交点就是所要求的点.这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样.这个点因 此也叫做托里拆利点.）2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是 距离和最小的点. 费马平方和定理奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1. 凡·奥贝尔定理 任意一个四边形，在其边外侧构造一个正方形.将相对的正方形的中心连起，得出两条线段.线段的长度相等且互相垂直（凡·奥贝尔定理适用于凸凹四边形）. 芬斯勒–哈德维格尔定理 若两个正方形ABCD 和AB 'C 'D '拥有同一个顶点A .B ' D 的中点，BD '的中点，ABCD 的中心笛沙格定理 凡·奥贝尔定理 芬斯勒·哈德维格尔定理 和AB 'C 'D '的中心将组成一个正方形. 费马多边形数定理每一个正整数最多可以表示为n 个n 边形数的和.也就是说，每一个数最多可以表示为三个三角形数(三角形数：古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1，3，6，10，15，21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数.把 1.4.9.16.…这样的数称为正方形数)之和，四个平方 数之和，五个五边形数之和，依此类推.一个三角形数的例子，是17 = 10 + 6 + 1.一个 众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为四个平方数之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1. 合比定理 做比例中的合比定理.b ，d ≠0）. 分比定理 在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理.b ，d ≠0） . 合分比定理一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比. 这叫做比例中的合分比定理.b ，d ，a -b ，c -d ≠0） . 等比定理(更比定理)一个比的前项与另一个比的后项互调后， 所得结果仍是比例.即：a ，b ，c ，d ≠0）. 推论： 圆幂定理 内容： 如果交点为P 的两条相交直线与圆O 相交于A ，B 与C ，D ，则P A ·PB =PC ·PD .圆幂定理是对相交弦定理，切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳.根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.(3)割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A ，B ；C ，D ，则有P A ·PB =PC ·PD . 古尔亭定理 (古尔丁定理，帕普斯几何中 心定理)定义：以平面图形绕同一平面上的 任何一条与该图形不相交的直线旋转一周 所产生的体积，等于图形的面积乘以其重 心相应半径所画的圆周长.表面积：有一条 平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴. 由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A ，等于曲线的长度s 乘 以曲线的几何中心经过的距离d 1，即：A =sd 1.例：设环面圆管半径为r ，圆管中心到环面中心距离为R ，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心.所以环面表面积为(2πr )(2πR )=4π2rR .若有平面连续曲线y =f (x )，求x 在[a ， b ]时，曲线以x 轴旋转所得的曲面表面积.可考虑一小段曲线，其几何中心便是y ，曲线长度为2 1??? ??+dx dy ，因此这个曲面的表面积便是：???? ??+b a dx dx dy y 2 12π.体积：d 1由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积V ，等于平面形状面积S 乘以平面形状的几何中心经过的距离的积：V =sd 1.再考虑一般平面曲线下的面积的 情况，可得旋转体体积：? =b a dx y V 2π. 共轭复根定理一元二次方程，若用公式法解得根（即）判别式小于零，则该方程的根为2个共轭复根.因为负数在开平方时存在+i 和-i ，所以如果有复数根则必是共轭的.定理定义：复根的意思就是说当你解微分方程的特征方程时，三角形数 圆幂定理的所有情况 不能求出实数解，也就是说特征方程的判别式△是小于零的，这时方程没有实根，有复根.复数是建立在i 的平方等于 -1的基础上的.你在开根号的时候如果根号内的数字式小于零的话，你就直接按照正数开根号，得出结果后后面加个小写字母i 就可以得到复数了，由复数得到的方程的解就是复根. 哥德巴赫-欧拉定理不小于4的有限偶数都是某2个素数相加的和. 格尔丰德-施奈德定理格尔丰德-施奈德定理（Gelfond –Schneidertheorem ）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果.定理定义：如果α和β是代数数，其中α≠0且β≠1，且β不是有理数，那么任何αβ的值一定是超越数.(代数数：能满足整系数代数方程的数；超越数：不满足任何整系数代数方程的数；整系数代数方程：方程中的未知数的系数是整数的方程.如：2x +1=0，x 2+3x +2=0). 勘根定理勘根定理(therootlocatedtheorem ) 假设函数f (x )在闭区间[a ，b ]中连续，且函数值f (a )与f (b )异号（即，一为正一为负）.则在区间(a ，b )中找到一个数c ，使得f (c ) = 0（即，c 为函数f (x )的根）. 韦达定理定理定义：设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中，两根x ?，x ?有如下关系：a b x x -=+21，a c x x =21. 根心定理根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：（1） 三根轴两两平行；（2） 三根轴完全重合；（3） 三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心.相关定义：点对圆的幂：平面上任意一点P (x ，y ) 对圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的幂定义为以下函数：f (x ，y )=x 2+y 2+Dx +Ey +F .考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式：(x -a )2+(y -b )2-r 2=0.