【常考题】高三数学下期中试题(带答案)(1)

【常考题】高三数学下期中试题(带答案)(1)

一、选择题

1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则21

2

a a

b -的值是 ( ) A ．

12

B ．12

-

C ．

1

2或12- D ．

1

4

2．设x y ，满足约束条件10102

x y x y y -+≤??+-??≤?

＞，则y

x 的取值范围是（ ）

A ．()[),22,-∞-+∞

B ．(]2,2-

C ．(]

[),22,-∞-+∞

D ．[]22-,

3．ABC ?中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ?—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ?—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则

cos2A =（ ）

A ．78

B ．

18

C ．78

-

D ．18

-

5．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若2

29m n a a a =，则

212m n

+的最小值等于（ ） A ．1

B ．

12

C ．

34 D ．

32

6．已知x ，y 均为正实数，且111226

x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20

B ．24

C ．28

D ．32

7．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程

2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）

A ．1008

B ．1009

C ．2016

D ．2017

8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1

22n n S λ+=+，则λ的值是( )

A ．4

B ．2

C ．2-

D ．4-

9．已知{}n a 为等差数列，若20

19

1<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S

B ．19S

C ．20S

D ．37S

10．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16

B ．26

C ．8

D ．13

11．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++?+=，则67a a ＝（ ） A ．1

B ．3

C ．6

D ．9

12．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14

B ．21

C ．28

D ．35

二、填空题

13．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为

N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则

2668型标准数列的个数为______．

14．已知x y ，满足20030x y y x y -≥??≥??+-≤?

，，，，则22

2x y y ++的取值范围是__________.

15．在平面直角坐标系中，设点()0,0O

，(A ，点(),P x y

的坐标满足

0200y x y -≤+≥??≥??

，则OA 在OP 上的投影的取值范围是__________ 16．已知0a >，0b >，且31a b +=，则

43

a b

+的最小值是_______. 17．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤??

--≤??≥?

，则实数m 的取值范围为

_______．

18．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,

45612131477a a a a a a ++++++=，且13k a =,则k =_________．

19．设不等式组30,

{230,1

x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线

20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．

20．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则

n

a n

的最小值为__________. 三、解答题

21．设数列{}n a 满足()*16

4

n n n a a n a +-=

∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ??

-?

?-??

是等比数列； （Ⅱ）令1

12

n n b a =-

-，设数列{}(21)n n b -?的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.

22．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥??

+≥??≤?

，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为

33a -，求实数a 的取值范围.

23．已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；

（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14

m a b

+=，求+a b 的最小值．

24．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比

1q >，且2420b b a +=，38b a =.

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）若数列{}n c ，满足4n

n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ??

????

的

前n 项和32

n T <

． 25．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{1

2

n n b a +

}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和

26．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c

()

cos 2cos C b A =

(Ⅰ)求角A 的大小；

(Ⅱ)若2a =，求ABC 面积的最大值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差为d，则4=1+3d，解得d=1，

∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.

∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，

则4=q4,解得q2=2，

∴b2=q2=2.

则21

2

211

22

a a

b

--

==.

本题选择A选项.

2．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意，作出可行域，分析

y

x

的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，根据图象即可求解.

【详解】

作出约束条件表示的可行域，如图所示，

y

x

的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，由

10

2

x y

y

-+=

?

?

=

?

，得点A的坐标为()

1,2，所以2

OA

k=，同理，2

OB

k=-，

所以

y

x

的取值范围是()[)

,22,

-∞-+∞.

故选：A

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型. 3．C

【解析】 【分析】

①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2

A B π

+=可得到结论不正确；③可由余弦

定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】

①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理

sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2

A B π

+=ABC ?是直角三角形或等腰三角形；所以②错

误；③由已知及余弦定理可得222222

22a c b b c a a b c ac bc

+-+--=，化简得222a b c =+，

所以③正确. 故选C. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】

∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 1

4

=

， 那么2

7cos2218

A cos A =-=-． 故选C

本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．

5．C

解析：C 【解析】

∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且2

29m n a a a =

∴2

2242

22223

339m n m n a a a a --+-???=?=

∴6m n +=

∴

121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ?++=?+++≥?+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.

点睛：利用基本不等式解题的注意点：

（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．

（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．

6．A

解析：A 【解析】

分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y 均为正实数，且

111226x y +=++，则116122x y ??+= ?++??

(2)(2)4

x y x y ∴+=+++-

11

6(

)[(2)(2)]422

x y x y =++++-++

226(2)46(242022y x x y ++=+

+-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.

x y ∴+的最小值为20. 故选A.