由此也可以把点对圆的幂定义为：f (x ，y )=(x -a )2+(y -b )2-r 2= d 2-r 2，这里()()22b y a x d -+-= 是点 P 到圆心C (a ，b ) 的距离，r 是圆的半径.点对圆的幂的几何意义是明显的：(1)若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方；(2)若点在圆上，则幂为0；(3)若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点P 且垂直于CP 的弦长的一半的平方.根轴：平面上两不同心的圆x 2+y 2+D i x +E i y +F i =0，(i =1，2)，(D 1-D 2)2+(E 1+E 2)2>0.显然，对两圆等幂的点集是直线：(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0.该直线称为两圆的根轴.根轴必垂直于两圆的连心线.(1)若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线；(2)若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线；(3)若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线. 海伦公式(希伦公式，海龙公式，希罗公式，海伦－秦九韶公式) 公式 表述：假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的 面积S 可由以下公式求得：()()()c p b p a p p S ---= ，而公式里的p 为半周长（周长的一半）：2 c b a p ++=. 婆罗摩笈多公式婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形 面积计算.若圆内接四边形的四边长为a ， b ， c ， d ，则其面积为：()()()()d s c s b s a s ----其中s 为半周长：2 d c b a s +++=. 华勒斯·波埃伊·格维也纳定理指两个简单多边形面积相等，那么其中一 个能分割成有限多块多边形，经过平移和旋转，拼合成第二个多边形. 勒让德定理在正数n !的素因子标准分解式中，素数p 的指数记作L p (n !)，则()∑≥?? ????=1!k k p p n n L . 欧拉常数欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroniconstant )是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数 与自然对数的差值的极限：()[]?∑∞=∞→???? ??-=?? ????-??? ??=1111ln 1lim dx x x n k n k n γ.由无穷级数理论可知，调和级数[即调和数列(定义1：正整数的倒数组成的数列,称为调和数列；定义2：若数列{a n } 满足d a a n n =-+111（n ∈N *，d 为常数），则称数列{a n })]各元素相加所得的和∑∞ =+++=1312111k k 是发散的。但可以证明，∑=-=n k n n k S 1ln 1存在极限。由根心定理 不等式()()()+∞?-∈?<+,00,1,1ln x x x 可得()0ln 1ln ln 11ln ln 111>-+=-??? ??+>-=∑∑==n n n k n k S n k n k n ，故S n 有下界。而()1 1111ln 11ln 1ln 1+-??? ??+--=+--+=-+n n n n n S S n n ，再一次根据不等式 ()()()+∞?-∈?<+,00,1,1ln x x x ，取11+-=n x ，即可得01 1111>+-??? ??+-->-+n n S S n n ，所以S n 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知S n 必有极限，即n k S n k n n n ln 1lim lim 1-=∑=∞→∞→存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。 莫雷角三分线定理定理定义：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相 交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。 米迪定理E ·米迪在1836年证明了关于0.999…这类分数的一个一般的结果，现在称为 米迪定理。定理定义：米迪定理说明若有质数p ，少于p 的正整数a ，大于1的正整数b 和任意正整数n ，使得p a 在b 进位制内的循环节长度是2n ，且将这个分数用循环小数写成，则有以下结论：a i +a i +n =b ?1。 射影定理(欧几里德定理)在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射 影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例 中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。在Rt △ABC 中，∠ABC =90°， BD 是斜边AC 上的高，则有射影定理如下：BD 2=AD ·CD ，AB 2=AC ·AD ，BC 2=CD ·AC . 帕斯卡定理帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形）其三对 边的交点共线，与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。定理定义：如 果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三 对对边的交点在同一条直线上。 普罗斯数普罗斯数是如下形式的数：k 2n +1，其中k 是奇数，n 是正整数，且2n >k 。既是普罗斯数又是素数的整数，称为普罗斯素数。 普罗斯定理普罗斯定理是判断普罗斯数是否为素数的方法。如果p 是普罗斯数，那么如果对于某个整数a ，有()p a p mod 121 -≡-，则p 是素数。这是一个有实际用途的方法，因为如果p 是素数，任何选定的a 都有百分之50的概率满足这个关系式。例如：对于p =3，21+1=3能被3整除，所以3是素数。对于p =5，32+1=10能被5整除，所以5是素数。对于p =13，56+1=15626 能被13整除，所以13是素数。对于p =9，不存在a 使得a 4+1能被9整数。 斐波那契数 (斐波那契数列，黄金分割数列，费波那西数列，费波拿契数，费氏数列)，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F 0=0，F 1=1，F n =F n -1+F n -2（n ≥2，n ∈N *），用文字来说，就是斐波那契数列列由0和1开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。 齐肯多夫定理(齐肯多夫表述法)表示任何正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数（不包括第一个斐波那契数）之和。 四色定理(四色猜想、四色问题)，是世界三大数学猜想之一。四色定理的本质许多人认为是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域。这个概念实际上是错误的，因为有许多种方法在代数几何上可以完美的证明任意一个区域无法同时与其他四个任意区域两两相连。但实际上证明的时候会把区域之间相互重叠的关系否定掉。其本质在于地图上是否可以只用四种颜色着色，从而演变出一个几何上的数学问题，但之所以至今只能用计算机暴力证明，其根源仍然无法得知，有诸多的猜想，但却仍然是一个无法以书面简单证明来完成的难题。 莫雷角三分线定理 帕斯卡定理 射影定理 算术基本定理任何一个大于1的自然数N ，都可以唯一分解成有限个质数的乘积n a n a a P P P N 2121=，这里P 1 斯托尔兹-切萨罗定理定理定义：设{a n } 和{b n }(n ≥1)为两个实数列。若{b n }为单调上升的无界正数数列，且极限γ=--++∞→n n n n n b b a a 11lim 存在,则极限n n n b a ∞→lim 存在，且γ=∞→n n n b a lim .定理推广：设{a n }和{b n }(n ≥1)为两个序列。若{b n }单调无界，则n n n n n n n n n n n n n n n n b b a a b a b a b b a a --≤≤≤--++∞→∞→∞→++∞ →1111sup lim sup lim inf lim inf lim (inf (x )表示下确界，即最大下界；sup (x )表示上确界，即最小上界). 斯图尔特定理如图，设a ，b 和c 是三角形的边长，d 是切氏线的长度；该线 段将a 边分为长度为m 和n 的两段。那么，mb 2+nc 2=a (d 2+mn ). 斯特瓦尔特定理设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有： AB 2·DC +AC 2·BD -AD 2·BC =BC ·DC ·BD . 三代角定理三代角定理用来计算在一个母角角度在360°以内的角均分成N 份（N 可以非整数）后，得到N 个子角，然后在该母角以及每个子角上做弦， 其各个（子角的弦或者弦延长线）与（母角的弦或者延长线）自然相交的角度，这里称这种角为孙角。公式n t n m t n z St ??? ??-+=?? ? ??-+=5.025.02大于180度角所产生的孙角照样适用本定理.公式中各表示为：St ：第几个孙角的角度；z ：子角的度数；n ：把母角分成多少等份；t ：第几个孙角；m ：母角的角度(注：公式中：N 可以非整数，t 也可以非整数). 一元三次方程的解法 1.卡丹公式法的特殊情况：如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为 x 3+px +q =0。它的解是：3323321322322?? ? ??+??? ??--+??? ??+??? ??+-=p q q p q q x ， 33223322322322?? ? ??+??? ??--+??? ??+??? ??+-=p q q p q q x ωω， 332333223322322?? ? ??+??? ??--+??? ??+??? ??+-=p q q p q q x ωω。其中231i +-=ω。根与系数的关系为x 1+x 2+x 3=0，q p x x x -=++321111，x 1x 2x 3=-p 。判别式为3232?? ? ??+??? ??=?p q 。当Δ>0时，有一个实根和两个复根；Δ=0时，有三个实根，当p =q =0时，有一个三重零根，p ，q ≠0时，三个实根中有两个相等；Δ<0时，有三个不等实根。三个根的三角函数表达式（仅当p <0时）为θcos 231r x =，()?+=120cos 232θr x ，()?+=240cos 233θr x 。其中 ?? ? ??-=??? ??-=r q p r 2arccos 31,33θ。卡丹公式法的一般情况：一般的一元三次方程可写成ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0)的形式。上式除以a ，并设a b x y 3+=，则可化为如下形式：y 3+py +q =0，其中3 3 222272927,33a b abc d a q a b ac p +-=-=。可用特殊情况的公式解出y 1，y 2，y 3，则原方程的三个根为a b y x 311-=，a b y x 322-=，a b y x 333-=。三个根与斯图尔特定理 系数的关系为x 1+x 2+x 3=a b -，d c x x x -=++321111，x 1x 2x 3=a d -。2.盛金公式法：三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a 、b 、c 、d 表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。①盛金公式：一元三次方程ax 3+bx 2+cx +d =0，（a ,b ,c ,d ∈R ，且a ≠0）.重根判别式?? ???-=-=-=bd c C ad bc B ac b A 39322，总判别式Δ=B 2－4AC 。当A =B =0时，盛金公式1：c d b c a b x x x 33321-=-=-===；当Δ=B 2－4AC >0时，盛金公式2：()a y y b x 332 311+--=，()() a i y y y y b x 32321323132312-+ ++-=，()()a i y y y y b x 32321323132313-- ++ -=，盛金公式2的三角式：()a y y b x 332 311+--=，()()a i y y y y b x 330cos 30sin 323132312-?++?+-=，()()a i y y y y b x 330cos 30sin 323132313-?-+?+-=，其中???? ??-+-+=24321AC B B a Ab y ，??? ? ??---+=24322AC B B a Ab y ，i 2=-1。当Δ=B 2－4AC =0时，盛金公式3：2,321k x x k a b x -==+-=其中()0,≠=A A B k 。当Δ=B 2－4AC <0时，盛金公式4：a A b x 33cos 21θ--=， a A b x a A b x 33sin 33cos ,33sin 33cos 32??? ??-+-=??? ??++-=θθθθ。其中t arccos =θ，3232A aB Ab t -=（A >0，－1 数是复数时，直接使用卡丹公式求解，有时会出现问题。