点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.

7．C

解析：C 【解析】

依题意知

100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，

数列的首项为正数，

()()120161008100910081009201620162016

0,0,02

2

a a a a a a S +?+?∴>∴=

=，

()1201720171009

2017201702

a a S a

+?=

=?<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是

2016，故选C.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】

根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142

a λ

+∴=

, 故当2n ≥时，1

12n n n n a S S --=-=,

数列{}n a 是等比数列, 则11a =，故412

λ

+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】

本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

由已知条件判断出公差0d <，对20

19

1<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】

已知{}n a 为等差数列，若

20

191<-a a ，则201919

0a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，

19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，

则n S 的最小正值为37S

故选D 【点睛】

本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.

10．D

解析：D 【解析】 【详解】

试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，

∴1134101313()13()

1322

a a a a S ++=

==，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知

()6

121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.

【详解】

由3132312log log log 12a a a +++= ，

可得312

12log 12a a a =，进而可得()6

1212

12673a a a a a == ，

679a a ∴= .

【点睛】

本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.

12．C

解析：C 【解析】

试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=?=∴=，则

()()17412747727282

2

a a a a a a a +?+++=

=

==

考点：等差数列的前n 项和

二、填空题

13．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差

d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=

解析：6 【解析】 【分析】

由题意，公差d=1，na 1+

()12

n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意

的组数，即可得出结论． 【详解】

由题意，公差d=1，na 1+

()12

n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，

∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组． 故答案为6． 【点睛】

本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．

14．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：

解析：[]0,9； 【解析】 【分析】

表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点

(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.

【详解】

()()22

222011x y y x y ++=-++-

表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离

1AO =，1910,9110AD AC =+==+=，则三角形ACD 为等腰三角形

则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：1，最大值为10 所以2

2

2x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-

故2

2

2x y y ++的取值范围为[]09，

故答案为：[]09，

【点睛】

本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.

15．【解析】【分析】根据不等式组画出可行域可知；根据向量投影公式可知所求投影为利用的范围可求得的范围代入求得所求的结果【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：在上的投影为：本题正确结 解析：[]3,3-

【解析】 【分析】

根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ??∠∈????

；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.

【详解】

由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：

由题意可知：6

AOB π

∠=

，56

AOC π

∠=

OA在OP

上的投影为：cos

OA AOP AOP AOP

∠=∠=∠

AOB AOP AOC ∠≤∠≤∠

5 ,

66

AOP

ππ

??

∴∠∈??

??

3

cos,

22

AOP

??

∴∠∈-?

??

[]

cos3,3

OA AOP

∴∠∈-

本题正确结果：[]

3,3

-

【点睛】

本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.

16．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解

解析：25

【解析】

【分析】

利用1的代换，将求式子

43

a b

+的最小值等价于求

43

()(3)

a b

a b

++的最小值，再利用基本

不等式，即可求得最小值.

【详解】

因为

4343123

()(3)491325

b a

a b

a b a b a b

+=++=+++≥+，

等号成立当且仅当

21

,

55

a b

==.

故答案为：25.

【点睛】

本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.

17．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m的取值范围考点：线性规划

解析：(,1]

-∞

【解析】

试题分析：由题意，由

2

{

30

y x

x y

=

+-=

，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2

y x

=上存在点(,)

x y满足约束条件

30,

{230,

,

x y

x y

x m

+-≤

--≤

≥

，如图所示，可得1

m≤，则实数m的取值范围

(,1]-∞．

考点：线性规划．

18．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理

解析：18 【解析】

471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，

717

3

a ∴=

同理94561213141177a a a a a a a =++++++=，97a ∴=423

d ∴=

，23

d =

91376k a a -=-=2

693÷=9918k ∴=+=

19．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区 25

【解析】

作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中

(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，

由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22

215

5

21d -=

=

+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之25

，即55

CD = .

点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.

20．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a

解析：21

2

【解析】 【分析】

先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以

331n a n n n =+-，设f （n ）33

1n n

=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n

a n

的最小值． 【详解】

解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而

33

1n a n n n

=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）233

10n

-=+＞， 则f （n ）在

)

33+∞，上是单调递增，在(033，上是递减的，

因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为55355a =，66321662

a ==， 所以

n a n 的最小值为62162

a =

故答案为 212

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．

三、解答题

21．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与3

2

n n a a --的关系，即可得证

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

211

1222

n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -?的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解. 【详解】 解：（Ⅰ）

()*16

4

n n n a a n a +-=

∈-N 116

3

34622

4n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312

628n n n n a a a a --+=--+

2(3)

(2)n n a a --=

--

3

2

2

n n a a -=- 32n n a a ??