此时，可使用下面的公式：3 3 2542279a b d a abc u --=， ()2 322223184271843a d b d a abcd c b ac v ++--=。当|u+v|≥|u-v|时3v u m +=；当|u+v|<|u-v|时3v u m -=，当|m|≠0时am ac b n 932-=；当|m |=0时n =0，i 2321+-=ω，i 2 3212--=ω，a b n m x 31-+=，a b n m x 322-+=ωω，a b n m x 321-+=ωω。 泰勒斯定理若A ,B ,C 是圆形上的三点，且AC 是直径，∠ABC 必然为直角。 泰傅定理 泰博定理I ：取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边 形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形（此为凡·奥贝尔定理的特例）。泰博定理II ：给定一个正方形，在正方形两条相邻边的内外构建两组等边三角形。然后， 将远离两个三角形的正方形的顶点以及两个远离正方形的三角形的顶点连接起来，所构成 的三角形是等边的。泰博定理III ：给定任意的△ABC 以及BC 上任意一点M ，构建△ABC 的内切圆和外接圆。然后构造另外两个圆，使得与AM ，BC 和（△ABC 的）外接圆都相 切。因此，这两个圆的圆心和（△ABC 的）内切圆的圆心共线。 梯形中位线定理连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。 维维亚尼定理在等边三角形内任意一点P 跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。 这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P 跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该 点的位置无关。 五色定理图论中的一个结论：将一个平面分成若干区域，给这些区域染色，且保证任意相邻区域没有相同颜色，那么所需颜色不超过五种。五色定理是比四色定理弱的定理，但是比四色定理更容易证明。 因式定理即为余式定理的推论之一：如果多项式f (a )=0，那么多项式f (x )必定含有因式x -a 。反过来，如果f (x )含有因式x -a ，那么，f (a )=0。 泰傅定理 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 浅谈数学教学中概念与定理教学的能力培养 发表时间：2014-09-29T10:40:58.513Z 来源：《读写算（新课程论坛）》2014年第7期（上）供稿作者：张永花 [导读] 数学概念是在实践中产生和发展而来的，因此，概念的教学应结合实际。 ◇张永花 （凉山州会理县彰冠初级中学会理 615100） 【摘要】：数学是一门自然科学，也是一门基础学科，是人们参加社会实践和生产劳动不可缺少的基础知识，它来源于社会实践，并服务于社会实践。数学又是一门具有严谨的逻辑性、思维性和稠密性的学科。因此，在教学中，我们不但要教会学生知识内容，还要教会学生如何运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的思维品质，发展学生的智力。 【关键词】：初中数学概念与定理能力培养 本人从事初中数学教学工作多年，在教学中就数学概念、定理的教学与能力的培养进行了一些探索，下面浅谈一点体会，以与同行共勉。 一、结合实际情况引入概念，培养学生解决实际问题的能力 数学概念是在实践中产生和发展而来的，因此，概念的教学应结合实际，举出与教学内容相联系的日常生活中常见的实例进行引入，使学生能感受到数学其实就在身边，从身边的事物中发现知识，掌握知识，并运用所学的知识来解决现实生活中的一些实际问题，使学生感到学有所用。从而培养学生的学习兴趣，提高学习的欲望，提高解决实际问题的能力。 例如，在初中数学的“比例线段”教学中。可先由学生熟知的地图上画出的两地距离与实际数据的关系，提出问题：“实际生活中的两地距离能否按实际数据画在图纸上呢？”学生肯定地回答“不能”，那么应怎样把它画在图纸上直观地表现出来呢？这就要求我们必须掌握有关“比例”的知识。然后再讲授新课，这样就能够激发学生的求知欲，使学生的思维活跃在老师的问题之下，并在老师的启发、引导下使实际问题等到解决，把枯燥的、乏味的数学课变成了生动活泼的、妙趣横生的实用课。学生学起来感到轻松愉快，既提高了学生的学习兴趣，又培养了学生联系实际进行思考，解决问题的能力。 二、在概念和定理的引入过程中，培养学生的表达能力 在与其他老师的交流中，有的老师认为，概念和定理没有什么好教的，不外乎就是给学生讲清楚概念和定理的内容，让学生背熟概念和定理的条文，教给学生一种或几种证法和会套用概念和定理就是了，谈不上什么能力的培养。我认为这种认识是不可取的，这是不符合素质教育要求的做法。其实，概念和定理的教学，不仅要教给学生数学知识，更重要的要教会学生如何进行数学思维，既要发展学生的智力，又要把培养学生的能力贯穿于概念和定理的教学的全过程。 而引入、描述、归纳出概念和定理是概念和定理教学的首要环节。如果开门见山地给出定义、定理，学生往往容易混淆，而且记不牢，不利于学生的理解和掌握。如果老师能结合实际或利用以前所学的旧知识进行积极启发，引导学生通过积极地探索去发现“新”概念和定理，总结出新概念和定理的内容，则不但能避免上述错误的发生，而且有利于培养学生的描述、归纳的能力。 三、用数学语言来表达定理，培养学生的语言转换能力 数学语言是学生学习数学必须掌握的内容，它包括了文字语言、图形语言、符号语言等内容。定理的结论是经过观察分析，猜想出来的，有一定的可靠性，但还要经过严格的推理谁才能肯定是正确的，证明定理时，首先要将语言文字叙述的定理数学特有的数学式子和图形语言表达出来，而平常学生对解文字命题本身就感到十分的困难，分不清条件和结论，不是漏写条件就是式不达意，因此，我们应很好地结合定理的教学弥补这一缺陷，证明定理前，应充分引导学生分清题意，根据题意画好图形，然后用数学式子表达命题的条件的结论。用几何语言写出“已知”“求证”，接着再分析证明。例如：证明切割线定理：“从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。”首先引导学生题意正确图形，分清切线与割线及切线长，割线与圆的交战的两条线段，然后用数学语言转换条件和结论为“已知”“求证”，经常坚持这种训练，既可以消除学生对文字命题的恐惧心理，为顺利证题消除障碍，又能提高学生的语言转换能力，促进学生智力和能力的发展。 四、探讨定理的证明，培养学生的逻辑推理能力，进而培养探索精神 现实中，有些学生一听就懂，一做就错，这是由于教学中对数学的思维过程交待不清或揭示不深，学生掌握不好关键所致。所以，在定理的证明教学中，老师应突出证题思路的分析，使学生真正弄清证明思路如何，证明步骤怎样，用到了所学过的哪些知识，为什么要这样做辅助线，还可以用什么方法等，让学生带着问题在听课中思考。在思索中听课，这样学生就不至于停留在表面上，只懂这一个题，而是通过了解掌握这一类题的证明方法和步骤，同时学生的逻辑思维能力也得到了充分的训练。 五、运用概念和定理解题，培养学生的观察和联想能力 运用定理解题，首先要从整体到局部，引导学生分析条件和结论，然后再由图形的结构特征联想定理，按定理和概念得出相应的结论，从而获得解决问题的途径。这样对帮助学生提高运用知识的能力，观察联想能力较好的效果。 总之，在概念和定理的教学中，我体会到，必须改变单纯的知识传授和机械记忆的教学方法，应从概念定理的引入、阐述、证明和运用等环节加强对学生能力的培养，只有这样，才能提高学生描述、概括和综合运用知识的逻辑思维能力，从而提高教育教学质量。 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 第一篇数与代数 第一节数与式 一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－ 3, ,0.231,0.737373…, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如: π, ,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值 是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=π－3.14. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数 是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫 做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记 数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。 8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． 12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）的平方根是士，误认为平方根为士 2，应知道=2． 15.二次根式： (1)定义:___________________________________________________叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 19．二次根式的乘法、除法公式 20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 神奇:一个能助你找到真爱的数学公式！ Mathematics is probably not a subject that many people find sexy, but it could hold the key to finding true love. 数学对于许多人来说可能并不性感，但是它却是帮你找到真爱的关键。 Mathematicians have developed a series of theories that can help people find the perfect partner. 数学家们推理出一系列定理来帮助人们找到完美的另一半。 These include tips such as not trying to hide the less attractive parts of your appearance in your online dating profile pictures and looking for people who had fewer colds as a child. 这些定理小贴士包括：不要试图在自己在线约会的简历上掩盖自己的外在不足；寻找儿时很少感冒的对象。 They have also proposed mathematical approaches to finding the perfect wife or husband - by not choosing to settle down until after the age of 22 years old. 他们同时用数学方法建议大家，要寻找完美的老公或老婆，请不要在22岁前稳定下来。 Dr Hannah Fry, a lecturer at University College London and author of a new book on The Mathematics of Love, outlined the theories at the Oxford Literary Festival. Hannah Fry博士，来自伦敦学院大学的学者，同时也是这本名为《爱情数学》的新书作者，在牛津文化节上罗列了一系列的定理。 She said that choosing friends who are slightly less attractive than you when going out looking for love could also bring advantages. 她说：选择比自己魅力小的人一同出去猎艳对自己来说更有优势。 This is known as the Discreet Choice Theory, where the presence of an irrelevant alternative can change how you view your choices. 这就是谨慎选择理论，当毫不相干的替代者出现时会改变人们做选择的想法。 THE MATHEMATICS OF FINDING TRUE LOVE 找到真爱的数学方法 In her book, Dr Hannah Fry suggest a number of techniques to help people find true love. 在她的书中，Hannah Fry博士提供了一系列帮助人们寻找真爱的技巧。 数学著名定理 1、几何中的着名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s- a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 著名数学定理 15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(John Horton Conway ，1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理 黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174. 阿贝尔-鲁菲尼定理 定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如， 任意给定二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：()0,500111≠≥=++???