-∴??-??

是首项为113132212a a --=

=--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

3

22

n n n a a -=-， 即

211

1222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-?=-?（）（）

123S 123252...(21)2n n n =?+?+?++-?①

23412S 123252...(21)2n n n +=?+?+?++-?②，

①减②得

1

1231

14

2S 122(22...2)(21)222(21)212

n n n n n n n +++--=?+++--?=+?--?-

1(32)26n n +=-?-. 1S (23)26n n n +∴=-?+

211

1S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-?--?=+>（），

S n ∴单调递增.

76S 92611582019=?+=<， 87S 112628222019=?+=>.

故使S 2019n <成立的最大自然数6n =. 【点睛】

本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.

22．[]1,1-

【解析】 【分析】

作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数a 的取值范围. 【详解】

作出不等式组60

03x y x y x -+≥??

+≥??≤?

所表示的可行域如下图所示：

由z ax y =+得y ax z =-+，

目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.

∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，

当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小， 结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线

60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是

[]1,1-.

【点睛】

本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题. 23．（Ⅰ）[]

1,1-； （Ⅱ）92

. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；

（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得2m =，再由

()122a b a b a b ??

+=++ ???

，展开利用基本不等式求解即可. 【详解】

（Ⅰ） ()2121121x x f x x x x -≤-??

=-<≤??>?

，，

， ∴ 122x x ≤-??

-≤? 或 1122x -<≤??≤? 或 1

22x x >??≤?

∴ 11x -≤≤,∴不等式解集为[]1,1-.

（Ⅱ）

()()11112x x x x -++≥--+=,

∴ 2m =,

又

14

2a b

+=,0,0a b >>, ∴

1212a b +=,∴ ()12525

922222

2a b a b a b a b b a ??+=++=++≥+=

???, 当且仅当1422a b b a

?+=???=? 即323a b ?

=

???=?时取等号,所以()min 92a b +=.

【点睛】

绝对值不等式的常见解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

24．（1）n a n =，2n

n b =；（2）证明见解析.

【解析】 【分析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出343

4

a a =??

=?，可计算出1a 和d

的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件

1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；

（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1

122213

n n n

B

++--=

，可得出

131122121n n n n b B +??=- ?--??，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出3

2

n T <. 【详解】 （1）

1359a a a ++=，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =，

设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-?=，

()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.

由题意得()

2

241231120

8

b b b q q b b q ?+=+=??==??，两个等式相除得

2152q q +=，整理得22520q q -+=. 1q >，解得2q

，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==?=；

（2）

442n n n n n c b =-=-，

()()()

1122424242n n n B =-+-++-()()()

()()11

212

141421244

444222

221412

3

n n n n

n

n ++---=++

+-++

+=-

=----()()1

1

112

22143223

3

n n n n ++++---?+==

，

()()()()()()1111

12323222221222121213

n n n

n n n n n n

n n b B +++++?∴===?------()()()()

111

212133112221212121n n

n n n n +++---??

=?=- ?----??

，

22311313113113131122122121221212212

n n n n T ++????????∴=-+-+

+-=-< ? ? ? ?------????????.

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与

分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）1

232;2,122n n n n a b n n --==

-?（＝，，）；（2）213312442

n n T n n

-=+-+.

【解析】 【分析】

(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可. 【详解】

（1）设等比数列{a n }的公比为q ．

由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64． 所以公比2q =

==． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{1

2n n b a +

}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222

d b a b a ????????=+-+=+?-+?= ? ? ? ??

???????， 所以等差数列{1

2

n n b a +

}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ?

?+=++-=+-?= ??

?．

所以数列{b n }的通项公式为1231313

2222222

n n n n b n a n n --=-=-?=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．

由（1）知，23

22

n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{

3

2

n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()33322124

n n A n n ??+ ???==+，()

111212

2122n

n B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442

n n n T A B n n n n --=-=

+-+=+-+．

【点睛】

这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.

26．（Ⅰ）6

π

；（Ⅱ）2+. 【解析】

分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．

cos 2sin cos cos A C B A C A =

()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =

又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6

A π

=

．

（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，

所以(42bc ≤+，所以1

sin 22

S bc A =

=. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．