++--n n n n n a n a x a x a x a ，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用 n a a a ,,,10??? 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n 大于等于5时，存在n 次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都 无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦 给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群： 432,,σσσ ，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ，这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时，情况也是如此. 阿贝尔二项式定理 二项式定理可以用以下公式表示：()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中，()!!!r n r n C r n -= ，又有 ??? ? ??r n 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系. 艾森斯坦因判别法 艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式 ()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ，使得p 不整除a n ，但整除其他a i (i=0， 1，...，n -1)；p2 不整除a 0 ，那么f (x )在有理数域上是不可约的. 奥尔定理 离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足：G 的 任意两个点u 和v 度数之和至少为n ，即deg (u )+deg (v )≥n ，那么G 必然有哈密顿回路 . 阿基米德折弦定理 欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式： 塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。 初中数学竞赛辅导 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 数学史上的三个著名猜想 湖北舒云水 在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想，这是发现数学规律的一种重要手段﹒我们要学会归纳猜想，去发现一些新的数学结论﹒下面介绍数学史上三个有代表性的著名猜想. 1.费马素数猜想——一个错误的猜想 一种有趣且有很长历史的数叫费马素数，这些数是由法国数学家费马引进的. 费马在研究数列F n =2n2+1（n=0，1，2，…）前五项： F 0=3，F 1 =5，F 2 =17，F 3 =257，F 4 =65537. 发现它们都是素数，他没有做进一步的计算，就猜想：形如F n =2n2+1（n=0，1，2，…） 的整数都是素数，这就是费马素数猜想﹒瑞士数学家欧拉再往前走了一步，这个猜想就推 翻了，他证明了F 5 不是素数： F 5 =4294967297=641×6700417. 否定一个猜想，只需举一个反例即可. 费马是一个著名的数学家，但他的职业是一个法官，数学只是他的业余爱好，凭兴趣研究数学，取得了丰硕的成果. 2.费马大定理——一个已经被证明的著名猜想 我们知道方程x2+y2=z2有无数多个正整数解，如： 32+42=52，52+122=132，…… 费马作了进一步的探索：x3+y3=z3，x4+y4=z4，…有没有正整数解呢﹖他没能找出满足条件的正整数解，于是作出了一个重要猜想： 方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N）没有正整数解﹒ 自费马之后许多数学家花费巨大的劳动去解决这一问题，经过350多年的努力，到1995年这个问题终于由英国数学家维尔斯解决﹒维尔斯在继承前人成果的基础上，整整花了七年时间刻苦攻关，证明费马的猜想是成立的，一个猜想被证明是成立后，就成为一个定理，这就是著名的费马大定理﹒维尔斯因证明费马大定理，1996年荣获国际数学大奖——沃尔夫奖﹒ 3.哥德巴赫猜想——一个未被否定或证明的猜想 17世纪，德国数学家哥德巴赫发现每一个大偶数都可以写成两个素数的和﹒例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，…… 他对许多偶数进行了检验，都说明这是确定的﹒但是，这需要给予证明，他算来算去，没有办法证出来﹒于是，他写信向著名的大数学家欧拉求教，欧拉到死也没有证明它﹒因为哥德巴赫的发现尚未经过证明，所以只能称之为猜想，200多年来，世界上成千上万的数学 三角函数部分定理 1.正弦定理： （其中R 为三角形外接圆半径）． 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA;b 2=c 2+a 2-2accosB ；c 2=a 2+b 2 -2abcosC 3. 三角形面积公式三角函数形式： 几何部分定理 1.广勾股定理：在任一三角形中， (1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍． 证明：设△ABC 中，BC 是锐角A 的对边．作CH ⊥AB 于H ， 根据勾股定理：BC^2 = BH^2 + CH2 而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2 带入后有：BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2 简化后：BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·AH 钝角时的证明如下，与上面有点类似： BC^2 = BH^2 + CH^2 而BH=AB+AH,CH^2 = AC^2 - AH^2 同理：BC^2 = (AB+AH)^2 + AC^2 - AH^2 简化后：BC^2 = AB^2 +AC^2 +2AB·AH 2．中线定理：设△ABC 的边BC 的中点为，则有 中线长： 222222a c b m a -+= 3.角平分线定理 （1）定理1 角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 （2）定理2 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。AB:AC=BD:CD （3）角平分线长公式： 第一形式 在△ABC 中，∠A 的角平分线记为 ，∠B 的角平分线记为 ，∠C 的角平分线记为 ，三边边长为a 、b 、c ，则 其中p 是半周长。 第二形式 三角形ABC 的角平分线为AD ，D 在CB 上。则 第三形式 △ABC 中，角平分线 4. 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ， 则有222 R C c B b A a 2sin sin sin === 1、几何中的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB 中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R 三点共线 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长 神奇的握手公式 一、问题的提出 暑假期间，爸爸妈妈带我去山西大同游玩，回来时我们乘坐了大同到杭州的火车，我看到示意图上显示中途需要停靠24个站点，爸爸问我铁路部门需要设计多少种火车票？我自认为是数学高手，于是不假思索地说，1+2+3+4+ (25) 然后我拿起笔，在纸上利用等差数列求和。还没算出结果时，爸爸又问我还有没有更快捷的方法去解决呢？ 我很迷惑，带着这个问题，我决心尝试一下，去努力寻找一种更加事半功倍的方法。我渴望通过我的研究，让学到的数学知识能在生活实际中得到应用，享受成功的喜悦。 二、问题的解决 1.先谈谈我原先的想法 （1）当站点个数很少时，我们可以用数的方法来完成解答；但是当站点个数较多时很容易数错，并可能产生遗漏或是重复的情况，这种方法显然不奏效。 （2）于是我从数学的角度去思考，能否从中寻找到规律，然后运用这个规律去解决问题。我给这26个站点编号，从第1个站点到第26个站点，分别是A 至Z。 假设有2个站点，票种标记为AB。 假设有3个站点，票种标记为AB，AC；BC。 假设有4个站点，票种标记为AB，AC，AD；BC，BD；CD。 假设有5个站点，票种标记为AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE 以此类推，我发现规律列表如下： 站点数火车票种类 2 1 3 1+2=3 4 1+2+3=6 5 1+2+3+4=10 6 1+2+3+4+5=15 7 1+2+3+4+5+6=21 8 1+2+3+4+5+6+7=28 ………… 26 1+2+3+4+…+25 由此我发现，站点数和火车票种类的关系为： 1+2+3+4+…+（站点数-1） 这也就是说，从A站出发的火车票种类有25种（26个站，没有从A站到A 站的火车票），B站出发的火车票种类有24种，C站23种，D站22种…… 设站点数为n个时，火车票种类为： 1+2+3+4+…+(n-1) n-1为从始发站出发的火车票种类，一站站减少直到0（公式中已省略），将各站出发的火车票种类相加，即为总火车票种类。 那当站点数为26个时，火车票种类为： 数学史的意义 摘要：随着数学知识学习难度的加深，有些学生逐步丧失了对数学的学习兴趣，使数学成为一门枯燥无味的学科，极大地影响了数学的学习。面对这种情况，我们应该加强学生对数学史的学习，帮助学生了解数学知识的来源和背景，引导学生体会真正的数学思维过程，去创造一种探索与研究的数学学习气氛，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的探索精神和审美能力都有非常重要的意义。 关键词：数学教学数学史意义 数学的各个分支是一个有机的整体，大部分数学概念的形成并不是偶然的，现在数学的分支越来越多，到现在已经没有人能够深入研究到数学的各各方面，通过数学史，可以对数学概念的来龙去脉有所了解，也可以对整个数学有个全局的了解。从基础教育课程改革的状况来看，很多数学老师还是在进行数学教学时，经常把有关的数学史知识省略不讲，这就极大的忽视了数学史对中学数学的促进作用。如果我们能在数学课程中对学生进行数学史教育，并通过挖掘数学史的文化价值进行教学，让数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学中，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过历史文化让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。那么什么是数学史呢？我们要理解数学为什么要先了解数学的历史呢？学习数学史对我们学习数学有什么意义呢？下面我从以下几个方面谈谈： 一、数学史的概述 每一门学科都有它的历史，如文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。当然，数学也有它的历史。只是它与其它学科相比，数学有它的独特之处。数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。它最显著的特点是体系的严谨性。它要求每一个概念都要给出明确的定义。但“数学”这个概念本身，却很难给出一个完美的定义。根本的原因是数学这门科学还在不断地发展之中。 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说研究数学的历史就是数学史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索 455 63 世界著名数学难题 20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决，如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成 等， 从而使数学的基本理论得到空前发展。回首20世纪数学 的发展， 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希 尔伯特。希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世 界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方 向。 知识荐语： 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门 基础学科，简单地说，是研究数和形的科学。在数学发展的历 史上，数学们不但证明了诸多经典的定理，还把众多谜题留给 后人。这期知识，就让我们一同走进那些著名的数学难题。 1. 四色猜想 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 ? 四色猜想到底怎么回事? ? 什么是四色猜想 ? 证明四色猜想的计算机是什么名字 ? 哪里有关于四色猜想的资料 ? 请问世界上那个四色猜想的内容是什么? ? 2. 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。 ? 哥德巴赫猜想为什么被转化为证明1+1？ ? 哥德巴赫猜想的内容 ? 哥德巴赫猜想难在哪里? ? 哥德巴赫猜想有什么新进展 ? 哥德巴赫猜想与1+1是什么关系？ 神奇的凯利公式 ――黄群斌整理交流QQ138658118 概率低于60%，再好的仓位管理也不容易获利，除非风险报酬比较小，所以在使用这个凯利公式时，应该结合风险报酬比才好。 群斌在实战中优先考虑两点：一是概率，二是风险报酬比，其次才考虑仓位。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――凯利公式最初为A T&T 贝尔实验室物理学家约翰·拉里·凯利根据同僚克劳德·艾尔伍德·夏农於长途电话线杂讯上的研究所建立。凯利说明夏农的资讯理论要如何应用於一名拥有内线消息的赌徒在赌马时的问题。赌徒希望决定最佳的赌金额，而他的内线消息不需完美（无杂讯），即可让他拥有有用的优势。凯利的公式随後被夏农的另一名同僚爱德华·索普应用於二十一点和股票市场中。 凯利指数是一种投资的指导系统，其目的就是为了最大程度地规避投资中的风险。早在1957年，贝尓实验室的凯利研究出来了一整套“凯利指数”的理论，并试着将它用于指导投资，结果取得了很大的成功。这一理论很快就风靡全球，成为了股票、期货市场上的“金科玉律”。是投资者最重要的参考工具之一。 变动规律 记得在学习政治经济学里有这样一句话，“价格是价值的具体表现形式，而价值是劳动成果成为商品的前决条件，价格总是围绕价值上下波动。”这就是经济领域所谓的价值规律。其实，凯利指数正是衡定一家公司控制市场风险的价值杠杆。一般来说，博彩公司事前所设定的赔付率不会随意变动，而变动的是赔率和胜负平概率，跟随其变动的则是凯利指数。 Dr. Kelly举堵徒的例子,只是因为这样的例子比较适于去说明他的意思,他是A T&T(贝尔实验室)的工程师,可不像Mr. Roxy一样的投资界大佬。 凯利公式 凯利公式的最一般性陈述为，藉由寻找能最大化结果对数期望值的资本比例f*，即可获得长期增长率的最大化。对於只有两种结果（输去所有注金，或者获得资金乘以特定赔率的彩金）的简单赌局而言，可由一般性陈述导出以下式子：f*=（bp-q)/b 其中f* 为现有资金应进行下次投注的比例； b 为投注可得的赔率；p 为获胜率；q 为落败率，即1 - p； 凯利公式 举例而言，若一赌博有40% 的获胜率（p = 0.4，q = 0.6），而赌客在赢得赌局时，可获得二对一的赔率（b = 2），则赌客应在每次机会中下注现有资金的10%（f* = 0.1），以最大化资金的长期增长率。 凯利公式的盲点 凯利公式原本是为了协助规划电子比特流量设计，后来被引用于赌二十一点上去，麻烦就出在一个简单的事实，二十一点并非商品或交易。赌二十一点时，你可能会输的赌本只限于所放进去的筹码，而可能会赢的利润，也只限于赌注筹码的范围。但商品交易输赢程度是没得准的，会造成资产或输赢有很大的震幅。 英文专业文章，一般人也看不懂。 The Kelly Criterion arose from the work of John Kelly at AT&T's Bell Labs in 1956. His original formulas dealt with long-distance telephone transmission signal noise. But the gambling community quickly understood that the same approach may help them to calculate the 一、单项选择题 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜n ＜3.1415927 的数学家是( B ) A.刘徽 B.祖冲之 C.阿基米德 D.卡瓦列利 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C ) A.秦九韶 B.杨辉 C.朱世杰 D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A ) A.积分学早于微分学 B.微分学早于积分学 C.积分学与微分学同期 D.不确定4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D ) A.《孙子算经》 B.《墨经》 C.《算数书》 D.《周髀算经》 5．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫( D )。 A.笛卡尔公式 B.牛顿公式 C.莱布尼茨公式 D.欧拉公式 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。 A.两汉时期 B.隋唐时期 C.魏晋南北朝时期 D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。 A.莱布尼茨 B.约翰·伯努利 C.雅各布·伯努利 D.欧拉 8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（A ）。 A.纸草书上 B.竹片上 C.木板上 D.泥板上 10．大数学家欧拉出生于（A ）A.瑞士B.奥地利C.德国D.法国 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。 A.塔塔利亚 B.卡当 C.费罗 D.费拉利 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（D ）。 A.比例术 B.面积术 C.体积术 D.开方术 13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。 A.美索不达米亚 B.埃及 C.阿拉伯 D.印度 二、填空题 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即： 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16三角，而数学史学 17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有（5）条公理、（5）条公设。18．两千年来有关欧几里得几何原本第五公设的争议，导致了非欧几何的诞生。 19.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何___方法对这一解法给出了证明。 20．被称为“现代分析之父”的数学家是（柯西），被称为“数学之王”的数学家是（高斯）。 21．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家帕斯卡于1642 年发明的。22．1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了（23）个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。 23．首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家（卡当），首先获得四次方浅谈数学教学中概念与定理教学的能力培养
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